From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Mon, 19 Mar 2007 22:04:53 +0000 (+0100)
Subject: Eukliduv algoritmus. Diky, Terko a Katko.
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=983c4c699c83a2687ffa2d732d74823a52a5368c;p=ads1.git

Eukliduv algoritmus. Diky, Terko a Katko.
---

diff --git a/1-euklid/1-euklid.tex b/1-euklid/1-euklid.tex
new file mode 100644
index 0000000..e063655
--- /dev/null
+++ b/1-euklid/1-euklid.tex
@@ -0,0 +1,291 @@
+\input ../lecnotes.tex
+\input epsf
+
+\def\N{N}
+
+\prednaska{1}{Euklidùv algoritmus}{(zapsaly T.~Klimo¹ová a K.~B\"ohmová)}
+
+\h{}
+
+\s{Algoritmus:} (Eukleidùv algoritmus verze $1.0$)
+
+Cílem je najít nejvìt¹ího spoleèného dìlitele zadaných èísel 
+$a_0, b_0 \in \N $, dále jen $\gcd(a_0, b_0)$, tedy Greatest Common
+Divisor.
+
+\algo
+\:while $a\not=b$ :
+\::if $a > b \Rightarrow a \leftarrow a-b $ 
+\::\rlap{else}\phantom{if }$\phantom{a > b} \Rightarrow b \leftarrow b-a $ 
+\: return $a$.
+\endalgo
+
+\noindent{\sl Dùkaz správnosti: }
+
+\>{\bf $1)$ EA se zastaví}
+
+V ka¾dém prùchodu cyklem se buï $a$ zmen¹í o hodnotu $b$ anebo se $b$ zmen¹í o 
+hodnotu $a$. Proto souèet $a+b$ klesne poka¾dé alespoò o $1$. Tedy celkem 
+se uskuteèní nanejvý¹ $a+b$ prùchodù cyklem a pak algoritmus skonèí.
+
+\>{\bf $2)$ EA vydá  $\gcd(a_0, b_0)$}
+
+$($Pøi dùkazech správnosti algoritmu se èasto pou¾ívá invariant.$)$
+
+Doká¾eme, ¾e platí invariant: $\gcd(a, b) = \gcd(a_0, b_0)$.
+
+Algoritmus pøi svém bìhu postupnì mìní hodnoty $a$ a $b$. 
+Tedy 
+$(a_0, b_0) \rightarrow (a_1, b_1) \rightarrow
+\dots \rightarrow (a_k, b_k)$.
+A jakmile je splnìna rovnost $a_k = b_k$, tak skonèí.
+My chceme ukázat, ¾e platí
+$\gcd(a_0, b_0) = \gcd(a_1, b_1) = \dots = \gcd(a_k, b_k)$.
+
+\medskip
+K tomu bude tøeba nìkolik pozorování:
+
+\>{\I Pozorování 1:} $\gcd(a, a) = a$ (pro $a>0$)
+
+Nahlédneme snadno. Nejvìt¹í spoleèný dìlitel jediného èísla je ono samo. \qed
+
+\>{\I Pozorování 2:} $\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$
+
+Takté¾ jednoduché. Pøi urèování nejvìt¹ího spoleèného dìlitele
+nám na poøadí èísel nezále¾í. \qed
+
+\>{\I Pozorování 3:} $\gcd(a, b) = \gcd(a \pm b, b)$
+
+%%Rozmyslíme si, ¾e a¾ doká¾eme {\I Pozorování 3 }, máme vyhráno.
+
+Doká¾eme silnìj¹í vìc -- platnost ekvivalence
+$k\vert a, k\vert b \Leftrightarrow k\vert(a+b)$.
+
+\>$\Rightarrow$:  Jeliko¾ $k\vert a, k\vert b \Rightarrow 
+a$ se dá vyjádøit jako $k-$násobek nìjakého $a'$. Tedy $a = k*a'$.
+Obdobnì $b = k*b'$, pro nìjaká èísla  $a',b'\in \N$.
+Tak¾e souèet $a+b$ si mù¾eme rozepsat jako $(a'+b')*k$ z èeho¾ je
+ji¾ vidìt, ¾e $k\vert(a+b)$.
+
+\>$\Leftarrow$: Podobnì $k\vert (a+b), k\vert b \Leftrightarrow k\vert a$.
+\qed
+
+Uvìdomíme si, ¾e tato tøi pozorování nám staèí k tomu, aby invariant
+platil. Algoritmus tedy opravdu vydá $\gcd(a_0,b_0)$.
+
+\>{\bf $3)$Rychlost algoritmu}
+
+Pøibli¾nì $a+b$. To je velmi pomalé, a proto vyvstává otázka, dá-li se
+EA zrychlit.
+
+\vfill\break
+
+\s{Algoritmus:} (Eukleidùv algoritmus verze $2.0$)
+
+Vylep¹ení: místo odèítání budeme poèítat zbytek po dìlení.
+
+\algo
+\:while $b \neq 0:$
+
+\::$a \leftarrow a \mod b$
+
+\::$a \leftrightarrow b$
+
+\: return $a$
+\endalgo
+
+\>{\sl Dùkaz správnosti: } 
+
+\>{\bf Korektnost: }
+
+Nahlédneme, ¾e dìlá toté¾ co pøedchozí verze.
+\qed
+
+\>{\bf Rychlost této verze:}
+
+Uká¾eme, ¾e rychlost verze 2.0 je $\sim \log(\max(a,b))$.
+
+\s {Lemma: } Za 2 prùchody cyklem se buï hodnota $a$ nebo hodnota $b$ 
+zmen¹í alespoò na polovinu.
+
+Uvìdomíme si, ¾e to u¾ staèí k tomu, aby byl èas logaritmický.
+
+Prùchodù, které zmen¹ují hodnotu $a$ je nejvý¹e $\lceil \log_2
+a \rceil$. Obdobnì prùchodù sni¾ujících hodnotu $b$ je nejvý¹e
+$\lceil \log_2 b \rceil$.
+
+Tedy celkový poèet prùchodù je nejvý¹e $2\cdot(\lceil \log_2 a \rceil+\lceil
+\log_2 b\rceil)$, co¾ není více ne¾ $\sim \log(\max(a,b))$.
+
+
+\>{\sl Dùkaz lemmatu: } 
+
+Rozebereme, co se stane po dvojím projití cyklem.
+
+Na zaèátku máme èísla $a_0$ a $b_0$. Bez újmy na obecnosti pøedpokládejme,
+ 
+¾e $a_0>b_0$, jinak potøebujeme navíc jeden prùchod v nìm¾ se èísla
+prohodí.
+
+Po prvním prùchodu: $a_1=b_0; b_1=a_0 \mod b_0$, co¾ je ménì ne¾ $b_0$.
+
+Po druhém prùchodu: $a_2=b_1; b_2=a_1 \mod b_1 = b_0 \mod b_1$.
+
+Chceme ukázat, ¾e kdy¾ je $b_1 < b_0$, tak $b_0 \mod b_1 \leq b_0/2$.
+
+\itemize\ibull
+\: buï platí $b_1 \leq b_0/2$. Pak jistì $b_0 \mod b_1$ je
+nanejvý¹ $b_0/2$.
+
+\: nebo nastane druhá mo¾nost  $b_1 >  b_0/2$. 
+Pak tedy $b_0 \mod b_1 = b_0-b_1$, co¾ je takté¾ maximálnì $b/2$.
+\qed
+\endlist
+
+\medskip
+\>{Jak nahlédnout, ¾e algoritmus není rychlej¹í ne¾ logaritmický?}
+
+Skrze Fibonacciho èísla: necháme algoritmus poèítat $\gcd(F_n, F_{n-1})$.
+
+Díky exponenciální velikosti Fibonacciho èísel tento výpoèet bude
+opravdu trvat logaritmicky dlouho vzhledem k velikosti vìt¹ího ze
+zadaných èísel.
+
+$\gcd(F_n, F_{n-1}) \rightarrow \gcd(F_{n-1}, F_{n-2}) \rightarrow
+\dots \rightarrow \gcd(1, 1)$.
+
+$($Zároveò je to asi nejhezèí dùkaz, ¾e Fibonacciho èísla jsou
+nesoudìlná.$)$
+\vfill\break
+
+\h{Výpoèetní model}
+
+\>{Základní vlastnosti:}
+\itemize\ibull
+\:vstup: $n$ èísel $($mù¾eme se omezit na èísla, nebo» cokoli jiného 
+umíme do èísel zakódovat$)$
+\:výstup: $m$ èísel
+
+\:elementární operace:
+
+\quad aritmetické operace $(+, -, *, $mod$,\dots)$
+
+\quad logické operace 
+
+\quad práce s pamìtí
+
+\quad øídící operace (skoky, podmínìné skoky, halt,\dots)
+
+\:èas: $t(x)$ = poèet krokù výpoètu pøi zpracování vstupu $x$
+\endlist
+
+\s{Definice:} Èasová slo¾itost v nejhor¹ím pøípadì 
+
+$T(n) := \max \{t(x)\vert x$ je vstup délky $n\}$. 
+
+\s{Definice:} Prostorová slo¾itost
+
+udává kolik pamìti výpoèet pou¾il.
+
+\bigskip
+\>Díry v definici: co jsou to èísla?
+Kdy¾ mohou být libovolnì velká, pak se dá podvádìt pøi poèítání prostorové
+slo¾itosti.
+
+\>{Velikost èísel}
+
+a$)$ polynomiálnì velká vzhledem k tomu kolik jich je
+
+b$)$ vstup mìøíme v bitech a operace pak trvá $\sim \log(x)$
+
+poznámka: pro normální algoritmy tyto dvì definice dávají toté¾
+
+\bigskip
+\>{Které slo¾itosti jsou rozumné a které nepou¾itelné?}
+
+\medskip
+\>{\bf Srovnání rychlostí algoritmù (pøedpokládáme $10^9$ operací za
+sekundu)}
+
+\def\[#1]{\,\hbox{#1}}
+$$\vbox{
+\halign{$#$ \hfil&\quad\hfil $#$&\quad\hfil $#$&\quad\hfil
+$#$&\quad\hfil $#$&\quad\hfil $#$&\quad\hfil $#$&\quad\hfil $#$\cr
+\hbox{funkce / $n=$\hskip-2em}& 10              & 20            & 30
+& 50            & 100           & 1\,000        & 1\,000\,000 \cr
+\noalign{\medskip\hrule\bigskip}
+\log_2 n        & 3.3\[ns]      & 4.3\[ns]      & 4.9\[ns]
+& 5.6\[ns] & 6.6\[ns]      & 10.0\[ns]     & 19.9\[ns]     \cr
+n               & 10\[ns]       & 20\[ns]       & 30\[ns]
+& 50\[ns] & 100\[ns]      & 1\[$\mu$s]    & 1\[ms]        \cr
+n\cdot\log_2 n\hskip-1em        & 33\[ns]       & 86\[ns]
+& 147\[ns] & 282\[ns]      & 664\[ns]      & 10\[$\mu$s]   & 20\[ms]
+\cr
+n^2             & 100\[ns]      & 400\[ns]      & 900\[ns]
+& 2.5\[$\mu$s] & 100\[$\mu$s]  & 1\[ms]        & 1\,000\[s]    \cr
+n^3             & 1\[$\mu$s]    & 8\[$\mu$s]    & 27\[$\mu$s]
+& 125\[$\mu$s] & 1\[ms]        & 1\[s]         & 10^9\[s]      \cr
+2^n             & 1\[$\mu$s]    & 1\[ms]        & 1\[s]
+& 10^6\[s] & 10^{21}\[s]   & 10^{292}\[s]  & \approx\infty \cr
+n!              & 10^6\[s]      & 10^{18}\[s]   & 10^{32}\[s]
+& 10^{64}\[s] & 10^{158}\[s]  & 10^{2567}\[s] & \approx\infty \cr
+}}$$
+
+\bigskip
+
+\halign{#\hfil&\quad #\hfil\cr
+Pro pøedstavu:  &$1\,000\[s]$ je asi tak ètvrt hodiny\cr
+                &$1\,000\,000\[s]$ je necelých 12 dní\cr
+                &$10^9\[s]$ je 31 let\cr
+                &$10^{18}\[s]$ je asi tak stáøí Vesmíru. \cr}
+
+
+
+\vfill\break
+
+{\bf Poèítaèe se nám zrychlují aneb Mooreùv zákon}
+
+\medskip
+
+\uv{Ka¾dé dva roky se výkon poèítaèù zdvojnásobí} -- Gordon Moore
+(prý)
+
+\medskip
+
+\qquad \dots\ Není tedy lep¹í chvíli poèkat ne¾ vymý¹let lep¹í
+algoritmus? :-)
+
+$$\vbox{\halign{\hfil$#$\quad&\hfil$#$\quad&\hfil$#$\qquad&#\hfil\cr
+\hbox{funkce} & 10^6\;\hbox{op.} & 2\cdot10^6\;\hbox{op.} & zmìna \cr
+\noalign{\medskip\hrule\bigskip}
+n       &1\,000\,000    &2\,000\,000    &2-krát více            \cr
+n^2     &1\,000         &1\,414         &$\sqrt{2}\approx 1.41$-krát
+více \cr
+n^3     &100            &126            &$\root3\of2\approx 1.26$-krát
+více \cr
+2^n     &20             &21             &o 1 více       \cr
+}}$$
+
+\bigskip
+Poèítaèe se zrychlují, nestaèí chvíli poèkat? Ne, na nìkterých èasových
+slo¾itostech se to projeví tak nepatrnì\dots
+
+\medskip
+Vyplatí se tedy nejdøív najít dobrý algoritmus, pak optimalizovat konstanty.
+
+
+\bigskip
+Asymptotický rùst funkcí
+\hskip2cmAsymptotický rùst funkcí: 
+
+\hskip5cm èleny ni¾¹ích øádù se schovají do konstant
+
+\>\epsfxsize=0.48\hsize\epsfbox{../slides/funcs.eps}
+\epsfxsize = 0.48\hsize\epsfbox{../slides/funcs2.eps}
+
+\medskip
+Malé vstupy se èasto dají øe¹it samostatnì, lépe je tedy pou¾ít dva
+algoritmy. Pro velké vstupy nezále¾í na konstantì a na èlenech ni¾¹ích
+øádù.
+
+\bye
diff --git a/1-euklid/Makefile b/1-euklid/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..dc2d95e
--- /dev/null
+++ b/1-euklid/Makefile
@@ -0,0 +1,3 @@
+P=1-euklid
+
+include ../Makerules