From 642444561c94a1f2bd3dae9d5004960e8fcf70f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Mares Date: Thu, 1 Dec 2011 23:55:05 +0100 Subject: [PATCH] Prepis slidu ke komplexnim cislum --- slides/Makefile | 11 ++-- slides/complex.tex | 137 ++++++++++++++++++++++++++++++-------------- slides/slidemac.tex | 98 ------------------------------- 3 files changed, 97 insertions(+), 149 deletions(-) delete mode 100644 slides/slidemac.tex diff --git a/slides/Makefile b/slides/Makefile index a11f216..5555b86 100644 --- a/slides/Makefile +++ b/slides/Makefile @@ -1,10 +1,7 @@ -all: complex.ps +all: complex.pdf -%.dvi: %.tex slidemac.tex - csplain $< - -%.ps: %.dvi - dvips -o $@ -D600 -T250mm,187mm -O-1in,-1in $< +complex.pdf: complex.tex + pdflatex complex.tex clean: - rm -f *~ *.log *.tfm *.*pk *.*gf *.ps *.dvi *.pdf + rm -f *~ *.{aux,log,nav,out,pdf,snm,toc,vrb} diff --git a/slides/complex.tex b/slides/complex.tex index 4d0660d..2031dd8 100644 --- a/slides/complex.tex +++ b/slides/complex.tex @@ -1,85 +1,134 @@ -\input slidemac.tex +\documentclass{beamer} +\usepackage[latin2]{inputenc} +\usepackage{palatino} +\usepackage{amssymb} +\usetheme{Warsaw} +\title{Opakování komplexních èísel} +\author{Martin Mare¹} +\date{2011} +\begin{document} +\setbeamertemplate{navigation symbols}{} -\language=\czech -\chyph +\def\e{{\rm e}} +\def\I{\,{\bf i}} +\def\bb{\mathbb} +\def\sk{\medskip} -\def\i{{\rm i}} -\def\bb{\fam\bbfam} -\advance\parskip by 10pt +\begin{frame}{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar} -\slide{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar} +{\bf Definice:} ${\bb C} = \{ a+b\I \mid a,b\in {\bb R} \}$. -Definice: ${\bb C} = \{ a+b\i \mid a,b\in {\bb R} \}$. +\sk -Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$. +{\bf Sèítání:} $(a+b\I)\pm(p+q\I) = (a\pm p) + (b\pm q)\I$. -Násobení: $(a+b\i)\cdot(p+q\i) = ap + (aq+bp)\i + bq\i^2 = (ap-bq)+(aq+bp)\i$. +\sk -\noindent\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$. +{\bf Násobení:} $(a+b\I)\cdot(p+q\I) = ap + (aq+bp)\I + bq\I^2 =$ -Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$. +$ =(ap-bq)+(aq+bp)\I$. -\noindent\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$. +\sk -Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$. +\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$: $\alpha(a+b\I) = \alpha a + \alpha b\I$. -\noindent\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$. +\sk -Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$. +{\bf Komplexní sdru¾ení:} $\overline{a+b\I} = a-b\I$. -\endslide +\sk -\slide{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar} +\qquad Vlastnosti: $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} += \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot +\overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$. -Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$. +\sk -$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$. +{\bf Absolutní hodnota:} $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\I \vert = \sqrt{a^2+b^2}$. -$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\sit komplexní jednotky\/}). +\sk -\noindent\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$. +\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}: \vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$. -Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \i\sin\varphi(x))$. +\sk -\noindent\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\sit argument\/} èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$. +{\bf Dìlení:} $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$. + +\end{frame} + +\begin{frame}{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar} + +{\bf Geometrický pohled na $\bb C$:} + +\begin{itemize} +\item Èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\I \leftrightarrow (a,b)$. +\item $\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$. +\item $\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici \\ + ({\it komplexní jednotky\/}). +\end{itemize} + +{\bf Goniometrický tvar:} + +\begin{itemize} +\item Pro komplexní jednotky: $x=\cos\varphi + \I\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$. +\item Obecnì: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \I\sin\varphi(x))$. +\end{itemize} + +\sk + +Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\it argument\/} èísla~$x$ (znaèí se $\mathop{\rm arg} x$). + +\sk Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$. -\endslide +\end{frame} -\slide{Komplexní èísla: Exponenciální tvar} +\begin{frame}{Komplexní èísla: Exponenciální tvar} -Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$. +{\bf Eulerova formule:} $\e^{i\varphi} = \cos\varphi + \I\sin\varphi$. -Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}$. +\sk -Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) = -\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$. +Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}$. -\noindent\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají) +\sk -Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$. +{\bf Násobení:} $xy = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(y)}\right) = +\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot \e^{\I\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$. -Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot \varphi(x)/n}$. +\smallskip -\noindent\qquad \dots\ pozor, odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$. +{\it (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)} -\endslide +\sk -\slide{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky} +{\bf Umocòování:} $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot \e^{\I \alpha \varphi(x)}$. -Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit: +\sk + +{\bf Odmocòování:} $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\cdot \varphi(x)/n}$. + +\smallskip -\noindent\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$, +Odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\I^4=(-\I)^4=1$. -\noindent\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾ $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$. +\end{frame} + +\begin{frame}{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky} + +Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit: -Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$ +\begin{itemize} +\item $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=\e^{\I\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$, +\item $\e^{\I\varphi n} = \cos{\varphi n} + \I\sin\varphi n = 1$, \\ co¾ nastane, kdykoliv $\varphi n = 2k\pi$ pro $k\in{\bb Z}$. +\item Dostáváme $n$ rùzných $n$-tých odmocnin: \\ $2k\pi/n$ pro $k=0,\ldots,n-1$. +\end{itemize} -\noindent\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny). +\sk -Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi(x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$. +Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\varphi(x)/n} \cdot \root n\of 1$. -\endslide +\end{frame} -\end +\end{document} diff --git a/slides/slidemac.tex b/slides/slidemac.tex deleted file mode 100644 index 6bda976..0000000 --- a/slides/slidemac.tex +++ /dev/null @@ -1,98 +0,0 @@ -\hsize=230mm -\vsize=157mm -\voffset=10mm -\hoffset=10mm -\nopagenumbers - -\font\srm=csss12 scaled \magstep3 -\font\stit=csb12 scaled \magstep3 -\font\sem=csssbx12 scaled \magstep3 -\font\sit=csssi12 scaled \magstep3 -\font\stt=cstt12 scaled \magstep3 -\font\stitle=cscsc12 scaled \magstep4 - -\baselineskip=25pt -\lineskip=2.1pt -\parindent=0pt -\parskip=4pt -\abovedisplayskip=24pt plus 6pt minus 18pt -\abovedisplayshortskip=0pt plus 6pt -\belowdisplayskip=24pt plus 6pt minus 18pt -\belowdisplayshortskip=14pt plus 6pt minus 8pt - -\def\em#1{{\sem #1}} -\srm - -\newfam\bbfam -\font\rmfont=cmr10 scaled \magstep4 -\font\ttfont=cmtt10 scaled \magstep4 -\font\ifont=cmmi10 scaled \magstep4 -\font\symfont=cmsy10 scaled \magstep4 -\font\exfont=cmex10 scaled \magstep4 -\font\rmfonts=cmr7 scaled \magstep4 -\font\ifonts=cmmi7 scaled \magstep4 -\font\symfonts=cmsy7 scaled \magstep4 -\font\exfonts=cmex7 scaled \magstep4 -\font\rmfontss=cmr5 scaled \magstep4 -\font\ifontss=cmmi5 scaled \magstep4 -\font\symfontss=cmsy5 scaled \magstep4 -\font\exfontss=cmex5 scaled \magstep4 -\font\bbfont=bbold10 scaled \magstep4 -\textfont0=\rmfont -\textfont1=\ifont -\textfont2=\symfont -\textfont3=\exfont -\textfont\bbfam=\bbfont -\scriptfont0=\rmfonts -\scriptfont1=\ifonts -\scriptfont2=\symfonts -\scriptfont3=\exfonts -\scriptscriptfont0=\rmfontss -\scriptscriptfont1=\ifontss -\scriptscriptfont2=\symfontss -\scriptscriptfont3=\exfontss - -\def\slide#1{\begingroup -\ifx:#1:\else -\line{\vrule width 0pt height 25pt depth 4pt \stit #1\hfill} -\medskip -\hrule height 2pt -\bigskip -\bigskip -\fi -} -\def\endslide{\vfill\eject\endgroup} - -\def\\{\hfil\break} -\def\itemize#1{\par{\advance\leftskip by 35pt{\parskip=5pt #1}\par}} -\def\:{\par\leavevmode\llap{$\bullet$\hskip 7pt}} -\def\>{\par\leavevmode\llap{$\circ$\hskip 7pt}} -\def\<#1>{\hbox{\sit #1\/}} -\def\bbold{\bbfont\fam\bbfam} -\def\O{{\cal O}} - -\newcount\itemcount -\def\interlistskip{\medskip} -\def\algo{ -\begingroup -\let\:=\algoitem -\let\*=\algohang -\parskip=1pt plus 1pt minus 0.3pt -\rightskip=2em -\itemcount=0 -\interlistskip -} -\def\endalgo{\interlistskip\endgroup} -\def\algoitem{\par -\parindent=2em -\hangindent=4em -\hangafter=1 -\advance\itemcount by 1 -\leavevmode\hbox to 2em{\hss \the\itemcount. }% -\futurelet\next\algoitemh} -\def\algoitemh{\ifx\next:\let\next=\algohang\else\let\next=\relax\fi\next} -\def\algohang:{\advance\hangindent by 2em \hskip 2em\futurelet\next\algoitemh} - -\def\popcolor{\special{color pop}} -\def\pushcolor#1{\special{color push #1}} -\def\color#1{\pushcolor{#1}\aftergroup\popcolor} -- 2.39.2