From 6ad49f93e3a888c9617f6f8b3f0e976ddcc1e0c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Mares Date: Wed, 7 Nov 2007 15:20:51 +0100 Subject: [PATCH] Cast kapitoly o Goldbergove algoritmu. --- 4-goldberg/4-goldberg.tex | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 4-goldberg/Makefile | 3 + all/Makefile | 2 +- 3 files changed, 127 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 4-goldberg/4-goldberg.tex create mode 100644 4-goldberg/Makefile diff --git a/4-goldberg/4-goldberg.tex b/4-goldberg/4-goldberg.tex new file mode 100644 index 0000000..7d5bdfe --- /dev/null +++ b/4-goldberg/4-goldberg.tex @@ -0,0 +1,123 @@ +\input lecnotes.tex + +\prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, +%J. Volec, +J. Záloha)} + +\noindent +Pøedstavíme si nový algoritmus pro hledání toku v síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako +{\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í. + +\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$ +je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), t.¾. $ \forall e \in E : f(e) \leq c(e) \wedge $ pro +$ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. + +\s{Poznámka:} Funkce $f^{\Delta}(v)$ vrací pøebytek ve vrcholu +$v$ : $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$ +Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $. + +\noindent r(v,u) +V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em +vrcholùm vý¹ky pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$. + +\s{Operace:} pro $ (u,v) \in E$ + +\algo +\:{\I Pøevedení pøebytku} + +Pokud platí: +\itemize\ibull + \: $u : f^{\Delta}(v) > 0$ + \: $v : h(u) > h(v)$ + \: $r(u,v)>0$ +\endlist + pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$ $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ . + +Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$. +Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$ +budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}. + +\:{\I Zvednutí vrcholu} $u$ + +Pokud v algoritmu narazíme na pøebytek, kterého se nelze pøevést, zvedneme vrchol $h(u):=h(u)+1$. +\endalgo + +\s{Algoritmus:} (Goldberg) + +\algo +\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$. +\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$. +\:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$: +\:Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v). +\:Jinak zvedneme $u$. +\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek. +\endalgo + +\s{Poznámka:} Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je tam pøidáme s nulovou kapacitou + +\noindent +Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného +agoritmu. + +\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ vrácená algoritmem je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a +$h(z)=N, h(s)=0$. + +\proof +Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme +záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku +algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku. +\qed + +\s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou. + +\proof +Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h()$, ale to nejde. +\qed + +\s{Lemma K (o korektnosti)} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maxinální tok. + +\proof +Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit v tìchto pøípadech: +\itemize\ibull +\:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok. +\:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $N$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S. +\endlist +\qed + +\s{Invarinat C (cesta domù, do zdroje)} Je-li $v \in V(G), v \neq z,s, f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. + +\proof +Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. +Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$. +Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$. + +\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$, Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$ se tedy jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí: +$$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$ +Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek. +\qed +\s{Invariant V (vý¹ka)} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)<=2N$. + +\proof +Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $N-1$. +Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2N$, musel by být zvednut alespoò 2N-krát. To ale znamená, ¾e by po $2N-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu $\acute{v}$, musí platit $h(v)<=h(\acute{v})$ a tedy $v$ bude zvednut po 2N. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=N$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S. +\qed + +\s{Lemma Z (poèet zvednutí)} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2N^{2}$. + +\proof +Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì 2N-krát a vrcholù je N. +\qed +% +%\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena. +% +%\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu. + +\s{Lemma SY (sytá pøevedení)} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$. + +\proof +Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v)