From: Martin Mares Date: Wed, 28 Nov 2007 12:54:01 +0000 (+0100) Subject: Kapitola o Goldbergovi je uz kompletni, byt zatim nekorigovana. X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=2f84c73cc47144d28896fc6d77c86971456b72f7;p=ads2.git Kapitola o Goldbergovi je uz kompletni, byt zatim nekorigovana. --- diff --git a/4-goldberg/4-goldberg.tex b/4-goldberg/4-goldberg.tex index 352b0bd..8498f55 100755 --- a/4-goldberg/4-goldberg.tex +++ b/4-goldberg/4-goldberg.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \input lecnotes.tex \prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, -%J. Volec, +J. Volec, J. Záloha)} \noindent @@ -9,18 +9,17 @@ P {\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í. \noindent -Tento algoritmus narozdíl od {\I Dinicova algoritmu} zaèíná s pøebytky v sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevedení. Abychom se pøi pøi tomto pøevádìní nezacyklili definujeme vý¹ku vrcholu a pøevádíme pouze z kopce. +Tento algoritmus narozdíl od {\I Dinicova algoritmu} zaèíná s pøebytky v sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevedení. Abychom se pøi pøi tomto pøevádìní nezacyklili, definujeme vý¹ku vrcholu a pøevádíme pouze z kopce. \s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$ -je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), taková ¾e $ \forall (u,v) \in E : f(u,v) \leq c(u,v) \wedge $, kde $c(u,v)$ je kapacita hrany$(u,v)$, pro -$ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. +je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), taková ¾e $ \forall (u,v) \in E : f(u,v) \leq c(u,v) $, kde $c(u,v)$ je kapacita hrany$(u,v)$, a $ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. \s{Poznámka:} Funkci $f^{\Delta}(v)$ definujeme pro libovolnou funkci $f : E \rightarrow \bb R$ : $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$ Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $. \noindent -Algoritmus pracuje se sítí rezerv. To je funkce $r(u, v) u,v \in V$ taková, ¾e pro $\forall (u, v) \in E: r(u,v)+f(u,v)=c(u,v)$. Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je pøidáme s nulovou kapacitou. +Algoritmus pracuje se sítí rezerv. To je funkce $r(u, v), u,v \in V$ taková, ¾e pro $\forall (u, v) \in E: r(u,v)+f(u,v)=c(u,v)$. Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je pøidáme s nulovou kapacitou. \noindent V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em @@ -33,14 +32,14 @@ vrchol Pokud platí: \itemize\ibull - \: $u : f^{\Delta}(v) > 0$ - \: $v : h(u) > h(v)$ + \: $f^{\Delta}(u) > 0$ + \: $h(u) > h(v)$ \: $r(u,v)>0$ \endlist pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$, $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ . Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$. -Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$ +Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(u) = 0$. Pokud $r(u,v)=0$ a $f^{\Delta}(u) = 0$ budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}. \:{\I Zvednutí vrcholu} $u$ @@ -51,10 +50,10 @@ Pokud v algoritmu naraz \s{Algoritmus:} (Goldberg) \algo -\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$. -\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$. -\:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$: -\::Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v). +\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow N$. +\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(z,u)\leftarrow c(z,u)$. +\:Dokud $\exists u \in V \setminus \{u,v\}, f^{\Delta}(u)>0$: +\::Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0$ a $h(u)>h(v)$, tak pøevedeme pøebytek po (u,v). \::Jinak zvedneme $u$. \:Vrátíme tok $f$ jako výsledek. \endalgo @@ -65,16 +64,16 @@ Pokud v algoritmu naraz Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného agoritmu. -\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$, se kterou pracuje algoritmus je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a $h(z)=n, h(s)=0$. +\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$, se kterou algoritmus pracuje, je vlna. $\forall v \in V$: $h(v)$ neklesá a $h(z)=n$, $h(s)=0$. \proof -Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne z$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku. +Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme záporný pøebytek. $\forall v \in V \setminus \{z,s\}$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku. \qed -\s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou. +\s{Invariant S (o spádu):} $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou. \proof -Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h$, ale to nejde. +Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s kladným pøebytkem, dále existuje nenasycená hrana $(v,u)$ a $h(v)=h(u)+1$, vrchol $v$ algoritmus nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h$, ale to nejde. \qed \s{Lemma K (o korektnosti):} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maximální tok $f$. @@ -83,7 +82,7 @@ Pod Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit jen pokud nastanou oba tyto pøípady souèasnì: \itemize\ibull \:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok. -\:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $n$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S. +\:pokud neexistuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò by v¹ak musela mít spád $n$. Ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, co¾ je spor s Invariantem S. \endlist \qed @@ -92,33 +91,62 @@ Nejprve uk \proof Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$. -Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$. +Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) \setminus A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$. -\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$, se jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí: +\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$, se jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí: $$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$ -Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo» obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek. +Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo» obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í nebo roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$, nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ v¹ak musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek. \qed -\s{Invariant V (vý¹ka):} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2n$. +\s{Invariant V (vý¹ka):} $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2n$. \proof Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $n-1$. -Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2n$, musel by být zvednut alespoò $2n$-krát. To ale znamená, ¾e by po $2n-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu ${u} \in E$, musí platit $h(v)\le h({u})$ a tedy $v$ bude zvednut po $2n$-té. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=n$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S. +Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2n$, musel by být zvednut alespoò $2n$-krát. To ale znamená, ¾e by po $2n-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu ${u} \in E$, musí platit $h(v)\le h({u})$ a tedy $v$ bude zvednut po $2n$-té. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=n$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom ale na cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1, a to je spor s Invariantem S. \qed \s{Lemma Z (poèet zvednutí):} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2n^{2}$. \proof -Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì $2n$-krát a vrcholù je $n$. +Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol mù¾eme zvednout maximálnì $2n$-krát a vrcholù je $n$. \qed % %\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena. % %\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu. -\s{Lemma SY (sytá pøevedení):} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$. +\s{Lemma SY (sytá pøevedení):} Poèet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$. \proof Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v) 0, v \ne z,s} h(v) $$ % !todo! dvouradkovy dolni index sumy +Nyní se podívejme, jak se ná¹ potenciál bìhem algoritmu vyvíjí a jaké má vlastnosti: +\itemize\ibull +\: Bìhem celého algoritmu je $ \psi \ge 0 $, nebo» je souètem nezáporných èlenù. +\: Na poèátku je $ \psi = 0 $. +\: Zvednutí vrcholu zvý¹í potencíál o $1$. Ji¾ víme, ¾e za~celý prùbìh algoritmu je zvednutí maximálnì $2N^2$, proto zvedáním vrcholù zvý¹íme potenciál nejvý¹e o~$2N^2$. +\: Nasycené pøevedení zvý¹í potenciál nejvý¹e o~$2N$, nebo» èistì nasyceným pøevedením mù¾eme potenciál zvý¹it a¾ o~$2N$, pokud nejde o~èistì nasycené pøevedení, potenciál se dokonce o~$1$ sní¾í. Za~celý prùbìh tak dojde k~maximálnì $NM$ takovýchto pøevedení, díky nim¾ se potenciál zvý¹í maximálnì o~$2N^2M$. +\: Koneènì kdy¾ pøevadím po~hranì $(u,v)$ nenasycenì, tak od~potenciálu urèitì odeètu vý¹ku vrcholu $u$ a mo¾ná pøiètu vý¹ku vrcholu $v$. Jen¾e $h(v) = h(u) - 1$, proto nenasycené pøevedení potenciál v¾dy sní¾í alespoò o~$1$. +\endlist +Rozebrali jsme tedy v¹echny události, které mohou v~prùbìhu algoritmu nastat, proto z~uvedených vlastností na¹eho potenciálu $\psi$ vidíme, ¾e poèet nenasycených pøevedení mù¾e být nejvý¹e $2N^2 + 2N^2M$, co¾ je $\O(N^2M)$. +\qed + +\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(N^2M)$. + +\proof +Z~lemmatu Z vyplývá, ¾e celkový poèet zvednutí je maximálnì $2N^2$, pøièem¾ ka¾dé zvednutí jsme schopni provést v~èase $\O(N)$. Tak¾e dohromady pro~zvedání spotøebujeme èas $\O(N^3)$, co¾ je pro souvislé sítì urèitì $\O(N^2M)$. Z~lemmatu SY prozmìnu vyplývá, ¾e nasycená pøevedení nás stojí $\O(NM)$, a na~závìr z~lemmatu N dostáváme èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro~pøevedení nenasycená. Proto celková slo¾itost algoritmu je $\O(N^2M)$. +\qed + +\s{Implementace:} +Budeme si pamatovat seznam $P$ v¹ech vrcholù $v \ne z,s$ takových, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. Kdy¾ mìníme pøebytek nìjakeho vrcholu, tak mù¾eme ná¹ seznam v~konstantním èase zaktualizovat (napø. tak, ¾e si ka¾dý vrchol pamatuje pozici, na~které v~seznamu je). A v~konstantním èase také umíme odpovìdìt, zda existuje nìjaký vrchol s~pøebytkem. Dále si $\forall v \in V$ budeme pamatovat $L(v) := $ seznam $(v,u) \in E$ takových, ¾e $r(v,u) > 0$ a $h(u) < h(v)$. Díky tomu mù¾eme pøistupovat k~patøièným sousedùm $v$ v~èase $\O(1)$, stejnì jako provádìt operace pøidání do~$L(v)$ resp. smazání v~nìm. Pøi~pøevádìní nìjakého vrcholu $v$ vyhodíme $v$ nejvý¹e jednou, a to opìt v~èase $\O(1)$. A koneènì zvedání vrcholu nám zabere èas $\O(N)$. + +Nabízí se otázka, jak algoritmus zrychlit? Následující úprava $3.$ kroku algoritmu sní¾í poèet nenasycených pøevedení - Dokud $\exists u \in V \setminus \{u,v\}, f^{\Delta}(u)>0, h(u)$ je maximální: - co¾ je dùsledek následujícího lemmatu. + +\s{Lemma N':} Poèet nenasycených pøevedení v~upravené verzi Goldbergova algoritmu je $\O(N^2\sqrt{M})$, co¾ je maximálnì $\O(N^3)$. Díky tomu je i slo¾itost celého algoritmu $\O(N^3)$. + \bye