From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Mon, 16 Jan 2012 21:30:03 +0000 (+0100)
Subject: FFT: Konkretni priklady konecnych teles
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=a0d3be095dc6246b4c020f8c2899f5f517e580dd;p=ads2.git

FFT: Konkretni priklady konecnych teles
---

diff --git a/7-fft/7-fft.tex b/7-fft/7-fft.tex
index 1d73998..562513a 100644
--- a/7-fft/7-fft.tex
+++ b/7-fft/7-fft.tex
@@ -442,12 +442,19 @@ $2k$ bude m
 
 Zachrání nás ov¹em algebraická vìta, která øíká, ¾e multiplikativní grupa\foot{To je
 mno¾ina v¹ech nenulových prvkù tìlesa s~operací násobení.}
-libovolného koneèného tìlesa je cyklická, tedy ¾e v¹echny nenulové prvky tìlesa lze
-zapsat jako mocniny nìjakého èísla~$g$ (generátoru grupy). Napøíklad pro $p=2^{16}+1=65\,537$
-je jedním takovým generátorem èíslo~$3$. Jeliko¾ mezi èísly $g^1,g^2,\ldots,g^{p-1}$
-se musí ka¾dý nenulový prvek tìlesa vyskytnout právì jednou, je~$g$ primitivní
-$2^k$-tou odmocninou z~jednièky, tak¾e mù¾eme poèítat FFT pro libovolný vektor,
-jeho¾ velikost je mocnina dvojky men¹í nebo rovná $2^k$.
+libovolného koneèného tìlesa ${\bb Z}_p$ je cyklická, tedy ¾e v¹echny nenulové
+prvky tìlesa lze zapsat jako mocniny nìjakého èísla~$g$ (generátoru grupy).
+Jeliko¾ mezi èísly $g^1,g^2,\ldots,g^{p-1}$ se ka¾dý nenulový prvek tìlesa
+vyskytne právì jednou, je $g$ primitivní $p$-tou odmocninou z~jednièky.
+V~praxi se hodí napøíklad tyto hodnoty:
+
+\itemize\ibull
+\:$p=2^{16}+1=65\,537$, $g=3$, tak¾e funguje $\omega=3$ pro $n=2^{16}$ (analogicky
+$\omega=3^2$ pro $n=2^{15}$ atd.),
+\:$p=15\cdot 2^{27} + 1 = 2\,013\,265\,921$, $g=31$, tak¾e pro $n=2^{27}$ dostaneme
+$\omega = g^{15} \bmod p = 440\,564\,289$.
+\:$p=3\cdot 2^{30} + 1 = 3\,221\,225\,473$, $g=5$, tak¾e pro $n=2^{30}$ vyjde $\omega = g^3 \bmod p = 125$.
+\endlist
 
 Bli¾¹í prùzkum
 na¹ich úvah o~FFT dokonce odhalí, ¾e není ani potøeba tìleso. Postaèí libovolný