From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Mon, 14 Jan 2008 10:41:03 +0000 (+0100)
Subject: Korektury kapitoly o trideni.
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=aeca735d64e435e6e8b5764809addb9e6e01fa9f;p=ads2.git

Korektury kapitoly o trideni.
---

diff --git a/5-sortnet/5-sortnet.tex b/5-sortnet/5-sortnet.tex
index 19b3489..7df746d 100644
--- a/5-sortnet/5-sortnet.tex
+++ b/5-sortnet/5-sortnet.tex
@@ -1,29 +1,30 @@
-\input ../lecnotes.tex
+\input lecnotes.tex
 \input epsf
 \def\itm{\item{$\bullet$}}
 
-\prednaska{5}{Goldbergùv algoritmus}{(zapsaly T.~Klimo¹ová 
+\prednaska{5}{Tøídicí sítì}{(zapsaly T.~Klimo¹ová 
 a~K.~B\"ohmová)}
 
 \h{Goldbergùv algoritmus -- pokraèování}
 
 Algoritmus upøesníme tak, ¾e místo libovolného vrcholu s~pøebytkem
-budeme v¾dy pracovat s~tím, který je na nejvy¹¹í hladinì. Jak doká¾eme
-v~následujícím lemmatu, sní¾í se tím poèet potøebných nenasycených
-pøevedení. Takto modifikovaný algoritmus budeme znaèit~$G'$.
+budeme v¾dy pracovat s~takovým vrcholem~$v$, jeho¾ vý¹ka~$h(v)$ je
+nejvìt¹í. Jak doká¾eme v~následujícím lemmatu, sní¾í se tím poèet
+potøebných nenasycených pøevedení. Takto modifikovaný algoritmus
+budeme znaèit~$G'$.
 
 \s{Lemma $N'$:} V~algoritmu $G'$ je poèet nenasycených pøevedení
 $\O(N^3)$.
 
 \proof
 Definujme $H$~jako maximální vý¹ku vrcholù s~pøebytkem:
- $$H:=\max\{h(v) : v \not= z,s, f^\triangle (v)\geq 0\}.$$
+ $$H:=\max\{h(v) : v \not= z,s, f^\triangle (v) > 0\}.$$
 Bìh algoritmu $G'$ rozdìlíme na fáze tak, ¾e fáze skonèí po ka¾dé zmìnì
 $H$. Odhadneme poèet nenasycených pøevedení v~jedné fázi: bude jich
 nanejvý¹ stejnì jako vrcholù, které se na zaèátku fáze nacházely na
 nejvy¹¹í hladinì -- z~jiných vrcholù v~prùbìhu fáze nic nepøevádíme
 a~nenasycené pøevedení mù¾eme provést z~ka¾dého vrcholu nejvý¹e
-jednou. Poèet nenasycených pøevedení za fázi je $\leq N$.
+jednou. Poèet nenasycených pøevedení za fázi je proto nejvý¹e~$N$.
 
 Odhadneme poèet fází: rozdìlíme fáze podle toho, jestli konèí sní¾ením
 nebo zvý¹ením~$H$ a~odhadneme jejich poèty. Maximálnì $2N^2$ fází mù¾e
@@ -37,7 +38,8 @@ celkem tedy algoritmus $G'$ provede $\O(N^3)$ nenasycen
 \qed
 
 \medskip
-Ve skuteènosti je algoritmus je¹tì lep¹í (alespoò pro øídké grafy):
+\>Ve skuteènosti je algoritmus je¹tì lep¹í (alespoò pro øídké
+grafy):
 
 \s{Lemma $N''$:} V~algoritmu $G'$ je poèet nenasycených pøevedení $\O(N^2
 \sqrt M)$.
@@ -52,7 +54,7 @@ provede maxim
 
 Nyní budeme zkoumat poèty pøevedení v~obou typech fází.
 Jak víme z~minulého lemmatu, v¹ech fází je nanejvý¹ $4N^2$, tak¾e
-v~laciných se provede nanejvý¹ $N^2K$ nenasycených pøevedení.
+v~laciných se provede nanejvý¹ $4N^2K$ nenasycených pøevedení.
 Za úèelem zkoumání drahých fází definujeme potenciál:
 $$\psi:=\sum_{v\not=z,s; f^\triangle(x)>0}{ p(v)\over K},$$ kde
 $p(v):= \vert\{u : h(u) \leq h(v)\}\vert$, èili poèet vrcholù ve stejné
@@ -60,13 +62,13 @@ nebo men
 {N^2/K}$ a~po celou dobu bude $\psi \geq 0$.
 
 Zvednutím vrcholu~$v$ se hodnota $p(v)$ zvý¹í maximálnì o~$N$, u~libovolného
-jiného vrcholu~$w$ $p(w)$ klesne nebo se nezmìní, potenciál tedy
-vzroste maximálnì o~$N/K$. %Pøedchozích èástí
+jiného vrcholu~$w$ jeho $p(w)$ klesne nebo se nezmìní, potenciál tedy
+vzroste maximálnì o~$N/K$. 
 Pøi sytém pøevedení po hranì z~$u$ do~$v$ (z~minula víme, ¾e se v¾dy
 provádí po hranì spádu nejvý¹e jedna) se mohl potenciál zmen¹it o~$p(u)/K$
 a~mohl se zvìt¹it o~$p(v)/K$. Zvìt¹í se tedy nanejvý¹ o~$N/K$
-Pøi nenasyceném pøevedení z~potenciálu urèitì ubyde o~$p(u)/K$
-a~mo¾ná pøibyde $p(v)/K$. Celkovì se tedy sní¾í nanejvý¹
+Pøi nenasyceném pøevedení z~potenciálu urèitì ubude $p(u)/K$
+a~mo¾ná pøibude $p(v)/K$. Celkovì se tedy sní¾í nanejvý¹
 o~${p(u)/K} - {p(v)/K}$, co¾ je $1/K$~poètu prvkù na nejvy¹¹í
 hladinì. Z~minulého lemmatu víme, ¾e poèet nenasycených pøevedení
 v~jedné fázi je men¹í nebo roven poètu vrcholù na nejvy¹¹í hladinì na
@@ -75,48 +77,55 @@ v
 být na zaèátku fáze také více ne¾~$K$, potenciál se tedy sní¾í o~více
 ne¾ ${K/K}=1$.
 
-Potenciál $\psi$ tedy pøijme na zaèátku  nanejvý¹ ${N^2/K}$, pøi
+Potenciál $\psi$ tedy pøijme na zaèátku nanejvý¹ ${N^2/K}$, pøi
 zvedání nevzroste o~víc ne¾ $(N/K)2N^2$, pøi sytém pøevádìní
-nevzroste o~víc ne¾ $(N/K)NM$, celkem dostáváme $\psi\leq
-(N/2)(N+2N^2+NM)=\O({N^2}M/2)$, v~drahých fázích tak mù¾e probìhnout
+nevzroste o~víc ne¾ $(N/K)NM$, tak¾e za celý prùbìh algoritmu potenciál vzroste maximálnì o  
+$(N/2)(N+2N^2+NM)=\O({N^2}M/2)$, v~drahých fázích tak mù¾e probìhnout
 nanejvý¹ $\O({N^2}M/2)$ nenasycených pøevedení.
 Celkem algoritmus vykoná $\O(N^2K+{N^2}M/K)$ nenasycených
-pøevedení. Kdy¾ za~$K$ dosadíme $\sqrt M$ dostaneme slíbený poèet
+pøevedení. Kdy¾ za~$K$ dosadíme $\sqrt M$, dostaneme slíbený poèet
 $\O(N^2\sqrt M)$.
 \qed
 
+%\s{Implementace:}
+%?????
+
 \medskip
 \h{Tøídìní}
 
 \s{Definice:} {\I Komparátorová sí»} je kombinaèní obvod, jeho¾ hradla jsou
 komparátory: 
 
-\centerline{\epsfbox{sortnet.0}}
+\centerline{\epsfbox{sortnet.0}} Komparátor dostane na
+vstupu dvì èísla, porovná je a~na levý výstup vrátí men¹í z~nich, na
+pravý výstup naopak vrací vìt¹í èíslo ze zadané dvojice.
 
 \>Výstupy komparátorù se nevìtví.
 
 \medskip
 \s{Pøíklad:} {\sl Bubble sort}
 
+Obrázek Bubble.1 ilustruje pou¾ití komparátorù pro tøídìní bubble
+sortem. ©ipky pøedstavují jednotlivé komparátory.
+
 \twofigures{sortnet.1}{Bubble.1}{143pt}{sortnet.2}{Bubble.2}{143pt}
 
 Sna¾íme se výpoèet co nejvíce paralelizovat (viz obrázek Bubble.2). 
 Takto se nám podaøilo výpoèet provést pomocí $\O(n^2)$ komparátorù
-rozmístìných na $\O(n)$ hladinách. Tøídíme v~èase~$N$ a~prostoru
-$N^2$.
-
-\medskip
-\s{Pøíklad:} {\>\sl Merge sort}
+rozmístìných na $\O(n)$ hladinách. Tøídíme v~èase~$n$ a~prostoru
+$n^2$.
 
-\centerline{\epsfbox{sortnet.4}}
+%\medskip
+%\s{Pøíklad:} {\>\sl Merge sort}
+%\centerline{\epsfbox{sortnet.4}}
 
 \medskip
 \s{Definice:} Øekneme, ¾e posloupnost $x_0,\dots,x_{n-1} $ je {\I èistì bitonická},
 pokud pro nìjaké $x_j\in\{1, \dots, n-1\} $ platí:
 $$x_0\leq x_1\leq \dots \leq x_j \geq x_{j+1}\geq\dots \geq x_{n-1}.$$
-Posloupnost je {\I bitonická}, pokud existuje $k\in \{1\dots n-1\}$, pro
-které platí, ¾e posloupnost
-$x_k,x_{k+1 \bmod n},\dots, x_{k+n-1 \bmod n}$ je èistì bitonická.
+Posloupnost je {\I bitonická}, pokud existuje $k\in \{1,\dots ,n-1\}$, pro
+které je rotace pùvodní posloupnosti o $k$ prvkù, tedy posloupnost
+$x_k,x_{(k+1) \bmod n},\dots, x_{(k+n-1) \bmod n}$, èistì bitonická.
 
 \s{Definice:} {\I Separátor $S_n$}
 je sí», ve které jsou v¾dy~$i$-tý a~$(i+{n/2})$-tý prvek vstupu
@@ -125,7 +134,7 @@ maximum  $(i+{n/2})$-n
 \figure{sortnet.3} 
 {$(y_i, y_{i+{n/2}}) = CMP(x_i, x_{i+{n/2}})$} {300pt}
 
-\s{Lemma:} Pokud vstup $S_n$ je bitonická posloupnost, pak výstup
+\s{Lemma:} Pokud vstup $S_n$ obvodu je bitonická posloupnost, pak výstup
 $y_0,\dots, y_{n-1}$ je posloupnost,  která splòuje:
 
 (i) $y_0,\dots, y_{n/2 -1}$ a~$y_{n/2},\dots, y_{n-1}$ jsou 
@@ -134,10 +143,11 @@ bitonick
 (ii) Pro v¹echna $i,j< {n/2}$ platí $y_i < y_{j + {n/2}}$.
 
 \proof
-(i) Nejprve nahlédneme, ¾e lemma platí je-li vstupem èistì bitonická
-posloupnost -- najdeme nejmen¹í~$k$ takové, ¾e $x_k$ a~$x_{k+{n/2}}$
-se prohodí. Pokud ho nenajdeme, separátor neudìlá vùbec nic a~obì
-tvrzení lemmatu zøejmì tedy platí. Øeknìme, ¾e $x_m$ je maximum
+(i) Nejprve nahlédneme, ¾e lemma platí, je-li vstupem èistì bitonická
+posloupnost. Tehdy najdeme nejmen¹í~$k$ takové, ¾e $x_k$ a~$x_{k+{n/2}}$
+se prohodí. (Pokud takové~$k$ neexistuje, separátor pouze zkopíruje
+vstup na výstup a~obì tvrzení lemmatu zøejmì platí.) 
+Øeknìme, ¾e $x_m$ je maximum
 vstupní posloupnosti. Pak~$k$ bude jistì men¹í ne¾~$m$
 a~$k+{n/2}$ bude vìt¹í ne¾~$m$, mezi~$k$ a~$m$ je tedy vstupní
 posloupnost neklesající, mezi $k+{n/2}$ a~$n-1$ nerostoucí.
@@ -151,45 +161,50 @@ nerostouc
 a~mezi $x_{n/2}$ a~$x_{n-1}$ bude správná nerovnost na to, aby
 posloupnost byla bitonická.
 
-Dostaneme-li na vstup obecnou bitonickou posloupnost, pøedstavíme si,
+Dostaneme-li na vstupu obecnou bitonickou posloupnost, pøedstavíme si,
 ¾e je to èistì bitonická posloupnost zrotovaná o~$r$ prvkù (BÚNO
 doprava), a~zjistíme, ¾e v~komparátorech se porovnávají tyté¾ prvky
 jako kdyby zrotovaná nebyla. Výstup se od výstupu èistì bitonické
 posloupnosti zrotovaného o~$r$ bude li¹it prohozením úsekù $x_0$ a¾
-$x_{r-1}$ a~$x_{n/2}$ a¾ $x_{{n/2}+r-1}$. Obì polovièní
+$x_{r-1}$ a~$x_{n/2}$ a¾ $x_{{n/2}+r-1}$. Obì výstupní
 posloupnosti tedy budou zrotované o~$r$ prvkù, ale na jejich
 bitoniènosti se nic nezmìní.
 
-(ii) Plyne z~definice separátoru.
+(ii) Z dùkazu (i) pro èistì bitonickou posloupnost víme, ¾e $y_0\dots y_{n/2-1}$ èistì bitonická a bude rovna $x_0\dots x_{k-1},x{k+n/2}\dots x_{n-1}$ pro vhodné $k$ a navíc bude mít maximum v $x_{k-1}$ nebo $x_k+{n/2}$. Mezi tìmito body ov¹em ve vstupní posloupnosti urèitì nele¾el ¾ádný $x_i$ men¹í ne¾ $x_k-1$ nebo $x_k+{n/2}$ (jak je vidìt z obrázku) a posloupnost  $x_k \dots x_{k-1+{n/2}}$ je rovna $y_{n/2}\dots y_{n-1}$. Pro obecné bitonické posloupnosti uká¾eme stejnì jako v (i).
 \qed
 
 \medskip
 \centerline{\epsfbox{sortnet.7}}
 
 \medskip
-\s{Definice:} {\I Bitonická tøídièka $B_n$}
+\s{Definice:} {\I Bitonická tøídièka $B_n$} je obvod sestavený ze separátorù, který dostane-li na vstupu bitonickou posloupnost délky $n$ (konstruujeme tøídièku pro $n=2^k$), vydá setøídìnou posloupnost délky $n$. 
 
 \centerline{\epsfbox{sortnet.5}}
 
-Separátor má jednu hladinu s~${\O}(N)$ hradly, tøídièka tedy bude
+Separátor má jednu hladinu s~${\O}(n)$ hradly, tøídièka tedy bude
 mít 
-$\log N$ hladin s~${\O}(N\log N)$ hradly.
+$\log n$ hladin s~${\O}(n\log n)$ hradly.
 
-Tøídièka se dá pou¾ít ke slévání, mù¾eme tak s~její pomocí sestavit
-souèástky $M_n$ mergesortové sítì. Setøídìné posloupnosti 
+\s{Pøíklad:} {\sl Merge sort}
+
+Bitonická tøídièka se dá pou¾ít ke slévání setøídìných posloupností.
+S~její pomocí sestavíme souèástky mergesortové sítì. 
+Setøídìné posloupnosti 
 $x_0,\dots, x_{n-1}$ a~$y_0,\dots, y_{n-1}$ spojíme do jedné bitonické 
 $x_0,\dots, x_{n-1},y_{n-1},\dots, y_0$. Z~takové posloupnosti pomocí
 $B_{2n}$ vytvoøíme setøídìnou posloupnost.
+Blok $M_{2n}$ sestává z~bloku $B_{2n}$, jeho¾ druhá polovina vstupù je
+zapojena v~obráceném poøadí.
 
-
+\medskip
 \centerline{\epsfbox{sortnet.6}}
 
 Z~bitonických tøídièek tedy mù¾eme postavit mergesortovou sí», která
 bude mít
-${\O}(\log^2 N)$ hladin a~${\O}(N\log^2 N)$ hradel.
+${\O}(\log^2 n)$ hladin a~${\O}(n\log^2 n)$ hradel.
 
-Existuje tøídicí algoritmus, kterému staèí ${\O}(\log N)$ hladin,
-ale jeho multiplikaèní konstanta je pøíli¹ veliká, tak¾e je v~praxi 
+Existuje tøídicí algoritmus, kterému staèí ${\O}(\log n)$ hladin,
+ale jeho multiplikativní konstanta je pøíli¹ veliká, tak¾e je v~praxi 
 nepou¾itelný.
 
 \bye
diff --git a/5-sortnet/sortnet.mp b/5-sortnet/sortnet.mp
index f28a753..3aabd36 100644
--- a/5-sortnet/sortnet.mp
+++ b/5-sortnet/sortnet.mp
@@ -455,6 +455,20 @@ z613=(13v,2v);
 z614=(14v,2v);
 z615=(15v,2v);
 
+% ve skutecnosti dle znaceni 
+% by melo byt z6* ale uz 
+% obsazeno
+z815=(1.5v,2v);
+z855=(5.5v,2v);
+z895=(9.5v,2v);
+z813=(13.5v,2v);
+
+z715=(1.5v,1v);
+z755=(5.5v,1v);
+z795=(9.5v,1v);
+z713=(13.5v,1v);
+
+z9=(4v,0v);
 
 pickup pencircle scaled 0.4pt;
 draw(z10--z115--z215--z20--cycle);
@@ -471,6 +485,10 @@ drawarrow(z495--z595);
 drawarrow(z413--z513);
 drawarrow(z235--z335);
 drawarrow(z211--z311);
+drawarrow(z815--z715);
+drawarrow(z855--z755);
+drawarrow(z895--z795);
+drawarrow(z813--z713);
 
 label.llft(btex $n$ etex,z075);
 label.bot(btex $S_n$ etex,z175);
@@ -480,6 +498,7 @@ label.bot(btex $S_{n\over 4}$ etex,z515);
 label.bot(btex $S_{n\over 4}$ etex,z555);
 label.bot(btex $S_{n\over 4}$ etex,z595);
 label.bot(btex $S_{n\over 4}$ etex,z513);
+label.rt(btex Bitonick\'a t\v r\'\i di\v cka $B_{n}$ etex,z9);
 
 endfig;