From: Martin Mares Date: Fri, 4 Nov 2011 21:25:04 +0000 (+0100) Subject: Dinic: Prepsano, ted daleko lepe odpovida tomu, jak to posledni roky prednasim X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=bc135e40b29ef28da92d06103a34e8adf9cb1ec0;p=ads2.git Dinic: Prepsano, ted daleko lepe odpovida tomu, jak to posledni roky prednasim --- diff --git a/3-dinic/3-dinic.tex b/3-dinic/3-dinic.tex index 42acc08..0a66a68 100644 --- a/3-dinic/3-dinic.tex +++ b/3-dinic/3-dinic.tex @@ -13,205 +13,223 @@ a~najde maxim Fordùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus, -který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù\dots Budeme k~tomu -potøebovat sí» rezerv. +který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù~\dots -\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R=(S,f)=(V,E,z,s,r)$, kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ v~toku~$f$. +\h{Sí» rezerv a zlep¹ující toky} -\s{Konvence:} Pro~hranu~$e$ znaèí~$\overleftarrow{e}$ hranu opaènou. Napø. pokud $e=uv$, tak $\overleftarrow{e}=vu$. +\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R(S,f)=(V,E,z,s,r)$, +kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ pøi toku~$f$. -Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv je závislá jak na~pùvodní síti~$S$, tak na~nìjakém toku~$f$ v~síti~$S$. Sí» rezerv~$R$ se~pak od sítì~$S$ li¹í pouze kapacitami -- sí»~$R$ má jako kapacitu hrany rezervu hrany v pùvodní síti. Pro~pøipomenutí: rezervu hrany~$e$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ s~tokem~$f$ jsme si~definovali jako $r(e)=c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$. +Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv konstruujeme pro konkrétní tok v~pùvodní síti. +Od pùvodní sítì se li¹í pouze tím, ¾e kapacit hran jsme nahradili jejich rezervami. +Pøipomeòme je¹tì, ¾e rezervu hrany~$uv$ jsme definovali jako +$$r(uv) = c(uv) - f(uv) + f(vu).$$ +Nyní uká¾eme, jak toky zlep¹ovat pomocí tokù v~pøíslu¹né síti rezerv: -Ne¾ si~uká¾eme samotný algoritmus, doká¾eme si~následující lemma. - -\s{Lemma:} Pro~ka¾dý tok~$f$ v~síti~$S$ a~pro~ka¾dý tok~$g$ v~síti $R=(S,f)$ lze v~èase $\O(m)$ nalézt tok~$f'$ v~síti~$S$ takový, ¾e $\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$. +\s{Lemma (o~zlep¹ování tokù):} Pro libovolný tok~$f$ v~síti~$S$ a libovolný tok~$g$ v~síti $R=(S,f)$ +lze v~èase $\O(m)$ nalézt tok~$f'$ v~síti~$S$ takový, ¾e +$\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$. \proof +Nejprve uká¾eme, jak tok~$f'$ sestrojit. V~druhém kroku doká¾eme, ¾e konstrukce +opravdu dává korektní tok. Nakonec nahlédneme, ¾e jeho velikost je taková, jakou +lemma slibuje. -Dùkaz rozdìlíme do~tøí krokù. V~prvním kroku si~uká¾eme, jak budeme tok~$f'$ v~síti~$S$ konstruovat. V~druhém kroku doká¾eme, ¾e takto zkonstruované~$f'$ je opravdu tok. A~nakonec uká¾eme, ¾e splòuje po¾adovanou vlastnost, tedy ¾e jeho velikost je souèet velikostí tokù~$f$ a~$g$. - -\>{\it 1. konstrukce~$f'$} +\>{\I Konstrukce~$f'$:} Pro ka¾dou dvojici hran $uv$ a $vu$ urèíme $f'(uv)$ a $f'(vu)$ následovnì: -\noindent -Pro ka¾dou dvojici hran~$e, \overleftarrow{e}$ urèíme~$f'(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e})$ následovnì: +\def\irtri{\raise0.2ex\hbox{$\triangleright$}} % Signs frequently used for \itemize \itemize\ibull -\:Pokud~$g(e) = g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak nastavme: - \itemize\ibull - \:$f'(e) := f(e)$, - \:$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e})$. +\:Pokud $g(uv)=g(vu)=0$, polo¾íme: + \itemize\irtri + \:$f'(uv) := f(uv)$, + \:$f'(vu) := f(vu)$. \endlist -\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak polo¾me: - \itemize\ibull - \:$\varepsilon := \min (g(e), f(\overleftarrow{e}))$, - \:$f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$, - \:$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon$. +\:Pokud~$g(uv)>0$ a~$g(vu)=0$, pak polo¾me: + \itemize\irtri + \:$\varepsilon := \min (g(uv), f(vu))$, + \:$f'(uv) := f(uv) + g(uv) - \varepsilon$. + \:$f'(vu) := f(vu) - \varepsilon$, \endlist -\:Pøípad~$g(e) = 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) > 0$ vyøe¹íme obdobnì. +\:Pøípad~$g(uv)=0$ a~$g(vu)>0$ vyøe¹íme symetricky. -\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) > 0$, pak odeèteme od toku~$g$ cirkulaci po cyklu tvoøeném hranami~$e$ a $\overleftarrow{e}$: - \itemize\ibull - \:$\delta := \min (g(e),g(\overleftarrow{e}))$, - \:$g'(e) := g(e) - \delta$, - \:$g'(\overleftarrow{e}) := g(\overleftarrow{e}) - \delta$. +\:V~ostatních pøípadech je $g(uv)>0$ i $g(vu)>0$. Tehdy odeèteme od~toku~$g$ cirkulaci po cyklu $uvu$: + \itemize\irtri + \:$\delta := \min (g(uv),g(vu))$, + \:$g'(uv) := g(uv) - \delta$, + \:$g'(vu) := g(vu) - \delta$. \endlist - - Tok $g'$ nyní spadá pod nìkterý z~pøedchozích pøípadù, které u¾ umíme vyøe¹it. + Tím jsme velikost toku~$g$ nezmìnili a alespoò jednu z~hodnot $g(uv)$ a $g(vu)$ + jsme vynulovali, tak¾e mù¾eme pou¾ít nìkterý z~pøedchozích pøípadù. \endlist -\>{\it 2. $f'$ je tok} - -\numlist{\ndotted} - -\:Nejdøíve ovìøme první podmínku: $\forall e \in E: 0 \leq f(e) \leq c(e)$. Vezmìme libovolnou hranu~$e \in E$. Podle toho, co teèe po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ v~toku~$g$, jsme rozdìlili konstrukci toku na~tøi pøípady: - - \numlist{\ndotted} - - \:Pokud po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ netekl ¾ádný tok~$g$, pak jsme nastavili $f'(e) := f(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e})$. Tedy pokud~$f$ dodr¾oval kapacity, tak pro~$f'$ musí platit to samé. - - - \:Pokud po~hranì~$e$ tekl tok~$g$ nenulový a~po opaèné nulový, tak jsme zvolili: $f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$. Víme, ¾e jsme si~$\varepsilon$ vybrali tak, ¾e $\varepsilon \leq g(e)$. Proto $f'(e) \geq 0$. - - Teï ovìøme, ¾e $f'(e) \leq c(e)$. V~pøípadì, ¾e $\varepsilon = g(e)$, tak $f'(e) = f(e) \leq c(e)$. V~opaèném pøípadì platí, ¾e $\varepsilon = f(\overleftarrow{e})$. Pak ov¹em - $$f'(e) = f(e) + g(e) - f(\overleftarrow{e}) \leq $$ - $$\leq f(e) + \left[ c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e}) \right] - f(\overleftarrow{e}) = c(e).$$ - Vyu¾ili jsme, ¾e~$g$ je tok v~síti rezerv, tedy $g(e) \leq c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$. - - Pro tok $f'(\overleftarrow{e})$ platí, ¾e $\varepsilon \leq f(\overleftarrow{e})$. Proto $f'(\overleftarrow{e}) = f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon \geq 0$. Zároveò $f'(\overleftarrow{e}) \leq f(\overleftarrow{e}) \leq c(\overleftarrow{e})$. - - Tím jsme dokázali, ¾e~$f'(e)$ i~$f'(\overleftarrow{e})$ dodr¾ují kapacity. - - \:V posledním pøípadì tekl po~obou hranách kladný tok~$g$. Men¹í tok z~$g(e)$ a~$g(\overleftarrow{e})$ jsme vynulovali a~od vìt¹ího odeèetli ten men¹í. Tok~$g'(e)$ a~$g'(\overleftarrow{e})$ tedy zùstal korektní a~tok~$f'$ u¾ konstruujeme podle pøedchozího pøípadu. - - \endlist - -\:Teï musíme je¹tì dokázat, ¾e nový tok neporu¹uje Kirchhoffovy zákony: $$\forall v~\in V \setminus \{z,s\}: f'^\Delta(v)=0.$$ - % neboli $$\forall v~\in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f'(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f'(vu)}.$$ - - Vezmìme si~libovolnou hranu~$e = uv \in E$. Uvìdomme si, ¾e pøi~pøechodu z~$f(e)$ na~$f'(e)$ a~z~$f(\overleftarrow{e})$ na~$f'(\overleftarrow{e})$ bylo: - \itemize\idot - \:$f^\Delta(u)$ sní¾eno o~$g(e)$ - \:$f^\Delta(v)$ zvý¹eno o~$g(e)$. +\>{\I Funkce~$f'$ je tok:} +Nejprve si v¹imneme, ¾e na¹e konstrukce nikdy nevytváøí záporná èísla, ani èísla +pøekraèující kapacity (ovìøte si v~jednotlivých pøípadech a vyu¾ijte toho, ¾e funkce~$g$ +je omezena kapacitami v~síti rezerv, èili rezervami v~pùvodní síti). + +Zbývá ovìøit Kirchhoffùv zákon. Doká¾eme, ¾e seètením tokù seèteme i jejich pøebytky, +tedy ¾e pro v¹echny vrcholu~$v$ je $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v)$. +Pokud tedy zákon platil pro $f$ i~$g$, musí platit i pro~$f'$. + +Uvedenou rovnost ovìøíme takto: Víme, ¾e k~pøebytku vrcholu~$v$ ka¾dá dvojice hran +$uv$ a $vu$ pøispívá hodnotou $\delta = f(uv) - f(vu)$. Nahlédneme, ¾e tato hodnota se zvý¹í +o~$g(uv) - g(vu)$, co¾ je pøesnì pøíspìvek uvedené dvojice hran k~pøebytku~$g^\Delta(v)$: + + \itemize\irtri + \:V~prvním pøípadì na¹í konstrukce se $\delta$ nemìní a $g(uv) = g(vu) = 0$. + \:V~druhém pøípadì se $\delta$ zvìt¹í o~$g(uv) - \varepsilon + \varepsilon = g(uv)$, + pøièem¾ $g(vu)=0$. + \:Tøetí pøípad symetricky. + \:Ve~ètvrtém pøípadì upravíme~$g$ tak, ¾e se nezmìní $g(uv)-g(vu)$ a pokraèujeme + nìkterým z~pøedchozích pøípadù. \endlist - Seèteme-li úpravy na v¹ech hranách, dostaneme: $$f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + \sum_{u:uv \in E} g(uv) - \sum_{u:vu \in E} g(vu) =$$ $$= f^\Delta(v) + g^+(v) - g^-(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v).$$ - - Jeliko¾~$f$ byl tok, tak $f^\Delta(v) = 0$ a jeliko¾~$g$ byl tok, tak $g^\Delta(v) = 0$. Proto $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v) = 0$. - -\endlist Tím jsme dokázali, ¾e~$f'$ je tok v~síti~$S$. -\>{\it 3. $\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$} - -Pou¾ijme vztah pro souèet pøebytkù z pøedchozího kroku: +\>{\I Velikost toku~$f'$:} +Pou¾ijme právì dokázaný vztah pro souèet pøebytkù: $$\vert f' \vert = f'^\Delta(s) = f^\Delta(s) + g^\Delta(s) = \vert f \vert + \vert g \vert.$$ -\qed - +\qeditem -Pro algoritmus budeme potøebovat vybírat kvalitní toky~$g$ v~síti rezerv. Pokud se~nám to bude daøit, bude se~tok~$f'$ rychle zvìt¹ovat, a¾ bychom mohli dojít k~maximálnímu toku. Nejlépe by se~nám hodily co nejvìt¹í toky v~síti rezerv. Kdybychom si~dali za cíl najít v¾dy maximální tok v~síti rezerv, výsledek by byl sice krásný (dostali bychom tak rovnou i~maximální tok v~pùvodní síti), ale problém hledání maximálního toku bychom pouze pøenesli na~jinou sí». Na¹e po¾adavky na~tento tok budou tedy takové, aby byl dostateènì velký, ale abychom bìhem jeho hledání nestrávili moc èasu. Podívejme se, jak se~s~tímto problémem vyrovná {\I Dinicùv algoritmus}. Nejdøíve si~ale zadefinujme nìkolik pojmù. +\h{Dinicùv algoritmus} -\s{Definice:} Tok~$f$ je {\I blokující}, jestli¾e pro~ka¾dou orientovanou cestu~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje hrana~$e \in P$ taková, ¾e $f(e) = c(e)$. +Dinicùv algoritmus bude postupnì hledat nìjaké toky~$g$ v~síti rezerv, pùvodnì nulový +tok pomocí nich zlep¹ovat, a¾ se dostane k~maximálnímu toku. Poèet potøebných iterací +pøitom bude záviset na tom, jak \uv{kvalitní} je tok~$g$ -- na jednu stranu bychom +chtìli, aby byl podobný maximálnímu toku, na druhou stranu jeho výpoètem nechceme +trávit pøíli¹ mnoho èasu. Vhodným kompromisem jsou blokující toky: -\s{Definice:} Sí» je {\I vrstevnatá (proèi¹tìná)}, kdy¾ v¹echny vrcholy a~hrany le¾í na~nejkrat¹ích cestách ze~$z$ do~$s$. +\s{Definice:} Tok~$f$ je {\I blokující}, jestli¾e pro~ka¾dou orientovanou +cestu~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje hrana~$e \in P$ taková, ¾e $f(e) = c(e)$ +(té budeme øíkat {\I nasycená hrana}). -Dinicùv algoritmus zaèíná s~nulovým tokem. Potom v¾dy podle toku~$f$ sestrojí sí» rezerv a~v~ní vyma¾e hrany s~nulovou rezervou. Pokud v~této promazané síti rezerv neexistuje cesta ze~zdroje do~stoku, tak skonèí a~prohlásí tok~$f$ za maximální. Jinak proèistí sí» rezerv tak, aby se~z ní stala vrstevnatá sí» (rozdìlí vrcholy do~vrstev podle vzdálenosti od zdroje a~odstraní pøebyteèné hrany). Ve~vrstevnaté síti najde blokující tok, pomocí nìho¾ zlep¹í tok~$f$. Pak opìt pokraèuje sestrojením sítì rezerv na~tomto vylep¹eném toku~$f$ atd. +\s{Definice:} Sí» je {\I vrstevnatá (proèi¹tìná)}, pokud v¹echny její vrcholy +a~hrany le¾í na~nejkrat¹ích cestách ze~$z$ do~$s$. (Abychom vyhovìli na¹í definici +sítì, musíme ke~ka¾dé takové hranì pøidat hranu opaènou s~nulovou kapacitou, +ale ty ná¹ algoritmus nebude pou¾ívat a ani udr¾ovat v~pamìti.) \figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do~vrstev}{0.4\hsize} -\s{Algoritmus (Dinicùv)} +\s{Dinicùv algoritmus:} \algo -\:$f \leftarrow$ nulový tok. -\:Sestrojíme sí» rezerv~$R$ a~sma¾eme $e: r(e) = 0$. -\:$l \leftarrow$ délka nejkrat¹í cesty ze~$z$ do~$s$ v~$R$. -\:Pokud $l = \infty$, zastavíme se~a vrátíme~$f$. -\:Proèistíme sí» $R \rightarrow$ sí»~$C$. -\:$g \leftarrow$ blokující tok v~$C$. -\:Zlep¹íme tok~$f$ pomocí~$g$. -\:GOTO 2. +\:$f \leftarrow \hbox{nulový tok.}$ +\:Opakujeme: +\::Sestrojíme sí» rezerv~$R$ a~sma¾eme hrany s~nulovou rezervou. +\::$\ell \leftarrow$ délka nejkrat¹í cesty ze~$z$ do~$s$ v~$R$. +\::Pokud $l = \infty$, zastavíme se~a vrátíme~$f$. +\::Proèistíme sí»~$R$. +\::$g \leftarrow \hbox{blokující tok v~$R$.}$ +\::Zlep¹íme tok~$f$ pomocí~$g$. \endalgo -\s{Pozorování:} Pokud se~algoritmus zastaví, vydá maximální tok. - -\proof -Víme, ¾e~$f$ je stále korektní tok (jediné, jak ho mìníme je pøièítání toku~$g$, co¾ je, jak jsme si~dokázali, \uv{ne¹kodná operace}). Jakmile neexistuje cesta ze~$z$ do~$s$ v~$R$, tak je $f$ maximální tok, nebo» v~tuto dobu by se~zastavil (a vydal maximální tok) i~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus, který je korektní. -\qed - -A teï je¹tì musíme ujasnit, jak budeme èistit sí» rezerv a~vybírat blokující tok~$g$. - -\s{Algoritmus proèi¹tìní sítì rezerv} +\s{Èi¹tìní sítì} podrobnìji: \algo \:Rozdìlíme vrcholy do~vrstev podle vzdálenosti od~$z$. -\:Odstraníme vrstvy za~$s$ (tedy vrcholy, které jsou od~$z$ vzdálenìj¹í ne¾~$s$), hrany do~minulých vrstev a~hrany uvnitø vrstev. -\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^{out}(v) = 0$, a~to opakovanì pomocí fronty. (Nejdøíve zaøadíme do~fronty v¹echny vrcholy s~ $\deg^{out}(v) = 0$. Pak dokud není fronta prázdná, v¾dy vybereme vrchol~$v$ z~fronty, odstraníme~$v$ a~v¹echny hrany~$uv$. Pro~ka¾dý takový vrchol~$u$ zkontrolujeme, zda se~tím nesní¾il výstupní stupeò vrcholu~$u$ na~nulu ($\deg^{out}(u) = 0$). Pokud sní¾il, tak ho zaøadíme do~fronty.) +\:Odstraníme vrstvy za~$s$ (tedy vrcholy vzdálenìj¹í ne¾~$\ell$). +\:Odstraníme hrany do~pøedchozích vrstev a hrany uvnitø vrstev. +\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^{out}(v) = 0$, a~to +opakovanì pomocí fronty. (Nejdøíve zaøadíme do~fronty v¹echny vrcholy s~ +$\deg^{out}(v) = 0$. Pak dokud není fronta prázdná, v¾dy vybereme vrchol~$v$ +z~fronty, odstraníme~$v$ a~v¹echny hrany~$uv$. Pro~ka¾dý takový vrchol~$u$ +zkontrolujeme, zda se $\deg^{out}(u)$ nesní¾il na~nulu. Pokud sní¾il, +zaøadíme~$u$ na konec~fronty.) \endalgo \figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a~slepé ulièky.}{0.45\hsize} -Hledání blokujícího toku zaèneme s~tokem nulovým. Pak vezmeme v¾dy orientovanou cestu ze~zdroje do~stoku v~síti~$C$. V~této cestì najdeme hranu s~nejni¾¹í hodnotou výrazu $r(e) - g(e)$ (neboli $c(e) - f(e)$ v~pùvodní síti). Tuto hodnotu oznaèíme~$\varepsilon$. Pak ke~ v¹em hranám na~této cestì pøièteme~$\varepsilon$. Pokud tok~$g$ na~nìjaké hranì dosáhne kapacity hrany, co¾ je zde~$r(e)$, tak hranu vyma¾eme. Následnì sí» doèistíme, aby splòovala podmínky vrstevnaté sítì. A~pokud je¹tì existuje nìjaká orientovaná cesta ze~zdroje do~stoku, tak opìt pokraèujeme s~touto cestou. +\s{Hledání blokujícího toku podrobnìji:} +Zaèneme s~nulovým tokem~$g$ a budeme ho postupnì zlep¹ovat. Poka¾dé najdeme nìjakou +orientovanou cestu ze~zdroje do stoku -- to se ve~vrstevnaté síti dìlá snadno, +staèí vyrazit ze~zdroje a pak následovat libovolnou hranu. A¾ cestu najdeme, +tok~$g$ podél ní zlep¹íme, jak nejvíce to pùjde. + +Pokud nyní tok na nìjaké hranì dosáhl její rezervy, hranu sma¾eme. Tím jsme +mohli poru¹it proèi¹tìnost -- to pokud jsme smazali nìjakému vrcholu poslední +odchozí nebo poslední pøíchozí hranu. Takových vrcholù se opìt pomocí fronty +postupnì zbavíme a sí» doèistíme. Pokraèujeme zlep¹ením po dal¹í cestì, +dokud nìjaké cesty existují.% +\foot{V¹imnìte si, ¾e algoritmus skonèí tím, ¾e sma¾e v¹echny vrcholy i hrany. +Také si v¹imnìte, ¾e vrcholy s~nulovým vstupním stupnìm jsme ani nemuseli +mazat, proto¾e se do nich algoritmus pøi hledání cest nikdy nedostane.} -\s{Algoritmus hledání blokujícího toku} +Hledání blokujícího toku tedy mù¾eme zapsat takto: \algo \:$g \leftarrow$ nulový tok. -\:Dokud existuje orientovaná cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$ v~$C$, opakuj: -\::$\varepsilon \leftarrow \min_{e \in P} (r(e) - g(e))$. -\::Pro~$\forall e \in P: g(e) \leftarrow g(e) + \varepsilon$. -\:::Pokud $g(e) = r(e)$, sma¾eme~$e$ z~$C$. -\::Doèistíme sí» zase pomocí fronty. +\:Dokud v~$R$ existuje orientovaná cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$, opakujeme: +\::$\varepsilon \leftarrow \min_{e \in P} \left(r(e) - g(e)\right)$. +\::Pro v¹echny $e \in P: g(e) \leftarrow g(e) + \varepsilon$. +\::Pokud $g(e) = r(e)$, sma¾eme~$e$ z~$R$. +\::Doèistíme sí» pomocí fronty. \endalgo -\s{Èasová slo¾itost} Rozeberme si~jednotlivé kroky algoritmu. - -\numlist{\ndotted} -\:Inicializace toku~$f$ \dots $\O(m)$. -\:Sestrojení sítì rezerv a~smazání hran s~nulovou rezervou \dots $\O(m + n)$. -\:Najití nejkrat¹í cesty (prohledáváním do~¹íøky) \dots $\O(m + n)$. -\:Zkontrolování délky nejkrat¹í cesty \dots $\O(1)$. -\:Proèi¹tìní sítì \dots $\O(m + n)$. - \numlist{\ndotted} - \:Rozdìlení vrcholù do~vrstev -- provedlo ji¾ prohledávání do~¹íøky \dots $\O(1)$. - \:Odstranìní nìkterých hran \dots $\O(m + n)$. - \:Odstranìní \uv{slepých ulièek} pomocí fronty -- ka¾dou hranu odstraníme nejvý¹e jedenkrát, ka¾dý vrchol se~dostane do~fronty nejvý¹e jedenkrát \dots $\O(m + n)$. - \endlist -\:Najití blokujícího toku~$g$ \dots $\O(m \cdot n)$. - \numlist{\ndotted} - \:Inicializace toku~$g$ \dots $\O(m)$. - \:Najití orientované cesty v~proèi¹tìné síti rezerv (staèí vzít libovolnou cestu ze~zdroje, nebo» ka¾dá z~nich v~této síti vede do~stoku) \dots $\O(n)$. - \:Výbìr minima z~výrazu $r(e) - g(e)$ pøes v¹echny hrany cesty -- ta mù¾e být dlouhá nejvý¹e~$n$ \dots $\O(n)$. - \:Pøepoèítání v¹ech hran cesty \dots $\O(n)$. - \:Smazání hran cesty, jejich¾ tok~$g(e)$ se~zvý¹il na~hodnotu~$r(e)$ \dots $\O(n)$. - \:Doèi¹»ování vyøe¹me zvlá¹». - \endlist - - Vnitøní cyklus (kroky 2 a¾ 6) provedeme nejvý¹e~$m$ krát, nebo» pøi~ka¾dém prùchodu vyma¾eme alespoò jednu hranu (tak jsme si~volili~$\varepsilon$). - - Èi¹tìní bìhem celého hledání blokujícího toku~$g$ v~proèi¹tìné síti rezerv trvá dohromady $\O(m + n)$, nebo» ka¾dou hranu a~vrchol sma¾eme nejvý¹e jedenkrát. - - Najití blokujícího toku bude tedy trvat $\O(m \cdot n + (m + n)) = \O(m \cdot n)$. - -\:Zlep¹ení toku~$f$ pomocí toku~$g$ \dots $\O(m)$. -\:Skok na~2. krok \dots $\O(1)$. -\endlist +\h{Analýza Dinicova algoritmu} -Zbývá nám jen urèit, kolikrát projdeme vnìj¹ím cyklem (fází). Doká¾eme si~lemma, ¾e hodnota~$l$ vzroste mezi prùchody vnìj¹ím cyklem (fázemi) alespoò o~1. Z~toho plyne, ¾e vnìj¹ím cyklem mù¾eme projít nejvý¹e $n$-krát, nebo» cesta v síti na~$n$ vrcholech mù¾e být dlouhá nejvý¹e $n$. +\s{Lemma (o~korektnosti):} Pokud se~algoritmus zastaví, vydá maximální tok. -Uvìdomme si, ¾e uvnitø vnìj¹ího cyklu pøevládá èlen $\O(m \cdot n)$, tak¾e celková èasová slo¾itost bude $\O(n^2 \cdot m)$. +\proof +Z~lemmatu o~zlep¹ování tokù plyne, ¾e~$f$ je stále korektní tok. Algoritmus +se zastaví tehdy, kdy¾ u¾ neexistuje cesta ze~$z$ do~$s$ po hranách s~kladnou +rezervou. To je pøesnì tehdy, kdy¾ se zastaví i Fordùv-Fulkersonùv algoritmus, +a ten, jak u¾ víme, je korektní. +\qed + +Nyní rozebereme èasovou slo¾itost. Rozdìlíme si k~tomu úèelu algoritmus +na {\I fáze} -- tak budeme øíkat jednotlivým prùchodùm vnìj¹ím cyklem. +Pøedpokládejme, ¾e graf neobsahuje izolované vrcholy, tak¾e $n=\O(m)$. -\s{Lemma:} Hodnota~$l$ (délka nejkrat¹í cesty ze~$z$ do~$s$ v~proèi¹tìné síti) vzroste mezi fázemi alespoò o~1. +\s{Lemma (o~slo¾itosti fází):} Ka¾dá fáze trvá $\O(nm)$. \proof +Sestrojení sítì rezerv, mazání hran s~nulovou rezervou, hledání nejkrat¹í cesty +i koneèné zlep¹ování toku trvají $\O(m)$. + +Èi¹tìní sítì (i se v¹emi doèi¹»ováními bìhem hledání blokujícího toku) pracuje +takté¾ v~$\O(m)$: Smazání hrany trvá konstantní èas, smazání vrcholu +po smazání v¹ech incidentních hran takté¾. Ka¾dý vrchol i hrana jsou smazány +nejvý¹e jednou za~fázi. + +Hledání blokujícího toku projde nejvý¹e~$m$ cest, proto¾e poka¾dé ze~sítì +vypadne alespoò jedna hrana a u¾ se tam nevrátí. Nalezení cesty metodou +\uv{rovnou za nosem} pøitom trvá $\O(n)$. Celkem tedy $\O(nm)$ plus èi¹tìní, +které jsme ale u¾ zapoèítali. + +Dohromady tedy jedna fáze dobìhne v~èase $\O(m + m + nm) = \O(nm)$. +\qed -Podíváme se~na~prùbìh jednoho prùchodu vnìj¹ím cyklem. Délku aktuálnì nejkrat¹í cesty ze~zdroje do~stoku oznaème~$l$. V¹echny pùvodní cesty délky~$l$ se~bìhem prùchodu zaruèenì nasytí, proto¾e tok~$g$ je blokující. Musíme v¹ak dokázat, ¾e nemohou vzniknout ¾ádné nové cesty délky~$l$ nebo men¹í. V~síti rezerv toti¾ mohou hrany nejen -ubývat, ale i~pøibývat: pokud po¹leme tok po~hranì, po~které je¹tì nic neteklo, tak v~protismìru z~dosud nulové rezervy vyrobíme nenulovou. Rozmysleme si~tedy, jaké hrany mohou pøibývat. +Zbývá nám jen urèit, kolik probìhne fází. K~tomu se bude hodit následující +lemma: -Hrany mohou pøibývat jen tehdy, kdy¾ jsme po~opaèné hranì nìco poslali. Ale my nìco posíláme po~hranách pouze z~vrstvy do~té následující. Hrany tedy pøibývají do~minulé vrstvy. +\s{Lemma (o~délce cest):} Délka $\ell$ nejkrat¹í cesty ze~$z$ do~$s$ vypoètená v~kroku~4 +Dinicova algoritmu po ka¾dé fázi vzroste alespoò o~1. -Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové cesty ze~zdroje do~stoku, které pou¾ívají zpìtné hrany. Jen¾e cesta ze~zdroje do~stoku, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit o~vrstvu zpìt a~nikdy nemù¾e skoèit o~více ne¾ jednu vrstvu dopøedu, a~proto je její délka alespoò $l+2$. Pokud cesta novou zpìtnou hranu nepou¾ije, má buï délku~$> l$, co¾ je v~poøádku, nebo má délku~$= l$, pak je zablokovaná. +\proof +Oznaème~$R_i$ sí» rezerv v~$i$-té fázi poté, co jsme z~ní smazali hrany +s~nulovou rezervou, ale je¹tì pøed proèi¹tìním. Nech» nejkrat¹í cesta +ze~$z$ do~$s$ v~$R_i$ je dlouhá~$\ell$. + +Jak se li¹í~$R_{i+1}$ od $R_i$? Pøedev¹ím z~ka¾dé cesty délky~$\ell$ +jsme smazali alespoò jednu hranu: ka¾dá taková cesta toti¾ byla blokujícím +tokem zablokována, tak¾e alespoò jedné její hranì klesla rezerva na nulu, èím¾ +hrana vypadla. ®ádná z~pùvodních cest délky~$\ell$ tedy ji¾ v~$R_{i+1}$ neexistuje. + +To ov¹em nestaèí -- hrany mohou také pøibývat. Pokud nìjaká hrana mìla nulovou +rezervu a bìhem fáze jsme zvý¹ili tok v~protismìru, rezerva se zvìt¹ila a hrana +se v~$R_{i+1}$ najednou objevila. Uká¾eme ale, ¾e v¹echny cesty, které tím novì +vznikly, jsou pøíli¹ dlouhé. + +Rozdìlme vrcholy grafu do~vrstev podle vzdáleností od zdroje v~$R_i$. Tok jsme +zvy¹ovali pouze na hranách vedoucích o~jednu vrstvu dopøedu, tak¾e jediné +hrany, které se mohou objevit, vedou o~jednu vrstvu zpìt. Ov¹em ka¾dá cesta +ze~zdroje do~spotøebièe, která se alespoò jednou vrátí o~vrstvu zpìt, musí +mít délku alespoò $\ell+2$ (proto¾e spotøebiè je v~$\ell$-té vrstvì a neexistují +hrany, které by vedly o~více ne¾~1 vrstvu dopøedu). Tím je lemma dokázáno. \qed @@ -220,10 +238,25 @@ T V¹echna dokázaná tvrzení mù¾eme shrnout do~následující vìty: -\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(n^2\cdot m)$. +\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(n^2m)$. + +\proof +Jeliko¾ ka¾dá cesta obsahuje nejvý¹e~$n$ vrcholù, z~lemmatu o~délce cest plyne, +¾e fází probìhne nejvý¹e~$n$. Jedna fáze ov¹em trvá $\O(nm)$, co¾ dává celkovou +slo¾itost $\O(n^2m)$. Speciálnì se tedy algoritmus v¾dy zastaví, tak¾e podle +lemmatu o~korektnosti vydá maximální tok. +\qed + +\ss{Pár poznámek na závìr:} -\s{Poznámka:} Algoritmus se~chová hezky na~sítích s~malými celoèíselnými kapacitami, ale kupodivu i~na~rùzných jiných sítích. Èasto se~pou¾ívá, nebo» se~chová efektivnì. A~je mnoho zpùsobù, jak ho je¹tì vylep¹ovat, èi odhadovat ni¾¹í slo¾itost na~speciálních sítích. +Na rozdíl od~Fordova-Fulkersonova algoritmu jsme tentokrát nikde nevy¾adovali +racionálnost kapacit -- odhad èasové slo¾itosti se o~kapacity vùbec neopírá. +Nezávisle jsme tedy dokázali, ¾e i v~sítích s~iracionálními kapacitami v¾dy +existuje alespoò jeden maximální tok. -\s{Poznámka:} Algoritmus nevy¾aduje racionální kapacity! Dal¹í z~dùvodù, proè maximální tok existuje i~v~síti s~iracionálními kapacitami. +V~sítích s~malými celoèíselnými kapacitami se algoritmus chová daleko lépe, +ne¾ øíká ná¹ odhad. Uveïme bez dùkazu alespoò jeden takový výsledek: pøi hledání +nejvìt¹ího párování pøevodem na~toky, který jsme si ukázali na minulé pøedná¹ce, +by Dinicùv algoritmus dobìhl v~èase $\O(\sqrt n \cdot m)$. \bye