From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Fri, 16 Feb 2007 21:01:17 +0000 (+0100)
Subject: Pripsan algoritmus tri Indu. Bohuzel se tim dost rozpadla sazba, ale to brzy napravime.
X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=423a044a0c2c65155290297cf1e078fe3ce68608;p=ga.git

Pripsan algoritmus tri Indu. Bohuzel se tim dost rozpadla sazba, ale to brzy napravime.
---

diff --git a/2-dinic/2-dinic.tex b/2-dinic/2-dinic.tex
index fb84500..11c8da4 100644
--- a/2-dinic/2-dinic.tex
+++ b/2-dinic/2-dinic.tex
@@ -264,6 +264,65 @@ Maxim
 Podle pøedchozího odhadu pro celoèíselné kapacity výpoèet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$.
 Takový tok se bude poèítat $k$-krát, proèe¾ celková slo¾itost vyjde $\O(mn\log C)$.
 
+\h{Algoritmus tøí Indù}
+
+Pøekvapení na~konec: Dinicùv algoritmus lze pomìrnì snadno zrychlit i ve~zcela obecném
+pøípadì. Malhotra, Kumar a Maheshwari vymysleli efektivnìj¹í algoritmus \cite{threeinds}
+na~hledání blokujícího toku ve~vrstevnaté síti, který bì¾í v~èase $\O(n^2)$ a pou¾ijeme-li
+ho v~Dinicovì algoritmu, zrychlíme hledání maximálního toku na~$\O(n^3)$.
+Tento algoritmus ve¹el do~dìjin pod názvem Metoda tøí Indù.
+
+Mìjme tedy nìjakou vrstevnatou sí». Zaèneme s~nulovým tokem a budeme ho postupnì zlep¹ovat.
+Prùbì¾nì si budeme udr¾ovat rezervy hran~$r(e)$\foot{poèítáme pouze rezervu ve~smìru hrany, nebo»
+nám staèí najít blokující tok, ne~nutnì maximální} a také následující rezervy vrcholù:
+
+\s{Definice:} $r^+(v)$ je souèet rezerv v¹ech hran vstupujících do~$v$, $r^-(v)$ souèet
+rezerv hran vystupujících z~$v$ a koneènì $r(v):=\min(r^+(v),r^-(v))$.
+
+V~ka¾dé iteraci algoritmu nalezneme vrchol s~nejni¾¹ím~$r(v)$ a zvìt¹íme tok tak, aby se
+tato rezerva vynulovala. Za~tímto úèelem nejdøíve pøepravíme $r(v)$ jednotek toku ze~zdroje
+do~$v$: u~ka¾dého vrcholu~$w$ si budeme pamatovat {\I plán} $p(w)$, co¾ bude mno¾ství
+tekutiny, které potøebujeme dostat ze~zdroje do~$w$. Nejdøíve budou plány v¹ude nulové
+a¾ na~$p(v)=r(v)$. Pak budeme postupovat po~vrstvách smìrem ke~zdroji a plány v¹ech
+vrcholù splníme tak, ¾e je pøevedeme na~plány vrcholù v~následující vrstvì, a¾ doputujeme
+ke~zdroji, jeho¾ plán je splnìn triviálnì. Nakonec analogickým zpùsobem protlaèíme $r(v)$
+jednotek z~$v$ do~spotøebièe.
+
+Bìhem výpoètu prùbì¾nì pøepoèítáváme v¹echna $r^+$, $r^-$ a~$r$ podle toho, jak se mìní
+rezervy jednotlivých hran (pøi ka¾dé úpravì rezervy to zvládneme v~konstantním èase)
+a sí» èistíme stejnì jako u~Dinicova algoritmu.
+
+\s{Algoritmus:} (hledání blokujícího toku ve~vrstevnaté síti podle tøí Indù)
+
+\algo
+\:$f_B\leftarrow\<prázdný tok>$.
+\:Spoèítáme rezervy v¹ech hran a $r^+$, $r^-$ a $r$ v¹ech vrcholù. (Tyto hodnoty
+  budeme posléze udr¾ovat pøi ka¾dé zmìnì toku po~hranì.)
+\:Dokud v~síti existují vrcholy s~nenulovou rezervou, vezmeme vrchol $v$ s~nejmen¹ím $r(v)$
+  a provedeme pro nìj: {\I (vnìj¹í cyklus)}
+\::Pøevedeme $r(v)$ jednotek toku z~$s$ do~$v$ následovnì:
+\:::Polo¾íme $p(v)\leftarrow r(v)$, $p(\cdot)=0$.
+\:::Procházíme vrcholy sítì po~vrstvách od~$v$ smìrem k~$s$. Pro ka¾dý vrchol~$w$ provedeme:
+\::::Dokud $p(w)>0$:
+\:::::Vezmeme libovolnou hranu $uw$ a tok po~ní zvý¹íme o~$\delta=\min(r(uw), p(w))$. Tím se
+      $p(w)$ sní¾í~o~$\delta$ a $p(u)$ zvý¹í~o~$\delta$.
+\:::::Pokud se hrana~$uw$ nasytila, odstraníme jí ze sítì a sí» doèistíme.
+\::Analogicky pøevedeme $r(v)$ jednotek z~$v$ do~$s$.
+\endalgo
+
+\s{Analýza:} Nejprve si v¹imneme, ¾e cyklus v~kroku~8 opravdu doká¾e vynulovat $p(w)$.
+Souèet v¹ech $p(w)$ pøes ka¾dou vrstvu je toti¾ nejvý¹e roven $r(v)$, tak¾e speciálnì ka¾dé
+$p(w)\le r(v)$. Jen¾e $r(v)$ jsme vybrali jako nejmen¹í, tak¾e $p(w)\le r(v)\le r(w)\le r^+(w)$,
+a~proto je plánovaný tok kudy pøivést. Proto se algoritmus zastaví a vydá blokující tok.
+
+Zbývá odhadnout èasovou slo¾itost: Kdy¾ oddìlíme pøevádìní plánù po~hranách (kroky 7--9),
+zbytek jedné iterace vnìj¹ího cyklu trvá~$\O(n)$ a tìchto iterací je nejvý¹e~$n$. V¹echna pøevedení
+plánu si rozdìlíme na~ta, kterými se nìjaká hrana nasytila, a~ta, která skonèila vynulováním $p(w)$.
+Tìch prvních je $\O(m)$, proto¾e ka¾dou takovou hranu vzápìtí odstraníme a èi¹tìní, jak u¾ víme,
+trvá také lineárnì dlouho. Druhý pøípad nastane pro ka¾dý vrchol nejvý¹e jednou za~iteraci.
+Dohromady tedy trvají v¹echna pøevedení $\O(n^2)$, stejnì jako zbytek algoritmu.
+\qed
+
 \h{Pøehled variant Dinicova algoritmu}
 
 \medskip
@@ -277,6 +336,9 @@ jednotkov
 celoèíselné kapacity                    &$\O(\vert f\vert\cdot n + nm)$     \cr
 celoèíselné kapacity $ \leq C$          &$\O(Cn^2 + mn)$   \cr
 celoèíselné kapacity $ \leq C$ (scaling)&$\O(mn\log C)$    \cr
+tøi Indové				&$\O(n^3)$	   \cr
 }}}
 
+\references
+
 \bye
diff --git a/ga.bib b/ga.bib
index 792e03a..22c54fa 100644
--- a/ga.bib
+++ b/ga.bib
@@ -460,3 +460,13 @@
   year={1997},
   publisher={Elsevier}
 }
+
+@article{ threeinds,
+  title={{An $\O({\vert V\vert}^3)$ algorithm for finding maximum flows in networks}},
+  author={Malhotra, V. and Kumar, M.P. and Maheshwari, S.N.},
+  journal={Information Processing Letters},
+  volume={7},
+  number={6},
+  pages={277--278},
+  year={1978}
+}