From b516ff6d2aa4e4c81f68f307049dc0d3bd713bd6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Thu, 6 Sep 2007 10:37:27 +0200
Subject: [PATCH] Provizorni verze 13. prednasky v LaTeXu, zatim spis
 nepublikovatelna.

---
 13-hash/13-hash.latex | 274 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 274 insertions(+)
 create mode 100644 13-hash/13-hash.latex

diff --git a/13-hash/13-hash.latex b/13-hash/13-hash.latex
new file mode 100644
index 0000000..1165c0a
--- /dev/null
+++ b/13-hash/13-hash.latex
@@ -0,0 +1,274 @@
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[czech]{babel}
+\usepackage[latin2]{inputenc}
+\begin{document}
+
+
+
+{\large \bf Tøídìní}
+
+Víme-li nìco o hodnotách, mù¾eme najít lep¹í tøídící algoritumus, napø. v lineárním èase.
+
+Na mno¾inì máme tyto operace:
+
+\medskip
+
+Insert(x)
+
+Delete(x)
+
+Find(x)
+
+\medskip
+
+Víme-li, ¾e je uspoøádaná - vyhledávací strom: $\Theta(\log n)$ na operaci
+
+\medskip
+
+$n$ ... poèet prvkù
+
+$U$ ... velikost universa (mno¾ina ze které prvky vybíráme)
+
+$[U] = {0, 1, 2,\ldots,U-1}$
+
+\bigskip
+
+{\bf 1. Pole indexované $0..U-1$}
+
+\medskip
+
+Insert/Delete/Find v èase $O(1)$
+
+\medskip
+
+pamì» $O(U)$
+
+\bigskip
+
+{\bf 2. Èíslicový strom (radix tree) }
+
+Zvolíme $b$ základ soustavy
+
+prvky $U$ zapisujeme jako $k$-tice èíslic
+
+èili $x\in U \mapsto [b]^{k}, k=[\log_b U]$
+
+Tedy vznikne strom (hloubka $k$), na $k$-té úrovni podle $k$-té èíslice
+
+\medskip
+
+Find: $O(\log_b U)$
+
+Insert, Delete: $O(b \log_b U)$
+
+pamì»: $O(nb\log_b U)$
+
+\medskip
+
+$b$ malá - lep¹í pamì», hor¹í èasová slo¾itost a obrácenì
+
+$\Rightarrow$ vy¾aduje peèlivé nastavení parametrù
+
+
+\bigskip
+
+{\bf 3. Pro øetìzce }
+
+Za $b$ zvolíme abecedu
+
+$|x|$ ... délka øetìzce
+
+\medskip
+
+Find, Insert, Delete: $O(|x|)$
+
+pamì»: $O(\sum_{i} |x|)$
+
+\bigskip
+
+{\bf 4. Hashování }
+
+
+$h: [U] \rightarrow [m]$ hashovací funkce
+
+Perfektní hashovací funkce - do ka¾dé z $n$ pøihrádek jediný prvek z $[U]$
+
+Pøíklad: Jaká je pravdìpodobnost, ¾e 2 z k lidí mají narozeniny ve stejný den?
+Staèí 23 lidí, aby nastala kolize s pravdìpodobností vìt¹í ne¾ jedna polovina.
+(Aby nenastala, potøebovali bychom vìt¹í poèet pøihrádek: $m = cn^2$)
+
+$m$ ... poèet pøihrádek
+
+$h$ ... hashovací funkce $[U] \rightarrow [m]$
+
+v ka¾dé pøihrádce spoják
+
+\medskip
+Find: pou¾ít hashovací funkci k urèení pøihrádky a projít spojákem
+
+Insert
+\medskip
+
+{\bf Hashování se separovými øetezci}
+
+\medskip
+Insert, Delete, Find pracují v èase $O(|x|)$
+
+pamì»: $O(m+n)$
+\medskip
+
+vlo¾ili jsme $x_1 \ldots x_n \in [U]$
+
+nyní pracujeme s $x \in [U]$
+
+pøedpokládejme, ¾e $h(x_i)$ a $h(x)$ jsou náhodné
+
+$p:=h(x)$
+
+$N_p:=\sharp$ : $h(x_1)=h(x)$
+
+$N_{i,p} := 0$ pokud $h(x_i)\neq p$
+
+$N_{i,p} := 1$ pokud $h(x_i)= p$
+
+$N_p = \sum_{i=1}^n N_{i,p}$
+
+$E N_{i,p} = Pr[h(x_i)=p] = \frac{1}{m} $
+
+$E N_p = n \frac{1}{m} = \frac{n}{m} $
+
+\medskip
+
+Za pøedpokladu, ¾e hash pøidìluje náhodnou pøihrádku, je v ka¾dé pøihrádce $\frac{n}{m}$ prvkù.
+
+\bigskip
+
+\noindent {\sc Vìta:} {\it Pokud jsme do hashovací tabulky vlo¾ili
+hodnoty $x_1,\dots,x_m$ tak, ¾e $h_{x_i}$ jsou v¹echny stejnì
+pravdìpodobné, pak následující Insert, Delete, Find pracují v èase
+${\cal O}\,(\frac{n}{m}+1)$. (Za pøedpokladu, ¾e výpoèet $h$ trvá
+${\cal O}\,(1)$.)}
+
+\medskip
+
+{\it Insert}: Spoèítá si $h(x)$ a vlo¾í jej do spojového seznamu v patøièné pøihrádce.
+
+{\it Delete}: Spoèítá si $h(x)$ a najde jej v spojovém seznamu v patøièné pøihrádce a
+odstraní jej.
+
+{\it Find}: Spoèítá si $h(x)$ a najde jej v spojovém seznamu v patøièné pøihrádce.
+
+\medskip
+
+\noindent Tato metoda má dva háèky:
+
+1. vysoká koliznost
+
+2. musíme dopøedu vìdìt, kolik prvkù budeme vkládat
+
+\bigskip
+
+{\large \bf Nafukovací hashovací tabulka}
+
+na poèátku: $n=0;m=4$
+
+v ka¾dém okam¾iku budeme udr¾ovat pomìr $\frac{n}{m}\in \langle
+\frac{1}{2},1)$
+
+tedy: (pokud nastane)
+$$n=4 \Rightarrow m:=8 $$
+$$n=8 \Rightarrow m:=16$$
+Pøi ka¾dém zvìt¹ování tabulky musíme zvìt¹it obor hodnot hashovací funkce a v¹echny prvky ji¾
+v tabulce ulo¾ené znovu "zhashovat".
+
+Nafukování trvá ${\cal O}\, (n)$, ale mezi dvìma nafouknutími je
+minimálnì $ \frac {n}{2} $ Insertù.
+
+Pokud tedy ka¾dý Insert pøispìje konstantou, tak to máme zadarmo!
+
+\bigskip
+
+PROBLÉM: Jak udìlat funkci Delete? Jednoduché zmen¹ování tabulky pøi pomìru
+$\frac{n}{m}=\frac{1}{2}$ není dostaèující, nebo» by se mohlo stát, ¾e bychom nafukovali a
+zfukovali hned po sobì.
+
+\bigskip
+
+{\bf Verze s Insert a Delete}
+
+Udr¾ujeme $\frac{n}{m}\in \langle \frac{1}{4},1)$
+
+pøi zfukování tabulku pùlíme, pøi nafukování zdvojnásobujeme
+
+\medskip
+
+Po pøehashování je pomìr $\frac{n}{m}=\frac{1}{2} \Rightarrow$mezi dvìma pøehashováními
+nastane minimálnì $\frac{m}{2}$ Insertù èi $\frac{m}{4}$ Deletù, tedy alespoò $\frac{m}{4}$
+operací.
+
+Zároveò zabereme v¾dy lineárnì prostoru vzhledem k $n$.
+
+\bigskip
+
+\noindent {\sc Vìta:} {\it Nafukovací hashování (se separovanými øetìzci) za pøedpokladu
+rovnomìrné pravdìpodobnosti pracuje v prùmìrném èase ${\cal O}\,(1)$ na operaci a v prostoru
+${\cal O}\,(n)$ (kde $n$ je poèet pøítomných prvkù).}
+
+\medskip
+
+Kde pøijít k rovnomìrné hashovací funkci?
+
+\medskip
+
+\noindent Dìdeèkovo vyprávìní:
+
+a) $h(x)= x$ $mod (m)$ -rychlá, snadná kolize, sudé x v¾dy v sudých pøihrádkách. Na náhodných
+èíslech funguje v pohodì.
+
+\bigskip
+
+\noindent POZOROVÁNÍ: $\alpha \in(0,1)$ iracionální;
+
+$x \in{\sc N}$ pak $\alpha x $ $ mod (1)$ se chová "náhodnì".
+
+\medskip
+
+ b) $h(x)=\lfloor m(\alpha x $ $mod(1))\rfloor$
+ $$ \frac {A}{W} \sim \alpha \Rightarrow h(x)= \lfloor m(Ax \ mod(W)) \rfloor $$
+
+ \medskip
+
+ Jako velmi výhodné se jeví pou¾ívat $\alpha = \frac {\sqrt{5} -1}
+ {2} $ - pøevrácená hodnota zlatého øezu.
+
+\medskip
+
+c) funkce k hashování øetìzcù
+$$ h(\emptyset)=0 $$
+$$ h(x_1, \dots , x_n)=c(h(x_1, \dots ,x_{n-1})+x_n)$$
+$$ \Rightarrow h(x_1, \dots , x_n)=x_n + cx_{n-1} + c^2 x_{n-2} +
+\dots $$ (polynom)
+
+\medskip
+
+d)Pokud $x$ je $k$-tice (celých) èísel. Pak mù¾eme jako hashovací funkci pou¾ít skalární
+souèín s náhodnì vybraným prvkem z vektorového prostoru $Z_p^k$ (nad koneèným tìlesem):
+$$ h(x)= \overrightarrow{a} * \overrightarrow{x}   mod (p) $$
+
+\medskip
+
+Pravdìpodobnost pøes v¹echny volby $\overrightarrow{a}$, ¾e  $x,y$ se zahashují stejnì je
+pak:
+$$ p[h(x)=h(y)] = p[\overrightarrow{a}*\overrightarrow{x} =
+\overrightarrow{a}*\overrightarrow{y}]= p[\overrightarrow{a}*
+(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})=0)] $$
+
+Pokud platí $p[\overrightarrow{a}* (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}=0)]$, pak
+$\overrightarrow{a}$ je prvkem ortogonálního doplòku k $(x-y)$, ten má $ dim (W^\bot) =
+(k-1)$
+
+$$ p= \frac{W^\bot}{Z_p^k}= \frac{p^{k-1}}{p^k} = \frac {1}{p}=\frac{1}{m}$$
+
+kde $m$ je poèet pøihrádek. Co¾ je dostaèující.
+
+\end{document}
-- 
2.39.2