From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Thu, 14 Jun 2007 10:47:05 +0000 (+0200)
Subject: Nulta verze kapitoly o DFS.
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=5905e3027a01a20431e4a83f3b9e22c84e751c54;p=ads1.git

Nulta verze kapitoly o DFS.
---

diff --git a/9-dfs/9-dfs.tex b/9-dfs/9-dfs.tex
new file mode 100644
index 0000000..3426e0f
--- /dev/null
+++ b/9-dfs/9-dfs.tex
@@ -0,0 +1,124 @@
+ \input ../lecnotes.tex
+
+\prednaska{10}{Prùchod grafem}{(zapsali T. Hubík, V. Kolomièenko, L. Slinták)}
+
+\h{1. do hloubky (DFS)}
+
+\>in(v), out(v)
+
+\>Hrany rozdìlíme do nekolika tøíd
+\itemize\ibull
+\:{\I stromové} postupují do neoznaèených vrcholù
+\:{\I zpìtné} vedou do u¾ oznaèených vrcholù
+\:{\I dopøedné} vedou do vrcholù, odkud ji¾ jsme se vrátili
+\:{\I pøíèné} pouze zprava doleva
+\endlist
+
+\>{\I Pozn.: u neorientovaných grafù mohou být pouze stromové a zpìtné hrany}
+
+{\I Slo¾itost O(m+n), n ... poèet vrcholù, m ... poèet hran}
+
+\h{2. do ¹íøky (BFS)}
+{\I Slo¾itost O(m+n)}
+
+\s{Definice:} Lineární uspoøádání $<$ vrcholù grafu G je topologické $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in E(G) : u < v$
+
+\>{\I Pozorování: Pro cyklické grafy topologické uspoøádání neexistuje.}
+
+\s{Vìta:} Libovolný acyklický orientovaný graf (DAG) má topologické uspoøádání a lze ho sestrojit v O(m+n).
+
+\proof
+Spustíme DFS, u$<$v právì tehdy, kdy¾ out(u)$>$out(v)
+
+hrany:
+\itemize\ibull
+\:stromová - out(u) $>$ out(v)
+\:zpìtná - existuje cyklus a to je spor
+\:dopøedná - out(u) $>$ out(v)
+\:pøíèná - out(u) $>$ in(u) $>$ out(v)
+\endlist
+\>{\I Dùsledek:} Orientovaný graf $G$ je cyklický $\Longleftrightarrow$ DFS najde zpìtnou hranu, existuje zpìtná hrana $\Rightarrow$ existuje cyklus, neexistuje zpìtná hrana $\Rightarrow$ existuje topologické uspoøádání $\Rightarrow$ neexistuje cyklus.
+\qed
+
+
+\h{Nejdel¹í cesta v DAGU:}
+
+(z $S$ do ka¾dého vrcholu)
+
+\algo
+\:Zvolíme topologické uspoøádání na $G$, BÚNO $S$ je minimum.
+\:$\forall v: D(v)=-inf ; D(S)=0$
+\:Postupnì procházíme vrcholy $v \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro $\forall v$ spoèítáme $D(v)$
+\:$D(v)=max(D(n))+1$
+
+$u:(u,v) \in E(G)$
+\endalgo
+
+\>{\I Pozorování:} Ka¾dý DAG obsahuje zdroj (vycházejí z nìj cesty) a stok (cesty do nìj vstupují)
+
+\s{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty souvislosti} 
+
+\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v $G$ z $u$ do $v$ a opaène ???
+
+\s{Definice:} $G$ je silnì souvislý $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in V(G) : uRv$
+
+\>{\I Pozorování:} $R$ je ekvivalence, $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$v$ cesta
+
+{\narrower
+\s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G \Longleftrightarrow$ ekvivalence tøídy relace $R$
+}
+
+\s{Lemma:} $\forall (G)$ a $\forall (u,v) \in V(G)$: existuje $u$-$v$ sled $\Longleftrightarrow$ existuje $u$-$v$ cesta
+
+\proof
+Buï $S$ $u$-$v$ sled, na kterém se opakuje vrchol $z$.
+Uva¾me sled $u...z$ $z...v$, co¾ je také $u$-$v$ sled, ale je krat¹í.
+Iterujeme $\Rightarrow$ zbude cesta.
+\qed
+
+\s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
+
+$V(C(G))$: SSK grafu $G$
+
+$(c_1,c_2) \in E(C(G)) \Longleftrightarrow \exists v_1 \in c_1, v_2  \in c_2 : (v_1, v_2) \in E(G) $ 
+
+\s{Lemma:} $\forall (G) : C(G)$ je DAG.
+
+\proof
+obrázkem a sporem, existuje cyklus $c_1, c_2, ..., c_k$ v $C(G)$.
+\qed
+
+\h{Algoritmus hladání silnì souvislých komponent grafu v O(n)} 
+
+\>{\I Pozorování 1:} DFS z vrcholu $v$ projde $\{w, \exists v$-$w$ cesta$ \}$.
+
+\>{\I Pozorování 2:} Je-li $C$ stoková komponenta a $v \in  V(C)$, pak DFS z $v$ projde právì $C$.
+
+\>{\I Pozorování 3:} Spustíme-li DFS na celý $G$, pak vchol $v$ s maximální $out(v)$ le¾í ve zdrojové SSK.
+
+\>{\I Pozorování 3*:} Nech» $C_1, C_2$ jsou SSK a $C_1, C_2 \in E(C(G)$, pak max$\{out(u), u \in V(C_1)\}  >$ max$\{out(v), v \in V(C_2)\}$.
+
+\>{\I Pozorování 4:} $G$ a $G^R$ mají stejné SSK ($G^R$ má proti $G$ otoèené hrany).
+
+\s{Algoritmus:}
+
+\algo
+\:Sestrojíme $G^R$,  $O(m+n)$
+\:DFS na $G^R$ $\rightarrow$ $out(v)$,  $O(m+n)$
+\:$T$ bude uspoøádání vrcholù podle klesajících $out(v)$,  $O(n)$
+\:$\forall v \in V(G)$ v poøadí podle $T$,  $O(m+n)$
+\:pokud $v$ je¹tì nepatøí do ¾ádné komponenty, tak
+\::spustím DFS z $v$ a dosa¾ené vrcholy prohlásím za dal¹í SSK,  $O(m+n)$
+\endalgo
+
+\s{Vìta:} Ka¾dý orientovaný graf lze rozlo¾it na SSK v èase $O(m+n)$
+
+\proof
+Pozorovani 3*:
+\itemize\ibull
+\:1. DFS vstoupí nedøíve do $C_1$: Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1$ $\Rightarrow$ $out(C_1)>out(C_2)$. 
+\:2. nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1$ $\Rightarrow$ $out(C_1)>out(C_2)$.
+\endlist
+
+\bye
+
diff --git a/9-dfs/Makefile b/9-dfs/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..3ef1a30
--- /dev/null
+++ b/9-dfs/Makefile
@@ -0,0 +1,3 @@
+P=9-dfs
+
+include ../Makerules
diff --git a/all/Makefile b/all/Makefile
index 89aed23..7f8709d 100644
--- a/all/Makefile
+++ b/all/Makefile
@@ -1,5 +1,5 @@
 P=ads
-X:=$(shell for a in 1 2 3 4 5 6 8 10 12 ; do echo ../$$a-*/$$a-*.tex ; done)
+X:=$(shell for a in 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 ; do echo ../$$a-*/$$a-*.tex ; done)
 
 %universe: all ChangeLog