From c3fba1fb1afdbcb85a0143359abf1f7baf3e02be Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Mares Date: Mon, 23 May 2011 14:26:47 +0200 Subject: [PATCH] Stromy: revize od Moskyta --- 2009/11-stromy/11-stromy.tex | 116 - 9-stromy/9-stromy.tex | 270 + {2009/11-stromy => 9-stromy}/Makefile | 2 +- 9-stromy/abpic/ab-strom11.eps | 3158 ++++++ 9-stromy/abpic/ab-strom11.png | Bin 0 -> 5382 bytes 9-stromy/abpic/b-klicu1.eps | 5665 +++++++++++ 9-stromy/abpic/b-klicu1.png | Bin 0 -> 7641 bytes 9-stromy/abpic/b-klicu2.eps | 8126 ++++++++++++++++ 9-stromy/abpic/b-klicu2.png | Bin 0 -> 10381 bytes 9-stromy/abpic/delete21.eps | 8068 ++++++++++++++++ 9-stromy/abpic/delete21.png | Bin 0 -> 13825 bytes 9-stromy/abpic/delete22.eps | 7509 +++++++++++++++ 9-stromy/abpic/delete22.png | Bin 0 -> 10573 bytes 9-stromy/abpic/delete31.eps | 8483 +++++++++++++++++ 9-stromy/abpic/delete31.png | Bin 0 -> 13361 bytes 9-stromy/abpic/delete32.eps | 5665 +++++++++++ 9-stromy/abpic/delete32.png | Bin 0 -> 6676 bytes 9-stromy/abpic/insert1.eps | 1956 ++++ 9-stromy/abpic/insert1.png | Bin 0 -> 5199 bytes {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t1.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t10.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t11.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t12.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t12y.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t13.ipe | 12 +- {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t2.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t3.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t35.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t4.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t5.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t6.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t7.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t8.ipe | 0 {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t9.ipe | 0 all/Makefile | 2 +- 35 files changed, 48908 insertions(+), 124 deletions(-) delete mode 100644 2009/11-stromy/11-stromy.tex create mode 100644 9-stromy/9-stromy.tex rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/Makefile (64%) create mode 100644 9-stromy/abpic/ab-strom11.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/ab-strom11.png create mode 100644 9-stromy/abpic/b-klicu1.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/b-klicu1.png create mode 100644 9-stromy/abpic/b-klicu2.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/b-klicu2.png create mode 100644 9-stromy/abpic/delete21.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/delete21.png create mode 100644 9-stromy/abpic/delete22.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/delete22.png create mode 100644 9-stromy/abpic/delete31.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/delete31.png create mode 100644 9-stromy/abpic/delete32.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/delete32.png create mode 100644 9-stromy/abpic/insert1.eps create mode 100644 9-stromy/abpic/insert1.png rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t1.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t10.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t11.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t12.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t12y.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t13.ipe (97%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t2.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t3.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t35.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t4.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t5.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t6.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t7.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t8.ipe (100%) rename {2009/11-stromy => 9-stromy}/treepic/t9.ipe (100%) diff --git a/2009/11-stromy/11-stromy.tex b/2009/11-stromy/11-stromy.tex deleted file mode 100644 index 173c36c..0000000 --- a/2009/11-stromy/11-stromy.tex +++ /dev/null @@ -1,116 +0,0 @@ -\input ../lecnotes.tex - -% Vkladani obrazku -\input ../mjipe.tex -\def\treepic#1{ -\medskip -\IpeInput{treepic/t#1.ipe} -\medskip -} - -\prednaska{11}{Vyhledávací stromy}{} - -Pøedstavme si následující problém: potøebujeme si udr¾ovat urèitá setøídìná data, napøíklad slovník. Polo¾kami jsou uspoøádané dvojice (klíè, hodnota). Klíèe jsou unikátní a jsou to prvky nìjakého lineárnì uspoøádaného universa. Hodnoty mohou být libovolné. - -Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace: -\itemize\ibull -\:{\it Insert} -- vlo¾it novou polo¾ku -\:{\it Delete} -- smazat polo¾ku -\:{\it Find} -- najít polo¾ku -\:{\it Max $\&$ Min} -- vybrat polo¾ku s~nejvìt¹ím, resp. nejmen¹ím klíèem -\:{\it Pred $\&$ Succ} -- vybrat polo¾ku s~klíèem nejbli¾¹ím men¹ím, resp. vìt¹ím -\endlist - -Jak by vypadalo nejjednodu¹¹í øe¹ení? Staticky bychom data mohli udr¾ovat v~setøídìném poli. Takové pole se vyrobí v~èase $\Theta(n \cdot \log{n})$. Operace {\it Find} by trvala $\Theta(\log{n})$ (vyhledávali bychom samozøejmì binárnì). Ale problém by nastal s~operacemi {\it Insert} a {\it Delete}, které by se takto implementovat nedaly, nebo by trvaly hodnì dlouho (napø. v~pøípadì {\it Insertu} bychom museli celé pole pøestavìt). - -\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat binárním vyhledávacím stromem. - -\s{Definice:} {\I Binární strom:} Strom je binární, pokud je zakoøenìný a ka¾dý vrchol má nejvý¹e dva syny, u nich¾ rozli¹ujeme, který je levý a který pravý. - -\s{Definice:} Pro vrchol $v$ znaèíme: -\itemize\ibull -\:$l(v)$ a $p(v)$ -- levý a pravý syn vrcholu $v$ -\:$L(v)$ a $P(v)$ -- levý a pravý podstrom vrcholu $v$ -\:$S(v)$ -- pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$ -\:$h(v)$ -- hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu -\endlist - -\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací, pokud v~ka¾dém vrcholu je ulo¾ena dvojice (klíè, hodnota) [ztoto¾níme vrchol s~klíèem] a pro v¹echny vrcholy platí: $\left ( \forall u \in L(v) : u < v \right ) $ $ \&$ $ \left ( \forall u \in P(v) : u > v \right )$. - -\s{Pøíklady binárních vyhledávacích stromù:} - -\treepic{2} - -\break - -Jak budou tedy vypadat operace {\it Find}, {\it Insert} a {\it Delete} na~binárním vyhledávacím stromu? - -{\bo Find$(v,x)$:} -\algo -\:Pokud $v = \emptyset \Rightarrow$ vrátíme $\emptyset$. -\:Pokud $v = x \Rightarrow$ vrátíme $v$. -\:Pokud $v < x \Rightarrow$ vrátíme $\(p(v),x)$. -\:Pokud $v > x \Rightarrow$ vrátíme $\(l(v),x)$. -\endalgo - -{\bo Insert$(v,x)$:} -\algo -\:Jako \ a na~konci pøidáme list. -\endalgo - -{\bo Delete$(v)$:} -\algo -\:Pokud $v$ je list $\Rightarrow$ jednodu¹e list utrhneme. -\:Pokud $v$ má jednoho syna $\Rightarrow$ vrchol \uv{vyøízneme}. -\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list, a ten utrhneme. -\endalgo - -\s{Poznámka:} Pokud má vrchol $v$ pøi operaci {\it Delete} oba syny, je vlo¾ení minima z $P(v)$ ekvivalentní s~vlo¾ením maxima z $L(v)$. - -\s{Pøíklady operací {\it Insert} a {\it Delete} na~BVS:} -\treepic{1} -\treepic{3} - -\break -Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\)$, co¾ mù¾e být $\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo $\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval \dots - -\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy} - -\s{Definice:} {\I Dokonalá vyvá¾enost:} Strom je dokonale vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $. - -Takto definovaný binární strom bude mít urèitì logaritmickou hloubku. Jak takový strom ale konstruovat? To se nám podaøí buï staticky, nebo na~nìm budou operace dra¾¹í ne¾ $\Theta(\log{n})$. - -\s{Statická konstrukce dokonale vyvá¾eného BVS:} Vybereme prostøední prvek ze setøídìného pole (tedy medián posloupnosti) a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole. Celá konstrukce tedy trvá $\O(n)$. - -Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal také efektivnì udr¾ovat. Zkusíme proto slab¹í podmínku: - -\s{Definice:} {\I Hloubková vyvá¾enost:} Strom je hloubkovì vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $. - -Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} (objeviteli je ru¹tí matematikové G. M. Adelson-Velsky a E. M. Landis, podle nich jsou také pojmenovány) a platí o~nich následující lemma: - -\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $. - -\proof -Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromù hloubky $k$. Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì. Podívejme se na minimální AVL stromy: -$$\eqalign{ -A_0 &= 1 \cr -A_1 &= 2 \cr -A_2 &= 4 \cr -A_3 &= 7 \cr -&\vdots \cr -A_k &= 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2}. \cr -}$$ - -Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o~hloubkách $k - 1$ a $k - 2$. - -Vidíme tedy, ¾e $A_n = F_{n + 2} - 1$. (Mù¾eme dokázat napø. indukcí.) -Teï nám ji¾ staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste exponenciálnì S výhodou mù¾eme vyu¾ít toho, ¾e na první pøedná¹ce jsme si ji¾ dokázali, ¾e Fibonacciho èísla rostou exponenciálnì. Nicménì pro zapomnìtlivé mù¾eme dùkaz ve struènosti zopakovat: - -Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $. -První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí: -$ A_k = 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2} > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong 2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2}.$ - -Tímto jsme dokázali, ¾e na~ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám zaruèuje hloubku $ \Theta(\log{n})$. -\qed - -\bye diff --git a/9-stromy/9-stromy.tex b/9-stromy/9-stromy.tex new file mode 100644 index 0000000..a8c8fba --- /dev/null +++ b/9-stromy/9-stromy.tex @@ -0,0 +1,270 @@ +\input ../lecnotes.tex + +% Vkladani obrazku +\input ../mjipe.tex +\def\treepic#1{ +\medskip +\IpeInput{treepic/t#1.ipe} +\medskip +} +\def\abpic#1{ +\medskip +\centerline{\epsfxsize=0.7\hsize\epsfbox{abpic/#1.eps}} +\medskip +} +\def\abpics#1#2{ +\medskip +\centerline{\epsfxsize=0.4\hsize\epsfbox{abpic/#1.eps}\qquad\epsfxsize=0.4\hsize\epsfbox{abpic/#2.eps}} +\medskip +} + +\prednaska{7}{Vyhledávací stromy}{zapsali M. Øezáè, ©. Masojídek, B. Urbancová} + +\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy} + +V minulé kapitole jsme se zabývali problematikou pøidávání a ubírání prvkù +binárního vyhledávacího stromu a jeho slo¾itostí a zjistili, ¾e v¹e zále¾í +na~hloubce stromu. Víme, ¾e chceme hloubku logaritmickou, ale jak ji mù¾eme +udr¾et pøi~operacích? Øe¹ením je následující definice: + +\s{Definice:} {\I Dokonale vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, ve~kterém pro v¹echny vrcholy~$v$ platí $\left\vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $. + +Toto nám jistì zaji¹»uje logaritmickou hloubku, ale je velmi pracné na udr¾ování. +Zkusíme proto slab¹í podmínku: + +\s{Definice:} {\I Hloubkové vyvá¾ení} je takové vyvá¾ení, ve~kterém pro v¹echny vrcholy~$v$ platí $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $. +Stromùm s hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} a platí o nich následující lemma. + +\s{Lemma:} AVL strom o $n$ vrcholech má hloubku $ \O(\log{n}) $. + +\proof +Uva¾me $a_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromu o~hloubce $k$. +Lehce spoèteme: +$$\eqalign{ +a_0 &= 0 \cr +a_1 &= 1 \cr +a_2 &= 2 \cr +&\vdots \cr +a_k &= 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2}. \cr +}$$ + +Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o hloubce $k - 1$ a $k - 2$. + +Indukcí doká¾eme, ¾e $ a_k \geq 2^{k \over 2} $. +První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí: +$ a_k = 1 + a_{k - 1} + a_{k - 2} > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong 2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2} $ + +Tímto jsme dokázali, ¾e na ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám zaruèuje hloubku $ \O(\log{n})$ +\qed + +\break +\s{Operace s AVL stromy} + +\ se neli¹í od~operace find v~binárních stromech. + +Dùraz klademe na operace \ a \, proto¾e pøi~nich musíme o¹etøit udr¾ení struktury AVL~stromù. + +První nutnou podmínkou je, ¾e si musíme {\I pamatovat stav} v~ka¾dém vrcholu tohoto stromu. A~to {\I vyvá¾ení} hloubky jeho podstromù. + +Umluvíme~se napø. na~tomto oznaèení: + +\>Dostaneme tøi typy vrcholù, které se mohou v~AVL~stromu vyskytnout: +\itemize\ibull +\:{\I Vrchol typu~$\oplus$}, pokud je pravý podstrom hlub¹í +\:{\I Vrchol typu~$\ominus$}, pokud je levý podstrom hlub¹í a +\:{\I Vrchol typu~$\odot$ (nulou)}, který má oba syny shodné hloubky. +\endlist + +\s {Sestavení} \rm AVL stromu: + +Postupujeme po~struktuøe binárního stromu od~listù ke~koøeni a~kontrolujeme, zda jsou vrcholy v~jednom ze~tøí uvedených stavù. Pokud ne, opravíme strom operací jménem rotace. + +\s {Rotace} +\treepic{4} +\treepic{5} + +Jde o~pøevrácení hrany mezi pùvodním otcem (koøenem podstromu) a nevyvá¾eným vrcholem tak, aby byli i po pøeskupení synové vzhledem k~otcùm správnì uspoøádáni. + + +\s {Insert} \rm - vlo¾ení vrcholu do~AVL~stromu. + +Vlo¾íme jej jako list. Nový list má v¾dy \uv{znaménko} nula $\odot$. Pøedpokládáme, ¾e patøí nalevo od posledního otce. Podíváme~se na~znaménko jeho otce: +\itemize\ibull +\:{\I mìl~$\odot$ (nemìl syna) $\rightarrow$ teï má~$\ominus$}, po struktuøe stromu nahoru posíláme informaci, ¾e se podstrom prohloubil o~1, co¾ mù¾e mít samozøejmì vliv na~znaménka vrcholù na~cestì ke~koøeni. +\:{\I mìl~$\oplus$ (mìl pravého syna, který je listem) $\rightarrow$ teï má~$\odot$}, hloubka podstromu se~nemìní +\:{\I mìl $\ominus$} -- nenastane, proto¾e v binární struktuøe nemohou být dva leví synové +\endlist +\>Pøipadne-li pøidaný list napravo, øe¹íme zrcadlovì. + +\treepic{6} +\treepic{7} + +\>{\I Prohloubil-li se strom} vlo¾ením nového listu, musíme pracovat s vyvá¾ením: +\itemize\ibull +\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do~vrcholu typu~$\odot$} $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\ominus$ a informace o~prohloubení je tøeba poslat o~úroveò vý¹. +\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do~vrcholu typu~$\oplus$} $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\odot$, hloubka je vyrovnána, dál nic neposíláme. +\:Informace o~prohloubení pøi¹la zleva {\I do vrcholu s~$\ominus$} $\rightarrow$ + +\>rozebereme na~tøi pøípady podle znaménka vrcholu, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení: +\itemize\ibull +\:Informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\ominus$} $\rightarrow$ provedeme rotaci doprava tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$y$, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení. + +\treepic{8} + +{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholù~$y$ a~$x$ je~$\odot$\ + +{\I Pozorování 2:} hloubka pøed vkládáním byla $h+1$ a~nyní je také $h+1$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a mù¾eme skonèit +\:Informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\oplus$} +\itemize\ibull +\:uva¾me je¹te vrchol~$z$ jako pravého syna vrcholu~$y$, ze~kterého pri¹la informace o~prohloubení, a~jeho podstromy~$B$ a~$C$ +\:vrcholy~$B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo $h-1$ $\rightarrow$ oznaème~ji tedy $h-$ (to zøejmì proto¾e vrchol~$y$ má znaménko~$\oplus$, tedy jeho pravý podstrom s~koøenem~$z$ má hloubku~$h+1$ ) +\:provedeme dvojrotaci tak, ¾e novým koøenem se stane vrchol~$z$ +\endlist +\treepic{9} + +{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholu~$z$ bude~$\odot$\ + +{\I Pozorování 2:} znaménka vrcholu~$x$ a~$y$ se~dopoèítají v~závislosti na~hloubce~$B$ a~$C$\ + +{\I Pozorování 3:} rozdíl hloubky pravého a~levého podstromu bude u~tìchto vrcholù $0$ nebo~$1$\ + +{\I Pozorování 4:} hloubka pøed vkládáním byla $h+2$ a~nyní je také $h+2$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a~mù¾eme skonèit +\:informace pøi¹la {\I z~vrcholu typu~$\odot$} -- to nemù¾e nastat, proto¾e v~tom pøípadì by ne¹lo o~prohloubení +\endlist +\endlist + +\s {Delete} -- odebrání vrcholu z~AVL~stromu +\> Buï ma¾eme list nebo ma¾eme vrchol, který mìl nìjaké syny. + +\itemize\ibull +\:pokud ma¾eme list, podíváme~se na~typ otce. Pøedpokládáme mazání levého syna. +\itemize\ibull +\:byl typu $\ominus$ (nemìl pravého syna) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\odot$ (vrchol teï nemá ¾ádné syny) +\:byl typu $\odot$ (mìl oba syny) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\oplus$ +\endlist +(ma¾eme-li pravý list, øe¹íme zrcadlovì) +\:ma¾eme vrchol s~jedním (levým nebo pravým) synem $\rightarrow$ syn nastupuje na~místo otce a~získává typ~$\odot$\ + +\>V~obou pøípadech posílame informaci o~zmìnì hloubky stromu... +\:mazaný vrchol mìl oba syny (listy) $\rightarrow$ vybereme jednoho ze~synù na~místo smazaného otce. Hloubka se nemìní. +\:mazaný vrchol mìl syny podstromy $\rightarrow$ na~jeho místo vezmeme nejvìt¹í prvek levého podstromu (nebo nejmen¹í prvek pravého podstromu) a od~odebraného (nahrazujícího) listu kontrolujeme vyvá¾ení podstromu. +\endlist + + + + +\>{\I Úprava vyvá¾ení} stromu po~odebrání listu z~podstromu +\itemize\ibull +\:informace o~zmìnì hloubky pøi¹la z~levého podstromu do~vrcholu typu~$\odot$ $\rightarrow$ vrchol se~zmìní na~$\oplus$ a~dál se hloubka nemìní + +\:informace pøi¹la zleva do~vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$ mìní~se na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky. + +\treepic{10} +\treepic{11} + +\:problémová situace nastává, kdy¾ informace o~zmìnì pøi¹la zleva do~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$ +\endlist +\>Rozebereme na~tøi~pøípady podle znaménka pravého syna nevyvá¾eného vrcholu +\itemize\ibull +\:{\I pravý syn je typu~$\oplus$} $\rightarrow$ provedeme rotaci vlevo, novým koøenem se~stává~$y$ (pravý syn), oba vrcholy zmìní typ na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky. + +\treepic{12} + +\:{\I pravý syn je typu~$\odot$} $\rightarrow$ provedeme opìt rotaci vlevo, koøenem se~stává~$y$, následnì se u~$y$ zmìní typ na~$\ominus$ , u~vrcholu~$x$ se typ nemìní. Hloubka stromu se~nemìní, tudí¾ není tøeba posílat informaci. + +\treepic{12y} + +\:{\I pravý syn je typu~$\ominus$} $\rightarrow$ v~tomto pøípadì uva¾ujeme je¹tì vrchol~$z$ jako levého syna vrcholu~$y$, s~podstromy $B$ a~$C$, podstromy $B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo~$h-1$. Provedeme dvojrotaci, napøed vpravo rotujeme vrcholy $z$ a~$y$, potom vlevo vrcholy~$x$ a~$z$ tak, ¾e se $z$ stane novým koøenem, typ vecholu~$x$ bude potom~$\ominus$ nebo~$\odot$, typ~$y$~$\oplus$ nebo~$\odot$ (podle toho, jaké znaménko mìl pùvodnì vrchol~$z$), typ~$z$ bude~$\odot$ a~opìt posíláme informaci o~zmìnì hloubky stromu. + +\treepic{13} +\endlist + +\h{Obecné vyhledávací stromy} + +Pøi ulo¾ení dat na~disku se~sna¾íme, aby~se ètení z~disku provádìlo pokud mo¾no +co nejménìkrát a~nezále¾í nám tolik na~tom, kolik operací se~vykoná v~jednom +uzlu. (Èasovì je operace porovnávání zanedbatelná oproti ètení z~disku.) + +\s{Definice:} {\I $(a,b)$-strom} pro parametry $a,b$, $a \geq 2$, $b\geq 2a - 1$ je zakoøenìný strom s~uspoøádanými syny a~vnìj¹ími vrcholy, pro který platí +následující axiomy: +\numlist\nparen +\:Data jsou ulo¾ena ve~vnitøních vrcholech a~ka¾dý vrchol obsahuje o~1 ménì klíèù ne¾ má synù. +\:Platí stromové uspoøádání, tedy ¾e $ A < x_1 < B < x_2 < C < x_3 < D $. +\:Koøen má $2$ a¾~$b$ synù, ostatní vnitøní vrcholy $a$ a¾ $b$ synù. +\:V¹echny vnìj¹í vrcholy jsou ve~stejné hloubce (vnìj¹í vrchol$=$list). +\endlist +\>{\I Poznámka:} kdekoli~by mohl být syn a~není, pøipojíme vrchol, kterému øíkáme vnìj¹í vrchol) + +\abpic{ab-strom11} + +\s{Lemma:} $(a,b)$-strom na~$n$~vrcholech má hloubku~$O(\log_a n)$. + +\proof +Zjistíme jeho minimální poèet listù (oznaème jej $m$): ka¾dý vrchol a¾ na~koøen má alespoò $a$ synù, hloubku si oznaèíme~$d$ $\rightarrow$ +$$m\geq~a^{(d -1)}$$ +$$\log_a m \geq d -1$$ +$$d \leq 1+ \log_a m$$ +\centerline{co¾ je øádovì $O(\log_a n)$, kde $n$ je poèet vrcholù.}\ + +\s{Operace s (a,b)-stromy:} + +\s{Find} +\item{-}V¾dy zjistíme, mezi které 2 klíèe hledaný vrchol patøí a potom se zanoøíme hloubìji.\ + +\>Èasová slo¾itost nalezení prvku v $(a,b)$-stromu je $O(\log b \cdot \log_a n)$, kde $\log b$ je èas strávený na~jednom vrcholu pro zji¹tení, mezi které 2 vrcholy hledaný patøí, $\log_a n$ je hloubka stromu. + +\s{Insert} + +\>Jako Find, pøièem¾ jestli¾e nena¹el, skonèí na~posledním patøe a~pøidáme klíè +\itemize\ibull +\:pokud pøidáním nepøesáhneme maximální poèet klíèù, mù¾eme\hfil\break skonèit +\abpic{insert1} +\:pokud pøidáním pøesáhneme maximální poèet klíèù +\endlist +\algo +\:rozdìlíme vrchol na~3 èásti: $L$,$x$,$P$ +\:$L$ a $P$ jsou nové vrcholy +\:$x$ je hodnota mezi $L$ a $P$, kterou vlo¾íme o patro vý¹ jako klíè oddìlující novì vzniklé vrcholy $L$ a $P$ +\:tím jsme pøevedli problém o patro vý¹ a opakujeme algoritmus +\endalgo + +\abpics{b-klicu1}{b-klicu2} + +\s{Poznámka:} Jestli¾e se dostaneme a¾ do koøene, rozdìlí se koøen na dvì èásti, vznikne nám nový koøen se dvìma syny (co¾ je povoleno) a celému stromu vzroste hloubka o jedna. + +\s{Korektnost:} +Potøebujeme, aby +$$\vert L\vert \geq a-1$$ +$$\vert P\vert \geq a-1$$ +po seètení obou nerovností a~priètení 1 na~obì strany rovnice: +$$\vert L\vert +\vert P\vert +1\geq 2a-2+1=2a-1$$ +pravá strana je rovna $b$ a~to podle definice $\geq 2a-1$. \par +\s{Èasová slo¾itost:} vkládání prvku do $(a,b)$-stromu je $O(b\cdot \log_a n)$. + + +\s{Delete} +\item{-} pøevedeme na~delete z~listu (stejný postup jako u~stromu: jestli¾e to není list, prohodíme tuto hodnotu s~nejmen¹í hodnotou podstromu jeho pravého syna) -- v tomto pøípadì na~klíè posledního vnitøního vrcholu, proto¾e listy jsou vnìj¹í vrcholy bez dat. +\itemize\ibull +\:pokud má vrchol, ze~kterého odebíráme stále $a-1$ klíèù, mù¾eme skonèit +\:pokud má vrchol ($V$), ze~kterého odebíráme $a-2$ klíèù a~jeho levý sousední vrchol ($L$) alespoò $a$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$): +\endlist +\algo +\:sma¾eme nejvìt¹í klíè levého sousedního vrcholu ($L$) a~nahradíme tím klíè otce obou vrcholù (nahradíme $x$ za~tuto hodnotu) +\:pùvodní klíè otce ($x$) pøidáme jako nejmen¹í klíè odebíranému vrcholu~($V$) +\:tím mají oba tyto vrcholy $a-1$ klíèù a mù¾eme skonèit +\endalgo +\abpics{delete21}{delete22} +\itemize\ibull +\:pokud má vrchol, z kterého odebíráme ($V$) $a-2$ klíèù a jeho levý sousední vrchol ($L$) $a-1$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$): +\endlist +\algo +\:slouèíme $V$,$x$,$L$ do jednoho vrcholu +\:tím jsme problém pøevedli o patro vý¹ a opakujeme algoritmus \par +\endalgo +\abpics{delete31}{delete32} + +\>{\I Poznámka:} Dojdeme-li takto a¾ do koøene, na místo klíèe odebraného z koøene lze pou¾ít nejmen¹í nebo nejvìt¹í klíè novì slouèeného podstromu. Ten odebrat lze, proto¾e po slouèení (které bylo pøíèinou této situace), je v nejni¾¹ím vrcholu $2a-2$ klíèù. + +\>{\I Èasová slo¾itost:} $$O(b\cdot \log_a n)$$ + +\bye diff --git a/2009/11-stromy/Makefile b/9-stromy/Makefile similarity index 64% rename from 2009/11-stromy/Makefile rename to 9-stromy/Makefile index 6f4f489..76ee2c4 100644 --- a/2009/11-stromy/Makefile +++ b/9-stromy/Makefile @@ -1,3 +1,3 @@ -P=11-stromy +P=9-stromy include ../Makerules diff --git a/9-stromy/abpic/ab-strom11.eps b/9-stromy/abpic/ab-strom11.eps new file mode 100644 index 0000000..5400d62 --- /dev/null +++ b/9-stromy/abpic/ab-strom11.eps @@ -0,0 +1,3158 @@ +%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 +%%Creator: (ImageMagick) +%%Title: (ab-strom11.eps) +%%CreationDate: (Mon Nov 12 12:22:07 2007) +%%BoundingBox: 0 0 484 195 +%%HiResBoundingBox: 0 0 484 195 +%%DocumentData: Clean7Bit +%%LanguageLevel: 1 +%%Pages: 1 +%%EndComments + +%%BeginDefaults +%%EndDefaults + +%%BeginProlog +% +% Display a color image. The image is displayed in color on +% Postscript viewers or printers that support color, otherwise +% it is displayed as grayscale. +% +/DirectClassPacket +{ + % + % Get a DirectClass packet. + % + % Parameters: + % red. + % green. + % blue. + % length: number of pixels minus one of this color (optional). + % + currentfile color_packet readhexstring pop pop + compression 0 eq + { + /number_pixels 3 def + } + { + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /number_pixels exch 1 add 3 mul def + } ifelse + 0 3 number_pixels 1 sub + { + pixels exch color_packet putinterval + } for + pixels 0 number_pixels getinterval +} bind def + +/DirectClassImage +{ + % + % Display a DirectClass image. + % + systemdict /colorimage known + { + columns rows 8 + [ + columns 0 0 + rows neg 0 rows + ] + { DirectClassPacket } false 3 colorimage + } + { + % + % No colorimage operator; convert to grayscale. + % + columns rows 8 + [ + columns 0 0 + rows neg 0 rows + ] + { GrayDirectClassPacket } image + } ifelse +} bind def + +/GrayDirectClassPacket +{ + % + % Get a DirectClass packet; convert to grayscale. + % + % Parameters: + % red + % green + % blue + % length: number of pixels minus one of this color (optional). + % + currentfile color_packet readhexstring pop pop + color_packet 0 get 0.299 mul + color_packet 1 get 0.587 mul add + color_packet 2 get 0.114 mul add + cvi + /gray_packet exch def + compression 0 eq + { + /number_pixels 1 def + } + { + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /number_pixels exch 1 add def + } ifelse + 0 1 number_pixels 1 sub + { + pixels exch gray_packet put + } for + pixels 0 number_pixels getinterval +} bind def + +/GrayPseudoClassPacket +{ + % + % Get a PseudoClass packet; convert to grayscale. + % + % Parameters: + % index: index into the colormap. + % length: number of pixels minus one of this color (optional). + % + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /offset exch 3 mul def + /color_packet colormap offset 3 getinterval def + color_packet 0 get 0.299 mul + color_packet 1 get 0.587 mul add + color_packet 2 get 0.114 mul add + cvi + /gray_packet exch def + compression 0 eq + { + /number_pixels 1 def + } + { + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /number_pixels exch 1 add def + } ifelse + 0 1 number_pixels 1 sub + { + pixels exch gray_packet put + } for + pixels 0 number_pixels getinterval +} bind def + +/PseudoClassPacket +{ + % + % Get a PseudoClass packet. + % + % Parameters: + % index: index into the colormap. + % length: number of pixels minus one of this color (optional). + % + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /offset exch 3 mul def + /color_packet colormap offset 3 getinterval def + compression 0 eq + { + /number_pixels 3 def + } + { + currentfile byte readhexstring pop 0 get + /number_pixels exch 1 add 3 mul def + } ifelse + 0 3 number_pixels 1 sub + { + pixels exch color_packet putinterval + } for + pixels 0 number_pixels getinterval +} bind def + +/PseudoClassImage +{ + % + % Display a PseudoClass image. + % + % Parameters: + % class: 0-PseudoClass or 1-Grayscale. + % + currentfile buffer readline pop + token pop /class exch def pop + class 0 gt + { + currentfile buffer readline pop + token pop /depth exch def pop + /grays columns 8 add depth sub depth mul 8 idiv string def + columns rows depth + [ + columns 0 0 + rows neg 0 rows + ] + { currentfile grays readhexstring pop } image + } + { + % + % Parameters: + % colors: number of colors in the colormap. + % colormap: red, green, blue color packets. + % + currentfile buffer readline pop + token pop /colors exch def pop + /colors colors 3 mul def + /colormap colors string def + currentfile colormap readhexstring pop pop + systemdict /colorimage known + { + columns rows 8 + [ + columns 0 0 + rows neg 0 rows + ] + { PseudoClassPacket } false 3 colorimage + } + { + % + % No colorimage operator; convert to grayscale. + % + columns rows 8 + [ + columns 0 0 + rows neg 0 rows + ] + { GrayPseudoClassPacket } image + } ifelse + } ifelse +} 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{ PseudoClassImage } { DirectClassImage } ifelse + grestore +} bind def +%%EndProlog +%%Page: 1 1 +%%PageBoundingBox: 0 0 484 195 +userdict begin +DisplayImage +0 0 +484 195 +12.000000 +484 195 +1 +0 +0 +256 +000000 +800000 +008000 +808000 +000080 +800080 +008080 +808080 +C0C0C0 +FF0000 +00FF00 +FFFF00 +0000FF +FF00FF +00FFFF +FFFFFF +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000000 +000033 +000066 +000099 +0000CC +0000FF +003300 +003333 +003366 +003399 +0033CC +0033FF +006600 +006633 +006666 +006699 +0066CC +0066FF +009900 +009933 +009966 +009999 +0099CC +0099FF +00CC00 +00CC33 +00CC66 +00CC99 +00CCCC +00CCFF +00FF00 +00FF33 +00FF66 +00FF99 +00FFCC +00FFFF +330000 +330033 +330066 +330099 +3300CC +3300FF +333300 +333333 +333366 +333399 +3333CC +3333FF +336600 +336633 +336666 +336699 +3366CC +3366FF +339900 +339933 +339966 +339999 +3399CC 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