From: Martin Mares Date: Mon, 15 Jan 2007 22:32:39 +0000 (+0100) Subject: Znacne vylepseno a opraveno. X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=9e94acc404f3fe4580a6fdf1f0b897ae1e8cc516;p=ga.git Znacne vylepseno a opraveno. --- diff --git a/11-planar/11-planar.tex b/11-planar/11-planar.tex index d25d9a7..418bc9d 100644 --- a/11-planar/11-planar.tex +++ b/11-planar/11-planar.tex @@ -11,13 +11,15 @@ Proto se zam zastaví s~tím, ¾e graf není rovinný. Tarjan ji¾ v~roce 1974 ukázal \cite{tarjan:planarity}, ¾e je to mo¾né provést v~lineárním èase, ale jeho algoritmus je ponìkud komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodu¹ení, prozatím vrcholících -algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, který zde uká¾eme. +algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, a ten zde uká¾eme. -Jakmile nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet +Jakmile u¾ nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet rovinná nakreslení s~rùznými speciálními vlastnostmi. Za~zmínku stojí napøíklad Schnyderùv algoritmus \cite{schnyder:grid} generující v~lineárním èase nakreslení, v~nìm¾ v¹echny hrany jsou úseèky a vrcholy le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$, -a~o~nìco jednodu¹¹í varianta \cite{chrobak:grid} do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$. +a~o~nìco jednodu¹¹í algoritmus \cite{chrobak:grid} kreslící do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$. + +Tak s~chutí do toho \dots \h{DFS a bloky} @@ -25,15 +27,15 @@ P k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (blokù).} \s{Definice:} Prohledávání do~hloubky rozdìlí $E$ na~ètyøi druhy hran: {\I stromové} (po~nich¾ -DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene), +DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; tyto hrany vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene), {\I zpìtné} (vedou do~vrcholu na~cestì mezi prohledávaným vrcholem a koøenem, -èili do~takového, který se nachází na~zásobníku), {\I dopøedné} vedou do~ji¾ zpracovaného -vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem a zbývající {\I pøíèné} (z~tohoto vrcholu +èili do~takového, který se právì nachází na~zásobníku), {\I dopøedné} (vedou do~ji¾ zpracovaného +vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem) a zbývající {\I pøíèné} (z~tohoto vrcholu do~jiného podstromu). \s{Lemma:} Prohledáváme-li do~hloubky neorientovaný graf, nevzniknou ¾ádné dopøedné ani pøíèné hrany.\foot{Pro úplnost: v~orientovaném grafu mohou existovat dopøedné -a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy døíve nav¹tívené komponenty.} +a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy do~døíve nav¹tíveného podstromu.} \s{Lemma:} Relace \uv{Hrany $e$ a $f$ le¾í na~spoleèné kru¾nici} (znaèíme $e\sim f$) je ekvivalence. Její tøídy tvoøí maximální 2-souvislé podgrafy (bloky). Vrchol $v$ je artikulace právì tehdy, @@ -53,9 +55,9 @@ ani neexistuje, co $T_i$ a $T_j$ mohou být spojeny jen pøes své koøeny (pøíèné hrany neexistují). Ze~zpìtných hran tedy získáme kompletní strukturu blokù. -Nyní si staèí rozmyslet, jak zpìtné hrany testovat efektivnì. K~tomu si zavedeme: +Nyní si staèí rozmyslet, jak existenci zpìtných hran testovat rychle. K~tomu se bude hodit: -\s{Definice:} Pro vrchol $v$ zavedeme: +\s{Definice:} Je-li $v$ vrchol grafu, pak: \itemize\ibull \:$\(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ prohledávání do~vrcholu~$v$ vstoupilo. \:$\(v)$ je nejmen¹í z~\ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana. @@ -65,84 +67,90 @@ Nyn \s{Pozorování:} \, \ i \ v¹ech vrcholù lze spoèítat bìhem prohledávání, tedy také v~lineárním èase. +Rozpoznávání blokù a artikulací mù¾eme shrnout do~následujícího lemmatu: + \s{Lemma:} -Stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku (tedy $uv\sim vw$) právì +Stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku ($uv\sim vw$) právì tehdy, kdy¾ $\(w) < \(v)$. Vrchol~$v$ je artikulace právì tehdy, kdy¾ nìkterý z~jeho synù $w$ má $\(w) \ge \(v)$. \h{Postup kreslení} -Graf budeme kreslit v~opaèném DFS-poøadí, tj. od~nejvìt¹ích \ù k~nejmen¹ím, -a v¾dy si budeme udr¾ovat blokovou strukturu ji¾ nakreslené èásti grafu uspoøádanou -podle DFS stromu -- ka¾dý blok bude mít svùj koøen a (mimo nejvy¹¹ího bloku) -bude zavì¹en pod artikulací le¾ící v~nadøazeném bloku. Aby se nám tato -situace snadno reprezentovala, mù¾eme artikulace naklonovat a ka¾dý blok -pak dostane jednu kopii artikulace. +Graf budeme kreslit v~opaèném poøadí oproti DFS, tj. od~nejvìt¹ích \ù k~nejmen¹ím, +a v¾dy si budeme udr¾ovat blokovou strukturu ji¾ nakreslené èásti grafu, uspoøádanou +podle DFS stromu -- ka¾dý blok bude mít svùj koøen, s~výjimkou nejvy¹¹ího bloku +je tento koøen souèasnì artikulací v~nadøazeném bloku. Aby se nám tato situace snadno +reprezentovala, mù¾eme artikulace naklonovat a ka¾dý blok pak dostane svou vlastní +kopii artikulace. Také budeme vyu¾ívat toho, ¾e nakreslení ka¾dého bloku, který není most, je ohranièeno kru¾nicí, a mosty zdvojíme, aby to pro nì platilo -také. Navíc libovolný blok spolu se v¹emi bloky le¾ícími pod~ním -mù¾eme v~rovinì pøeklopit. +také. Navíc v~libovolném nakreslení mù¾eme kterýkoliv blok spolu se v¹emi bloky +le¾ícími pod~ním pøeklopit podle koøenové artikulace, ani¾ bychom poru¹ili +rovinnost. -V¹imnìme si, ¾e pokud vede z~nìjakého u¾ nakresleného vrcholu~$v$ je¹tì nenakreslená hrana, -lze pokraèovat po~nenakreslených hranách a¾ do~koøene. V¹echny vrcholy, ke~kterým +V¹imnìme si, ¾e pokud vede z~nìjakého u¾ nakresleného vrcholu je¹tì nenakreslená hrana, +lze pokraèovat po~nenakreslených hranách a¾ do~koøene DFS stromu. V¹echny vrcholy, ke~kterým je¹tì bude potøeba nìco pøipojit (takovým budeme øíkat {\I externì aktivní} a za~chvíli -to nadefinujeme formálnì), tedy musí le¾et v~té¾e stìnì dosud nakresleného +to nadefinujeme formálnì), proto musí le¾et v~té¾e stìnì dosud nakresleného podgrafu a bez újmy na~obecnosti si vybereme, ¾e to bude vnìj¹í stìna. -Základním krokem algoritmu tedy bude roz¹íøit nakreslení o~nový vrchol~$v$, -je-li v¹e v~DFS poøadí následující po~tomto vrcholu ji¾ nakresleno, -a o~v¹echny s~ním incidentní hrany. Stromové hrany pùjdou nakreslit v¾dy, -pøidáme je jako 2-cykly a a¾ se uká¾e, ¾e to nejsou mosty, pøipojíme -je k~pøíslu¹nému bloku. Zpìtné hrany byly a¾ do~nedávna externì aktivní, -tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu po~okraji bloku -touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e slouèit nìkolik -blokù do~jednoho: +Základním krokem algoritmu tedy bude roz¹íøit nakreslení o~nový +vrchol~$v$ a o~v¹echny hrany vedoucí z~nìj do~jeho (ji¾ nakreslených) +DFS-následníkù. Stromové hrany pùjdou nakreslit v¾dy, pøidáme je jako +triviální bloky (2-cykly) a nejsou-li to mosty, brzy se nìjakou +zpìtnou hranou spojí s~jinými bloky. Zpìtné hrany byly a¾ donedávna +externì aktivní, tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu +po~okraji bloku touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e +slouèit nìkolik blokù do~jednoho: -\twofigures{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}{planar2.eps}{\dots\ po nìm}{\epsfxsize} +\twofigures{planar1.eps}{Pøed nakreslením zpìtných hran \dots}{\epsfxsize}{planar2.eps}{\dots\ po nìm (ètvereèky jsou externì aktivní vrcholy)}{\epsfxsize} Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta. Mù¾e se nám ale stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externì aktivní vrchol. -Tehdy potøebujeme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externì aktivní vrcholy +Tehdy musíme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externì aktivní vrcholy zùstaly venku. Potøebujeme tedy datové struktury, pomocí nich¾ bude mo¾né -pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznat, kdy je pøeklápìní potøebné. +pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznávat, kdy je pøeklápìní potøebné. \h{Externí aktivita} -Pokud z~nìjakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí +Jestli¾e z~nìjakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí být tento vrchol na~vnìj¹í stìnì, tak¾e musí také zùstat na~vnìj¹í stìnì -vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externí aktivitu +i~vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externí aktivitu nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto pøípady: \s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externì aktivní} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná -hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je k~$w$ pøipojen externì aktivní -blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol. Externì -aktivní vrcholy budeme kreslit jako ètvereèky. +hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externì aktivní +blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol. -Jinými slovy $w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud je $\(w) < \(v)$, -nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\(x) < \(x)$. -Ve~statickém grafu by staèilo testovat $\(w)$, nám se ov¹em bloková -struktura mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavademe: +Jinými slovy $w$ je externì aktivní pøi zpracovávání vrcholu~$v$, pokud je $\(w) < \(v)$, +nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\(x) < \(v)$. +Druhá podmínka funguje díky tomu, ¾e koøen bloku má v~tomto bloku právì jednoho syna +(jinak by existovala pøíèná hrana, co¾ víme, ¾e není pravda), tak¾e minimum z~\ù +v¹ech vrcholù le¾ících uvnitø bloku je pøesnì \ tohoto syna. +Ve~statickém grafu by se v¹echny testy redukovaly na~$\(w)$, nám se ov¹em bloková +struktura prùbì¾nì mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavademe: -\s{Definice:} $\(w)$ je seznam v¹ech synù vrcholu~$w$, které v~daném -okam¾iku le¾í v~jiných blocích ne¾~$w$, setøídìný vzestupnì podle $\$ù. +\s{Definice:} $\(w)$ je seznam v¹ech blokù pøipojených v~daném okam¾iku +pod vrcholem~$w$, reprezentovaných jejich koøeny (klony vrcholu~$w$) a jedinými syny koøenù. +Tento seznam udr¾ujeme setøídìný vzestupnì podle $\$ù synù. \s{Lemma:} Vrchol~$w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud buïto $\(w) < \(v)$, -nebo první prvek $x$ seznamu $\(w)$ má $\(x) < \(v)$. Navíc -seznamy \ je mo¾no udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase. +nebo první prvek seznamu $\(w)$ má $\ < \(v)$. Navíc +seznamy \ lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase. \s{Dùkaz:} První èást plyne z~definice. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu -zkonstruujeme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok -s~koøenem~$x$ s~nadøazeným blokem, odstraníme $x$ ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci. +sestrojíme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok +s~nadøazeným blokem, odstraníme ho ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci. \qed \h{Reprezentace blokù a pøeklápìní} Pro ka¾dý blok si potøebujeme pamatovat vrcholy, které le¾í na~hranici (nìkteré z~nich jsou externì aktivní, ale to u¾ umíme poznat) a bloky, -které jsou k~nim pøipojené. Dále je¹tì vnitøní strukturu bloku vèetnì +které jsou pod nimi pøipojené. Dále je¹tì vnitøní strukturu bloku vèetnì uvnitø pøipojených dal¹ích blokù, ale jeliko¾ ¾ádné vnitøní vrcholy nejsou externì aktivní, vnitøek u¾ neovlivní dal¹í výpoèet a potøebujeme jej pouze pro vypsání výstupu. @@ -152,18 +160,18 @@ oproti nad bloku. Ka¾dý vrchol na~hranici bloku pak bude obsahovat dva~ukazatele na~sousední vrcholy. Neumíme sice lokálnì poznat, který ukazatel odpovídá kterému smìru, ale kdy¾ se nìjakým smìrem vydáme, doká¾eme ho dodr¾et --- staèí si v¾dy vybrat ten ukazatel, který nás nezavede do~vrcholu, -z~nìj¾ jsme právì pøi¹li. +-- staèí si v¾dy vybrat ten ukazatel, který nás nezavede do~právì +opu¹tìného vrcholu. -Ka¾dý vrchol bloku si také bude pamatovat seznam svých sousedù, +Ka¾dý vrchol si také bude pamatovat seznam svých sousedù, podle orientace bloku buïto v~hodinkovém nebo opaèném poøadí. -Chceme-li pøidat hranu, potøebujeme tedy znát abslolutní orientaci, -ale to pùjde snadno, jeliko¾ hrany pøidáváme jen k~vrcholùm na~hranici -a v¾dy k~nim po~hranici dojdeme z~koøene. +Chceme-li pøidat hranu, potøebujeme tedy znát absolutní orientaci, +ale to pùjde snadno, jeliko¾ hrany pøidáváme jen k~vrcholùm na~hranici, +poté co k~nim po~hranici dojdeme z~koøene. -K~pøeklopení bloku vèetnì v¹ech podøízených blokù tedy staèí invertovat +K~pøeklopení bloku vèetnì v¹ech podøízených blokù nám staèí invertovat bit v~koøeni, pokud chceme pøeklopit jen tento blok, invertujeme bity -i v~koøenech v¹ech podøízených blokù, které najdeme obcházením hranice. +i v~koøenech v¹ech podøízených blokù, je¾ najdeme obcházením hranice. Na~konci algoritmu spustíme post-processing, který v¹echny pøeklápìcí bity pøenese ve~smìru od~koøene k~potomkùm a urèí tak absolutní orientaci @@ -172,30 +180,35 @@ v \h{®ivý podgraf} Kdy¾ nakreslíme nový vrchol~$v$ a z~nìj vedoucí stromové hrany, musíme obejít -ka¾dý podstrom a ve~vhodném poøadí nakreslit zpìtné hrany do~$v$ a podle -potøeby pøeklopit bloky. V~podstromu ov¹em mù¾e být mnoho blokù, které, -aè jsou externì aktivní, ¾ádnou pozornost nevy¾adují a bìh algoritmu by -zbyteènì brzdily. Proto podobnì jako externí aktivitu nadefinujeme je¹tì -¾ivost vrcholu, které bude odpovídat zpìtným hranám vedoucím do~$v$: +ka¾dý podstrom, ve~vhodném poøadí nakreslit zpìtné hrany do~$v$ a podle +potøeby pøeklopit bloky. V~podstromu ov¹em mù¾e být mnoho blokù, které +¾ádnou pozornost nevy¾adují a bìh algoritmu by zbyteènì brzdily. +Proto podobnì jako externí aktivitu nadefinujeme je¹tì +¾ivost vrcholu a ta bude odpovídat zpìtným hranám vedoucím do~$v$. \s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I ¾ivý,} pokud z~nìj buïto vede zpìtná hrana do~právì -zpracovávaného vrcholu~$v$, nebo pokud k~nìmu je pøipojen ¾ivý blok, +zpracovávaného vrcholu~$v$, nebo pokud pod ním je pøipojen ¾ivý blok, tj. blok obsahující ¾ivý vrchol. Není-li ¾ivý vrchol èi blok externì aktivní, budeme mu øíkat {\I internì aktivní.} Pakli¾e není vrchol/blok ani ¾ivý, ani externì aktivní, budeme ho nazývat {\I neaktivní.} Pøed procházením podstromù tedy nejprve probereme v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$ a oznaèíme ¾ivé vrcholy. Pro ka¾dou zpìtnou hranu potøebujeme o¾ivit vrchol, z~nìj¾ -hrana vede, dále artikulaci, pod~ní¾ je tento blok pøipojen a dal¹í artikulace +hrana vede, dále artikulaci, pod~ní¾ je tento blok pøipojen, a dal¹í artikulace na~cestì do~$v$. Poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~bloku (nìjakým vrcholem na~vnìj¹í stìnì), tedy potøebujeme nalézt koøen bloku. To udìláme tak, ¾e zaèneme obcházet vnìj¹í -stìnu obìma smìry souèasnì, ne¾ dojdeme v~jednom smìru do~koøene. Navíc si v¹echny +stìnu obìma smìry souèasnì, ne¾ dojdeme v~kterémkoliv smìru do~koøene. Navíc si v¹echny vrcholy, pøes nì¾ jsme pro¹li, oznaèkujeme a pøiøadíme k~nim rovnou ukazatel na~koøen, -tak¾e po~¾ádné èásti hranice neprojdeme vícekrát.\foot{Znaèky ani nebude potøeba +tudí¾ po~¾ádné èásti hranice neprojdeme vícekrát.\foot{Znaèky ani nebude potøeba mazat, kdy¾ si u nich poznamenáme, který vrchol byl koøenem v~okam¾iku, kdy jsme znaèku vytvoøili, a znaèky patøící ke~starým koøenùm budeme ignorovat, resp. pøepisovat.} +Výstupem této èásti algoritmu budou znaèky u~¾ivých vrcholù a u~artikulací +také seznamy podøízených ¾ivých blokù. Tyto seznamy budeme udr¾ovat uspoøádané +tak, aby externì aktivní bloky následovaly po~v¹ech internì aktivních. To nám +usnadní práci v~hlavní èásti algoritmu. + \s{Lemma:} Pro ka¾dý koøen trvá znaèení ¾ivých vrcholù èas $\O(k+l)$, kde $k$ je poèet kreslených zpìtných hran a $l$ poèet vrcholù, které zmizely z~vnìj¹í stìny, èili amortizovaná konstanta. @@ -211,7 +224,7 @@ Nyn a oznaèování ¾ivého podgrafu -- a zbývá doplnit, jak algoritmus kreslí zpìtné hrany. Jeliko¾ zpìtné hrany vedoucí do~$v$ nemohou zpùsobit slouèení blokù le¾ících pod~$v$ (na~to jsou potøeba zpìtné hrany vedoucí nìkam nad~$v$ a ty -je¹tì nekreslíme), zpracováváme ka¾dý podstrom zvlá¹». Pøidáme 2-cyklus +je¹tì nekreslíme), zpracováváme ka¾dý podstrom zvlá¹». Pøidáme triviální blok pro stromovou hranu, pod nìj pøipojíme blokovou strukturu zatím nakreslené èásti podstromu a vydáme se po~hranici této struktury nejdøíve jedním a pak druhým smìrem. @@ -226,11 +239,12 @@ hranice nic p Pøitom se øídíme dvìma jednoduchými pravidly: \s{Pravidlo \#1:} V~ka¾dém ¾ivém vrcholu zpracováváme nejdøíve zpìtné hrany do~$v$, -pak internì aktivní bloky a koneènì externì aktivní bloky pøipojené pod vrcholem. +pak podøízené internì aktivní bloky a koneènì podøízené externì aktivní bloky. +(K~tomu se nám hodí, ¾e máme seznamy ¾ivých podøízených blokù setøídìné.) \s{Pravidlo \#2:} Pokud vstoupíme do~dal¹ího bloku, vybereme si smìr, ve~kterém -budeme pokraèovat (pokud se li¹í od~smìru, ve~kterém zatím hranici -obcházíme, blok pøeklopíme) následovnì: preferujeme smìr k~internì +budeme pokraèovat, následovnì (pokud se li¹í od~smìru, ve~kterém zatím hranici +obcházíme, blok pøeklopíme): preferujeme smìr k~internì aktivnímu vrcholu, pokud takový neexistuje, pak k~¾ivému externì aktivnímu vrcholu. @@ -249,13 +263,13 @@ Cel \algo \:Pokud má graf více ne¾ $3n-6$ vrcholù, odmítneme ho rovnou jako nerovinný. \:Prohledáme graf $G$ do~hloubky, spoèteme \ \ a \ v¹ech vrcholù. -\:Inicializujeme \ v¹ech vrcholù. +\:Inicializujeme \ v¹ech vrcholù. \:Procházíme vrcholy v~poøadí klesajících \ù, pro ka¾dý vrchol~$v$: -\::Nakreslíme v¹echny stromové hrany z~$v$ jako 2-cykly. +\::Nakreslíme v¹echny stromové hrany z~$v$ jako triviální bloky (2-cykly). \::Oznaèíme ¾ivý podgraf. \::Pro ka¾dého syna vrcholu~$v$ obcházíme ¾ivý podgraf nále¾ící k~tomuto vrcholu - a kreslíme zpìtné hrany do~$v$. -\::Zkontrolujeme, zda v¹echny hrany incidentní s~$v$ byly nakresleny, pokud ne, + v~obou smìrech a kreslíme zpìtné hrany do~$v$. +\::Zkontrolujeme, zda v¹echny zpìtné hrany vedoucí do~$v$ byly nakresleny, a pokud ne, prohlásíme graf za~nerovinný a zastavíme se. \:Projdeme hotové nakreslení do~hloubky a zorientujeme seznamy sousedù. \endalgo @@ -264,7 +278,7 @@ Cel vydá jeho nakreslení, v~opaèném pøípadì ohlásí nerovinnost. \s{Dùkaz:} První krok je korektní, jeliko¾ pro v¹echny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále -tedy mù¾eme pøedpokládat, ¾e $m=\O(n)$. Lineární èasovou slo¾itost krokù 4--6 jsme ji¾ +tedy mù¾eme pøedpokládat, ¾e $m=\O(n)$. Lineární èasovou slo¾itost krokù 4--6 a~9 jsme ji¾ diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu, a tedy také $\O(n)$. Nakreslení vydané algoritmem je v¾dy rovinné a v¹echny stromové hrany jsou v¾dy nakresleny, zbývá tedy ukázat, ¾e zpìtnou hranu mù¾eme nenakreslit jen pokud