From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Mon, 30 Oct 2006 13:35:03 +0000 (+0100)
Subject: Notextmode.
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=dfe4bccef7b2d1468014f4849c03a6265d80194b;p=ga.git

Notextmode.
---

diff --git a/1-toky/1-toky.tex b/1-toky/1-toky.tex
index adb5042..cff0019 100644
--- a/1-toky/1-toky.tex
+++ b/1-toky/1-toky.tex
@@ -1,227 +1,227 @@
-\input ../sgr.tex
-
-\prednaska{1}{Toky, øezy a Ford-Fulkersonùv algoritmus}{zapsal Radovan ©esták}
-
-V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, øezy a související pojmy a uká¾eme
-Ford-Fulkersonùv algoritmus na nalezení maximálního toku. Dal¹í algoritmy budou
-následovat v~pøí¹tích kapitolách.
-
-\todo{Tady (nebo nìkde jinde poblí¾) by mìly být zavedeny základní znaèky.}
-
-\todo{Co je $V$, $E$, $m$, $n$ \dots}
-
-\h{Toky v sítích}
-
-Intuitivní pohled: sí» je systém propojených potrubí, který pøepravuje tekutinu
-ze~zdroje~$s$ (source) do~spotøebièe~$t$ (target), pøièem¾ tekutina
-se nikde mimo tato dvì místa neztrácí ani nevzniká.
-
-\s{Definice:}
-
-\itemize\ibull
-\:{\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,s,t,c)$, kde:
-  \itemize\ibull
-  \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
-  \:$s\in V$ {\I zdroj,}
-  \:$t\in V$ {\I stok,} a
-  \:$c: E\rightarrow {\bb R}^+$ funkce udávající {\I kapacity} jednotlivých hran.
-  \endlist
-\:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro ka¾dé ohodnocení $f$
-  mù¾eme definovat:
-  $$ f^+(v) = \sum_{e=(\cdot,w)} f(e), \quad
-     f^-(v) = \sum_{e=(w,\cdot)} f(e), \quad
-     f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)
-  $$
-  [intuitivnì: co do~vrcholu pøiteèe, co odteèe a jaký je v~nìm pøebytek].
-\:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
-  \itemize\ibull
-  \:$\forall e: 0 \le f(e) \le w(e)$, \quad {\I (dodr¾uje kapacity)}
-  \:$\forall v\ne s,t: f^\Delta(v)=0$. \quad {\I (Kirchhoffùv zákon)}
-  \endlist
-\:{\I Velikost toku:} $\vert f \vert = -f^\Delta(s)$.
-\:{\I Øez (tokový):} mno¾ina vrcholù $C\subset V$ taková, ¾e $s\in C$, $t\not\in C$. Øez mù¾eme také
-  ztoto¾nit s~mno¾inami hran $E \cap (C \times \overline C)$ [tìm budeme øíkat hrany zleva doprava a budeme
-  je znaèit $C^-$] a $E \cap (\overline C \times C)$ [hrany zprava doleva, tedy $C^+$].
-\:{\I Kapacita øezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).
-\:{\I Tok pøes øez:} $f^-(C)=\sum_{e \in C^-} f(e)$, $f^+(C)=\sum_{e\in C^+} f(e)$, $f^\Delta(C)=f^+(C)-f^-(C)$.
-\:{\I Cirkulace} je nulový tok, èili $\forall v: f^\Delta(v)=0$.
-\endlist
-
-\figure{graf.eps}{Pøíklad orientovaného grafu ze zvoleným zdrojem a stokem.}{0.4\hsize}
-
-Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
-velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).
-
-\s{Vìtièka:} V~ka¾dé síti existuje maximální tok a minimální øez.
-
-\s{Dùkaz:} Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
-pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické
-analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce,
-a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
-analýzy Ford-Fulkersonova algoritmu.
-
-\s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾:
-$$\eqalign{
-\sum_v f^\Delta(v) &= f^\Delta(s) + f^\Delta(t) \hbox{~~~(podle Kirchhoffova zákona), ale také:} \cr
-\sum_v f^\Delta(v) &= \sum_e f(e) - f(e) = 0 \hbox{~~~(ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$),}
-}$$
-tak¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
-
-Stejnì tak mù¾eme velikost toku zmìøit na~libovolném øezu:
-
-\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
-
-\s{Dùkaz:} První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
-[tedy pøesouváním vrcholu zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
-Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(c) \le \vert C \vert.$ \qed
-
-Velikost ka¾dého toku mù¾eme tedy omezit kapacitou libovolného øezu. Kdybychom na¹li tok a øez stejné
-velikosti, mù¾eme si tedy být jisti, ¾e tok je maximální a øez minimální. To není náhoda, platí toti¾
-následující vìta:
-
-\s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
-
-\s{Dùkaz:} Jednu nerovnost jsme dokázali v~pøedchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
-programování [max. tok a min. øez jsou navzájem duální úlohy], ale k~pìknému kombinatorickému
-dùkazu pùjde opìt pou¾ít Ford-Fulkersonùv algoritmus.
-
-\h{Ford-Fulkersonùv algoritmus}
-
-Nejpøímoèaøej¹í zpùsob, jak hledat toky v~sítích, je zaèít s~nìjakým tokem (nulový je po~ruce v¾dy)
-a postupnì ho zlep¹ovat tak, ¾e nalezneme nìjakou nenasycenou cestu a po¹leme po~ní \uv{co pùjde}.
-To~bohu¾el nefunguje, ale mù¾eme tento postup trochu zobecnit a být ochotni pou¾ívat nejen hrany,
-pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok
-v~na¹em smìru simulovat odeètením od~toku v~protismìru. Trochu formálnìji:
-
-\s{Definice:}
-
-\itemize\ibull
-\:{\I Rezerva} hrany $e=(v,w)$ pøi toku~$f$ se definuje jako $r(e) = (c(e) - f(e)) + f(e^\prime)$, kde $e^\prime=(w,v)$.
-  Pro úèely tohoto algoritmu budeme pøedpokládat, ¾e ke~ka¾dé hranì hrana opaèná existuje; pokud ne, dodefinujeme
-  si ji s~nulovou kapacitou.
-\:{\I Zlep¹ující cesta} je orientovaná cesta taková, ¾e v¹echny její hrany mají nenulovou rezervu.
-\endlist
-
-\s{Algoritmus:}
-
-\algo
-\:$f \leftarrow 0$
-\:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$ z~$s$ do~$t$
-\::$m=\min_{e\in P} r(P)$
-\::zvìt¹i tok $f$ podle~$P$ o~$m$ (ka¾dé hranì $e\in P$ zvìt¹i $f(e)$, pøípadnì zmen¹i $f(e^\prime)$, podle toho, co jde)
-\endalgo
-
-\s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku
-stoupne velikost toku o~$m \ge 1$, co¾ mù¾e nastat pouze koneènìkrát. Podobnì pro racionální kapacity:
-pøenásobíme-li v¹echny kapacity jejich spoleèným jmenovatelem, dostaneme sí» s~celoèíselnými kapacitami,
-na~které se bude algoritmus chovat identicky a jak ji¾ víme, skonèí. Pro~iracionální kapacity obecnì
-dobìhnout nemusí, zkuste vymyslet protipøíklad.
-
-Uva¾me nyní situaci po~zastavení algoritmu. Funkce~$f$ je urèitì tok, proto¾e jím byla po~celou dobu
-bìhu algoritmu. Prozkoumejme teï mno¾inu $C$ vrcholù, do~nich¾ po~zastavení algoritmu vede zlep¹ující cesta ze~zdroje.
-Jistì $s\in C$, $t\not\in C$, tak¾e tato mno¾ina je øez. Navíc pro ka¾dou hranu $e\in C^-$ musí
-být $f(e)=c(e)$ a pro ka¾dou $e\in C^+$ je $f(e)=0$, proto¾e jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
-nulová. Tak¾e $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, èili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
-
-Na¹li jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, øez stejné velikosti, tak¾e jak u¾ víme,
-tok je maximání a øez minimální. Tím jsme také dokázali Ford-Fulkersonovu vìtu (dokonce
-i pro obecné reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit na maximální tok místo nulového
-a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez). Navíc algoritmus nikdy nevytváøí z~celých
-èísel necelá, èim¾ získáme:
-
-\s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
-
-\s{Èasová slo¾itost} F-F algoritmu mù¾e být pro obecné sítì a ne¹ikovnou volbu zlep¹ujících
-cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
-do~¹íøky (co¾ je asi nejpøímoèaøej¹í implementace), pobì¾í v~èase $\O(m^2n)$. Pokud budou
-v¹echny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, ¾e staèí $\O(nm)$.
-
-\h{Maximální párování v bipartitním grafu}
-
-Jedním z~problémù, které lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
-maximálního {\I párování} v~bipartitním grafu (to je mno¾ina hran taková, ¾e ¾ádné
-dvì nemají spoleèný vrchol).
-
-Bipartitní graf $(A\cup B, E)$ pøevedeme na sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
-plus dva nové vrcholy $s$ a~$t$, v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
-nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
-Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky.
-
-Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
-Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme
-právì hrany, po~kterých nìco teèe.
-
-Podobnì mù¾eme najít souvislost mezi øezy v~této síti a {\I vrcholovými pokrytími}
-zadaného grafu -- to jsou mno¾iny vrcholù takové, ¾e se dotýkají ka¾dé hrany.
-Tak z~F-F vìty získáme:
-
-\s{Vìta (König):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
-rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
-
-\figure{bip-graf.eps}{Bipartitní graf pro který hledáme maximální párování.}{0.2\hsize}
-\figure{bip-tok.eps}{Sí», ve~které najdeme maximální tok.}{0.3\hsize}
-
-\h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
-
-\s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
-\itemize\ibull
-\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ budou
-  vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
-\:{\I $st$-separátor} je mno¾ina vrcholù $W$ taková, ¾e $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$
-  budou vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
-\:{\I Øez} je mno¾ina hran, která je $xy$-øezem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
-\:{\I Separátor} je mno¾ina vrcholù, která je $xy$-separátorem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
-\:$G$ je {\I hranovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny øezy v~$G$
-  mají více ne¾~$k$ hran.
-\:$G$ je {\I vrcholovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny separátory v~$G$
-\endlist
-
-V¹imnìte si, ¾e nesouvislý graf má øez i separátor velikosti~0, tak¾e vrcholová i hranová 1-souvislost
-splývají s~obyèejnou souvislostí pro v¹echny grafy o~alespoò dvou vrcholech. Hranovì 2-souvislé
-jsou právì (netriviální) grafy bez {\I mostù,} vrcholovì 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
-
-Pro orientované grafy mù¾eme $st$-øezy a $st$-separátory definovat analogicky
-(toti¾, ¾e po~odstranìní pøíslu¹né mno¾iny hran èi vrcholù nemá existovat orientovaná
-cesta z~$s$ do~$t$), globální øezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
-nedefinují.
-
-\s{Pozorování:} Minimální orientované $st$-øezy podle této definice a minimální tokové øezy
-podle definice ze~zaèátku kapitoly splývají: ka¾dý tokový øez~$C$ odpovídá $st$-øezu stejné
-velikosti tvoøenému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimální $st$-øez musí být mno¾ina
-vrcholù dosa¾itelných z~$s$ po~odebrání øezu z~grafu tokovým øezem, opìt stejné velikosti.
-[Velikost mìøíme souètem kapacit hran.] Dává tedy rozumný smysl øíkat obojímu stejnì.
-Podobnì se chovají i neorientované grafy, pokud do~\uv{tokového} øezu poèítáme
-hrany v~obou smìrech.
-
-Analogií tokù je pak existence nìjakého poètu disjunktních cest (vrcholovì nebo hranovì)
-mezi vrcholy~$s$ a~$t$. Analogií F-F~vìty pak budou známé Mengerovy vìty:
-
-\s{Vìta (Mengerova, lokální hranová orientovaná):}
-Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy. Pak je velikost minimálního
-$st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
-cest z~$s$ do~$t$}
-
-\s{Dùkaz:} TODO
-
-\s{Vìta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
-Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy takové, ¾e $st\not\in E$.
-Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
-disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
-
-\s{Dùkaz:} TODO
-
-\figure{vrchol.eps}{Vrchol který chceme podrozdìlit.}{0.1\hsize}
-\figure{podrozdeleni.eps}{Výsledek podrozdìlení vrcholu.}{0.15\hsize}
-
-Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty a z~nich pak i globální varianty
-popisující $k$-souvislost grafù:
-
-\s{Vìta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
-Neorientovaný graf~$G$ je hranovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými
-dvìma vrcholy existuje alespoò~$k$ hranovì disjunktních cest.
-
-\s{Vìta (Mengerova, globální vrcholová neorientovaná):}
-Neorientovaný graf~$G$ je vrcholovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými dvìma
-vrcholy existuje alespoò~$k$ vrcholovì disjunktních cest.
-
-\bye
+\input ../sgr.tex
+
+\prednaska{1}{Toky, øezy a Ford-Fulkersonùv algoritmus}{zapsal Radovan ©esták}
+
+V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, øezy a související pojmy a uká¾eme
+Ford-Fulkersonùv algoritmus na nalezení maximálního toku. Dal¹í algoritmy budou
+následovat v~pøí¹tích kapitolách.
+
+\todo{Tady (nebo nìkde jinde poblí¾) by mìly být zavedeny základní znaèky.}
+
+\todo{Co je $V$, $E$, $m$, $n$ \dots}
+
+\h{Toky v sítích}
+
+Intuitivní pohled: sí» je systém propojených potrubí, který pøepravuje tekutinu
+ze~zdroje~$s$ (source) do~spotøebièe~$t$ (target), pøièem¾ tekutina
+se nikde mimo tato dvì místa neztrácí ani nevzniká.
+
+\s{Definice:}
+
+\itemize\ibull
+\:{\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,s,t,c)$, kde:
+  \itemize\ibull
+  \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
+  \:$s\in V$ {\I zdroj,}
+  \:$t\in V$ {\I stok,} a
+  \:$c: E\rightarrow {\bb R}^+$ funkce udávající {\I kapacity} jednotlivých hran.
+  \endlist
+\:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro ka¾dé ohodnocení $f$
+  mù¾eme definovat:
+  $$ f^+(v) = \sum_{e=(\cdot,w)} f(e), \quad
+     f^-(v) = \sum_{e=(w,\cdot)} f(e), \quad
+     f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)
+  $$
+  [intuitivnì: co do~vrcholu pøiteèe, co odteèe a jaký je v~nìm pøebytek].
+\:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
+  \itemize\ibull
+  \:$\forall e: 0 \le f(e) \le w(e)$, \quad {\I (dodr¾uje kapacity)}
+  \:$\forall v\ne s,t: f^\Delta(v)=0$. \quad {\I (Kirchhoffùv zákon)}
+  \endlist
+\:{\I Velikost toku:} $\vert f \vert = -f^\Delta(s)$.
+\:{\I Øez (tokový):} mno¾ina vrcholù $C\subset V$ taková, ¾e $s\in C$, $t\not\in C$. Øez mù¾eme také
+  ztoto¾nit s~mno¾inami hran $E \cap (C \times \overline C)$ [tìm budeme øíkat hrany zleva doprava a budeme
+  je znaèit $C^-$] a $E \cap (\overline C \times C)$ [hrany zprava doleva, tedy $C^+$].
+\:{\I Kapacita øezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).
+\:{\I Tok pøes øez:} $f^-(C)=\sum_{e \in C^-} f(e)$, $f^+(C)=\sum_{e\in C^+} f(e)$, $f^\Delta(C)=f^+(C)-f^-(C)$.
+\:{\I Cirkulace} je nulový tok, èili $\forall v: f^\Delta(v)=0$.
+\endlist
+
+\figure{graf.eps}{Pøíklad orientovaného grafu ze zvoleným zdrojem a stokem.}{0.4\hsize}
+
+Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
+velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).
+
+\s{Vìtièka:} V~ka¾dé síti existuje maximální tok a minimální øez.
+
+\s{Dùkaz:} Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
+pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické
+analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce,
+a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
+analýzy Ford-Fulkersonova algoritmu.
+
+\s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾:
+$$\eqalign{
+\sum_v f^\Delta(v) &= f^\Delta(s) + f^\Delta(t) \hbox{~~~(podle Kirchhoffova zákona), ale také:} \cr
+\sum_v f^\Delta(v) &= \sum_e f(e) - f(e) = 0 \hbox{~~~(ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$),}
+}$$
+tak¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
+
+Stejnì tak mù¾eme velikost toku zmìøit na~libovolném øezu:
+
+\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
+
+\s{Dùkaz:} První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
+[tedy pøesouváním vrcholu zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
+Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(c) \le \vert C \vert.$ \qed
+
+Velikost ka¾dého toku mù¾eme tedy omezit kapacitou libovolného øezu. Kdybychom na¹li tok a øez stejné
+velikosti, mù¾eme si tedy být jisti, ¾e tok je maximální a øez minimální. To není náhoda, platí toti¾
+následující vìta:
+
+\s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
+
+\s{Dùkaz:} Jednu nerovnost jsme dokázali v~pøedchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
+programování [max. tok a min. øez jsou navzájem duální úlohy], ale k~pìknému kombinatorickému
+dùkazu pùjde opìt pou¾ít Ford-Fulkersonùv algoritmus.
+
+\h{Ford-Fulkersonùv algoritmus}
+
+Nejpøímoèaøej¹í zpùsob, jak hledat toky v~sítích, je zaèít s~nìjakým tokem (nulový je po~ruce v¾dy)
+a postupnì ho zlep¹ovat tak, ¾e nalezneme nìjakou nenasycenou cestu a po¹leme po~ní \uv{co pùjde}.
+To~bohu¾el nefunguje, ale mù¾eme tento postup trochu zobecnit a být ochotni pou¾ívat nejen hrany,
+pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok
+v~na¹em smìru simulovat odeètením od~toku v~protismìru. Trochu formálnìji:
+
+\s{Definice:}
+
+\itemize\ibull
+\:{\I Rezerva} hrany $e=(v,w)$ pøi toku~$f$ se definuje jako $r(e) = (c(e) - f(e)) + f(e^\prime)$, kde $e^\prime=(w,v)$.
+  Pro úèely tohoto algoritmu budeme pøedpokládat, ¾e ke~ka¾dé hranì hrana opaèná existuje; pokud ne, dodefinujeme
+  si ji s~nulovou kapacitou.
+\:{\I Zlep¹ující cesta} je orientovaná cesta taková, ¾e v¹echny její hrany mají nenulovou rezervu.
+\endlist
+
+\s{Algoritmus:}
+
+\algo
+\:$f \leftarrow 0$
+\:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$ z~$s$ do~$t$
+\::$m=\min_{e\in P} r(P)$
+\::zvìt¹i tok $f$ podle~$P$ o~$m$ (ka¾dé hranì $e\in P$ zvìt¹i $f(e)$, pøípadnì zmen¹i $f(e^\prime)$, podle toho, co jde)
+\endalgo
+
+\s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku
+stoupne velikost toku o~$m \ge 1$, co¾ mù¾e nastat pouze koneènìkrát. Podobnì pro racionální kapacity:
+pøenásobíme-li v¹echny kapacity jejich spoleèným jmenovatelem, dostaneme sí» s~celoèíselnými kapacitami,
+na~které se bude algoritmus chovat identicky a jak ji¾ víme, skonèí. Pro~iracionální kapacity obecnì
+dobìhnout nemusí, zkuste vymyslet protipøíklad.
+
+Uva¾me nyní situaci po~zastavení algoritmu. Funkce~$f$ je urèitì tok, proto¾e jím byla po~celou dobu
+bìhu algoritmu. Prozkoumejme teï mno¾inu $C$ vrcholù, do~nich¾ po~zastavení algoritmu vede zlep¹ující cesta ze~zdroje.
+Jistì $s\in C$, $t\not\in C$, tak¾e tato mno¾ina je øez. Navíc pro ka¾dou hranu $e\in C^-$ musí
+být $f(e)=c(e)$ a pro ka¾dou $e\in C^+$ je $f(e)=0$, proto¾e jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
+nulová. Tak¾e $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, èili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
+
+Na¹li jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, øez stejné velikosti, tak¾e jak u¾ víme,
+tok je maximání a øez minimální. Tím jsme také dokázali Ford-Fulkersonovu vìtu (dokonce
+i pro obecné reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit na maximální tok místo nulového
+a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez). Navíc algoritmus nikdy nevytváøí z~celých
+èísel necelá, èim¾ získáme:
+
+\s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
+
+\s{Èasová slo¾itost} F-F algoritmu mù¾e být pro obecné sítì a ne¹ikovnou volbu zlep¹ujících
+cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
+do~¹íøky (co¾ je asi nejpøímoèaøej¹í implementace), pobì¾í v~èase $\O(m^2n)$. Pokud budou
+v¹echny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, ¾e staèí $\O(nm)$.
+
+\h{Maximální párování v bipartitním grafu}
+
+Jedním z~problémù, které lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
+maximálního {\I párování} v~bipartitním grafu (to je mno¾ina hran taková, ¾e ¾ádné
+dvì nemají spoleèný vrchol).
+
+Bipartitní graf $(A\cup B, E)$ pøevedeme na sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
+plus dva nové vrcholy $s$ a~$t$, v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
+nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
+Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky.
+
+Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
+Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme
+právì hrany, po~kterých nìco teèe.
+
+Podobnì mù¾eme najít souvislost mezi øezy v~této síti a {\I vrcholovými pokrytími}
+zadaného grafu -- to jsou mno¾iny vrcholù takové, ¾e se dotýkají ka¾dé hrany.
+Tak z~F-F vìty získáme:
+
+\s{Vìta (König):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
+rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
+
+\figure{bip-graf.eps}{Bipartitní graf pro který hledáme maximální párování.}{0.2\hsize}
+\figure{bip-tok.eps}{Sí», ve~které najdeme maximální tok.}{0.3\hsize}
+
+\h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
+
+\s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
+\itemize\ibull
+\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ budou
+  vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
+\:{\I $st$-separátor} je mno¾ina vrcholù $W$ taková, ¾e $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$
+  budou vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
+\:{\I Øez} je mno¾ina hran, která je $xy$-øezem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
+\:{\I Separátor} je mno¾ina vrcholù, která je $xy$-separátorem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
+\:$G$ je {\I hranovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny øezy v~$G$
+  mají více ne¾~$k$ hran.
+\:$G$ je {\I vrcholovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny separátory v~$G$
+\endlist
+
+V¹imnìte si, ¾e nesouvislý graf má øez i separátor velikosti~0, tak¾e vrcholová i hranová 1-souvislost
+splývají s~obyèejnou souvislostí pro v¹echny grafy o~alespoò dvou vrcholech. Hranovì 2-souvislé
+jsou právì (netriviální) grafy bez {\I mostù,} vrcholovì 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
+
+Pro orientované grafy mù¾eme $st$-øezy a $st$-separátory definovat analogicky
+(toti¾, ¾e po~odstranìní pøíslu¹né mno¾iny hran èi vrcholù nemá existovat orientovaná
+cesta z~$s$ do~$t$), globální øezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
+nedefinují.
+
+\s{Pozorování:} Minimální orientované $st$-øezy podle této definice a minimální tokové øezy
+podle definice ze~zaèátku kapitoly splývají: ka¾dý tokový øez~$C$ odpovídá $st$-øezu stejné
+velikosti tvoøenému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimální $st$-øez musí být mno¾ina
+vrcholù dosa¾itelných z~$s$ po~odebrání øezu z~grafu tokovým øezem, opìt stejné velikosti.
+[Velikost mìøíme souètem kapacit hran.] Dává tedy rozumný smysl øíkat obojímu stejnì.
+Podobnì se chovají i neorientované grafy, pokud do~\uv{tokového} øezu poèítáme
+hrany v~obou smìrech.
+
+Analogií tokù je pak existence nìjakého poètu disjunktních cest (vrcholovì nebo hranovì)
+mezi vrcholy~$s$ a~$t$. Analogií F-F~vìty pak budou známé Mengerovy vìty:
+
+\s{Vìta (Mengerova, lokální hranová orientovaná):}
+Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy. Pak je velikost minimálního
+$st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
+cest z~$s$ do~$t$}
+
+\s{Dùkaz:} TODO
+
+\s{Vìta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
+Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy takové, ¾e $st\not\in E$.
+Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
+disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
+
+\s{Dùkaz:} TODO
+
+\figure{vrchol.eps}{Vrchol který chceme podrozdìlit.}{0.1\hsize}
+\figure{podrozdeleni.eps}{Výsledek podrozdìlení vrcholu.}{0.15\hsize}
+
+Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty a z~nich pak i globální varianty
+popisující $k$-souvislost grafù:
+
+\s{Vìta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
+Neorientovaný graf~$G$ je hranovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými
+dvìma vrcholy existuje alespoò~$k$ hranovì disjunktních cest.
+
+\s{Vìta (Mengerova, globální vrcholová neorientovaná):}
+Neorientovaný graf~$G$ je vrcholovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými dvìma
+vrcholy existuje alespoò~$k$ vrcholovì disjunktních cest.
+
+\bye