From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Mon, 23 May 2011 12:18:07 +0000 (+0200)
Subject: RAM: Revidovana verze od Moskyta
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=daa50f2c79ec7b1fdbb0bfff8f00656df11095e5;p=ads1.git

RAM: Revidovana verze od Moskyta
---

diff --git a/2-ram/2-ram.tex b/2-ram/2-ram.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9a8f9f
--- /dev/null
+++ b/2-ram/2-ram.tex
@@ -0,0 +1,258 @@
+\input ../lecnotes.tex
+
+\prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
+{(zapsal Martin Koutecký)}
+
+\h{Model {\sc Ram}}
+
+Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
+ udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
+je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:
+
+\s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
+
+{\sc Ram} poèítá jen s celými èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
+èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
+èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
+koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
+\itemize\ibull
+\:Aritmetické a logické:
+$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
+{\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
+\:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
+\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
+if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
+% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
+% øádku. Díky.
+\endlist
+
+\s{Poznámka} (operandy):
+\itemize\ibull
+\:Konstanty (1, 2, \dots)
+\:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
+pro
+buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
+(tedy A={\tt M[-1]})
+\:Adresované nepøímo -- {\tt M[M[konst.]]} -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
+\endlist
+
+Samotný výpoèet probíhá takto:
+\algo
+\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
+definován.
+\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
+programu.
+\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
+výstup.
+\endalgo
+
+
+\h{Slo¾itost}
+\> Jak dobøe popsat slo¾itost?
+\numlist\ndotted
+\:{\I {\sc Ram} s jednotkovou cenou}: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor
+$\approx$
+maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
+Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
+velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
+poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
+bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
+\:{\I{\sc Ram} s logaritmickou cenou}: cena instrukce $\approx$ \#bitù
+zpracovávaných èísel,
+prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
+dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
+\:{\I{\sc Ram} s omezenými èísly}: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
+nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
+mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
+\endlist
+
+Nadále tedy budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.
+
+% Z minulých zápiskù.
+\s{Definice:}
+\itemize\ibull
+\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù provedených
+operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
+$x$.
+\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
+bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
+\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
+$$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
+\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
+$$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
+\endlist
+
+Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
+pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
+registru {\tt N}), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta
+pak
+tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
+\algo
+\:Pro $i=1$ do $n$:
+\::$j\leftarrow i$
+\::Pro $k=i$ do $n$:
+\:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
+\::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
+\endalgo
+
+Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
+pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
+tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
+
+\verbatim{	I <- 1
+LOOP:	J <- I
+	M <- I
+MIN:	IF [J]>=[M] ==> GOTO NEXT
+	M <- J
+NEXT:	J <- J+1
+	IF J<=N ==> GOTO MIN
+	X <- [I]
+	[I] <- [M]
+	[M] <- X
+	I <- I+1
+	IF I<=N ==> GOTO LOOP
+}
+
+Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
+Cyklus |MIN| provede za prùchod 3 nebo 4 instrukce, ale zajímá nás nejhor¹í
+pøípad, tak¾e 4. Zavolá se $(N-I+1)$-krát, tedy celkem provede $4\cdot (N-I+1)$
+instrukcí.
+
+Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP| je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede
+$4\cdot (N-I+1)+7 = 4(N-1) + 11$ instrukcí.
+
+Celkovì se dostáváme k souètu $$1+(\sum_{I=1}^{N} 4(N-I) + 11) = 1 + 11N +
+4\cdot{N(N-1)\over 2} = 2N^2+9N + 1.$$
+
+Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- Na reálných strojích se
+ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, tak¾e
+nemá cenu se multiplikativními konstantami zabývat (alespoò pøi prvním
+pøiblí¾ení k problému).
+
+$$2N^2 + 9N + 1 \approx N^2 + N$$
+
+Navíc asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké $N$ v¾dy prohraje. Tím
+pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹ích øádù:
+
+$$N^2 + N \approx N^2$$
+
+Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
+$\approx\nobreak N$~krocích $\Rightarrow~\approx N^2$ krokù. To nás vede k zavedení
+tzv.  {\I asymptotické notace:}
+
+\h{Asymptotická notace}
+\s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
+¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
+f(n) \leq c \cdot g(n)$.
+Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
+\forall n \geq n_0$}, tedy
+\uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}
+
+\s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
+nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
+jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
+neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
+funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
+a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
+
+\s{Pøíklady:} $2{,}5n^{2} = \O(n^{2})$, $2{,}5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
+
+\>Také platí:
+$$
+\O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
+$$
+èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
+$f'+g'=O(f+g)$.
+To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
+cf+dg \le (c+d)(f+g)$.
+
+\s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
+\itemize\ibull
+\:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
+\:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
+\:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
+\endlist
+
+$\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
+potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
+potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:
+
+\s{Definice:}
+
+\itemize\ibull
+\:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
+g(n)$.
+
+$\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
+nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
+\:$f=\Theta(g) \equiv f=\O(g) \wedge f=\Omega(g)$
+
+nebo výøeènìji:
+
+$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: \forall^* n \in {\bb
+N}: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
+c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
+$c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
+$c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
+\endlist
+
+\>{\sl Poznámka:} Ona rovnost je dost zavádìjící. Není to toti¾ rovnost, není
+to symetrické. Jiný, mo¾ná rozumnìj¹í pohled, je zavedení $\O(g)$ jako mno¾iny.
+Pak by se dalo psát $f \in \O(g)$, nebo tøeba $\O(n) \subseteq \O(n^2)$.
+
+\s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
+chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)
+
+\itemize\ibull
+\:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
+\:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
+\:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
+\:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
+\:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
+\:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
+\:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
+\:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
+\:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
+\:$\Theta(k^{n})$ \dots\  exponenciální pøi základu $k>1$
+\:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
+\:$\Theta(n^{n})$
+\:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
+\endlist
+
+\>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
+v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
+$$
+\log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
+$$
+kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$}.
+
+\s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
+Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
+prostorová $S(n) = \Theta(n)$.
+
+\h{Úvod do grafových algoritmù}
+Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
+následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
+nìjakým grafovým algoritmem:
+\itemize\ibull
+\:Mám mapku silnièní sítì, v ní místa (vrcholy) oznaèená \uv{Doma} a \uv{©kola}.
+Dostanu se do
+¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
+napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
+cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
+\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
+oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
+na¹ím úkolem je správnì je seøadit pomocí pøesouvání ètvereèkù sousedících s
+mezerou do této mezery. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
+to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
+\:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
+èíslicemi 1, 0, které je dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s
+vrcholy 0 a¾ 12
+a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
+(z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
+0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
+z~1~do~0. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
+\endlist
+Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
+
+\bye
diff --git a/2-ram/Makefile b/2-ram/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..382372f
--- /dev/null
+++ b/2-ram/Makefile
@@ -0,0 +1,3 @@
+P=2-ram
+
+include ../Makerules
diff --git a/2009/2-ram/2-ram.tex b/2009/2-ram/2-ram.tex
deleted file mode 100644
index 71c3a25..0000000
--- a/2009/2-ram/2-ram.tex
+++ /dev/null
@@ -1,245 +0,0 @@
-\input ../lecnotes.tex
-
-\prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
-{(zapsal Martin Koutecký)}
-
-\h{Model {\sc Ram}}
-
-Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
- udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
-je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:
-
-\s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
-
-{\sc Ram} poèítá jen s celými èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
-èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
-èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
-koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
-\itemize\ibull
-\:Aritmetické a logické:
-$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
-{\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
-\:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
-\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
-if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
-% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
-% øádku. Díky.
-\endlist
-
-\s{Poznámka} (operandy):
-\itemize\ibull
-\:Konstanty (1, 2, \dots)
-\:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
-pro
-buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
-(tedy A={\tt M[-1]})
-\:Adresované nepøímo -- {\tt M[M[konst.]]} -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
-\endlist
-
-Samotný výpoèet probíhá takto:
-\algo
-\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
-definován.
-\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
-programu.
-\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
-výstup.
-\endalgo
-
-
-\h{Slo¾itost}
-\> Jak dobøe popsat slo¾itost?
-\numlist\ndotted
-\:{\I {\sc Ram} s jednotkovou cenou}: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor
-$\approx$
-maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
-Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
-velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
-poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
-bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
-\:{\I{\sc Ram} s logaritmickou cenou}: cena instrukce $\approx$ \#bitù
-zpracovávaných èísel,
-prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
-dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
-\:{\I{\sc Ram} s omezenými èísly}: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
-nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
-mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
-\endlist
-
-Nadále tedy budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.
-
-% Z minulých zápiskù.
-\s{Definice:}
-\itemize\ibull
-\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù provedených
-operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
-$x$.
-\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
-bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
-\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
-$$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
-\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
-$$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
-\endlist
-
-Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
-pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
-registru {\tt N}), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta
-pak
-tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
-\algo
-\:Pro $i=1$ do $n$:
-\::$j\leftarrow i$
-\::Pro $k=i$ do $n$:
-\:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
-\::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
-\endalgo
-
-Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
-pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
-tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
-
-\verbatim{	I <- 1
-LOOP:	J <- I
-	M <- I
-MIN:	IF [J]<[M] ==> M <- J
-	J <- J+1
-	IF J<=N ==> GOTO MIN
-	X <- [I]
-	[I] <- [M]
-	[M] <- X
-	I <- I+1
-	IF I<=N ==> GOTO LOOP
-}
-
-Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
-Cyklus |MIN| provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP|
-je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí.
-Celkovì se dostáváme k souètu
-$$1+3\cdot N+7+3\cdot (N-1)+7+3\cdot (N-2)+7+3\cdot (N-3)+\dots +3\cdot 1+7 =$$
-$$1+7\cdot N+3\cdot {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8{,}5N + 1$$
-
-Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- zaprvé se na reálných strojích
-ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, zadruhé
-asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké $N$ v¾dy prohraje, tak¾e nemá
-cenu
-(alespoò pøi prvním pøiblí¾ení k problému) multiplikativními konstantami se
-zabývat. Tím pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹í øádù:
-$$1{,}5N^2 + 8{,}5N + 1 \leq 1{,}5N^2 + 8{,}5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
-Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
-${}\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení
-tzv.
-{\I asymptotické notace:}
-
-\h{Asymptotická notace}
-\s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
-¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
-f(n) \leq c \cdot g(n)$.
-Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
-\forall n \geq n_0$}, tedy
-\uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}
-
-\s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
-nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
-jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
-neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
-funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
-a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
-
-\s{Pøíklady:} $2{,}5n^{2} = \O(n^{2})$, $2{,}5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
-
-\>Také platí:
-$$
-\O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
-$$
-èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
-$f'+g'=O(f+g)$.
-To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
-cf+dg \le (c+d)(f+g)$.
-
-\s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
-\itemize\ibull
-\:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
-\:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
-\:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
-\endlist
-
-$\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
-potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
-potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:
-
-\s{Definice:}
-
-\itemize\ibull
-\:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
-g(n)$.
-
-$\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
-nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
-\:$f=\Theta(g) \equiv f=\O(g) \wedge f=\Omega(g)$
-
-nebo výøeènìji:
-
-$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: \forall^* n \in {\bb
-N}: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
-c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
-$c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
-$c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
-\endlist
-
-\s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
-chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)
-
-\itemize\ibull
-\:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
-\:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
-\:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
-\:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
-\:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
-\:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
-\:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
-\:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
-\:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
-\:$\Theta(k^{n})$ \dots\  exponenciální pøi základu $k>1$
-\:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
-\:$\Theta(n^{n})$
-\:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
-\endlist
-
-\>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
-v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
-$$
-\log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
-$$
-kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$}.
-
-\s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
-Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
-prostorová $S(n) = \Theta(n)$.
-
-\h{Úvod do grafových algoritmù}
-Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
-následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
-nìjakým grafovým algoritmem:
-\itemize\ibull
-\:Mám mapku silnièní sítì, v ní místa (vrcholy) oznaèená \uv{Doma} a \uv{©kola}.
-Dostanu se do
-¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
-napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
-cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
-\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
-oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
-na¹ím úkolem je správnì je seøadit pomocí pøesouvání ètvereèkù sousedících s
-mezerou do této mezery. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
-to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
-\:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
-èíslicemi 1, 0, které je dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s
-vrcholy 0 a¾ 12
-a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
-(z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
-0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
-z~1~do~0. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
-\endlist
-Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
-
-\bye
diff --git a/2009/2-ram/Makefile b/2009/2-ram/Makefile
deleted file mode 100644
index 382372f..0000000
--- a/2009/2-ram/Makefile
+++ /dev/null
@@ -1,3 +0,0 @@
-P=2-ram
-
-include ../Makerules