From: Martin Mares Date: Fri, 27 Jan 2012 10:15:11 +0000 (+0100) Subject: Toky: Korektury a cviceni X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=2ef93086c0a27ac85550cde32609fc22df2eda66;p=ads2.git Toky: Korektury a cviceni --- diff --git a/2-toky/2-toky.tex b/2-toky/2-toky.tex index b797d89..6e1d213 100644 --- a/2-toky/2-toky.tex +++ b/2-toky/2-toky.tex @@ -2,44 +2,45 @@ \prednaska{2}{Toky v sítích}{} -\h{Motivaèní úlohy} - Pøedstavme si, ¾e~by v~budovì fakulty na~Malé Stranì existoval èajovod, který -by rozvádìl èaj do~ka¾dé uèebny. Znázornìme si to orientovaným grafem, v~nìm¾ +by rozvádìl èaj do~v¹ech uèeben. Znázornìme si to orientovaným grafem, v~nìm¾ jeden významný vrchol pøedstavuje èajovar a~druhý uèebnu, ve~které sedíme. -Hrany mezi vrcholy pak pøedstavují vìtvící se trubky, které mají èaj rozvádìt. -Jak dopravit co nejvíce èaje do~dané uèebny? +Hrany mezi vrcholy pak znázoròují vìtvící se trubky, které mají èaj rozvádìt. +Chceme dopravit co nejvíce èaje do~dané uèebny, ale není to tak snadné, +proto¾e ka¾dá trubka má omezenou kapacitu -- za jednotku èasu jí mù¾e +protéci jen urèité mno¾ství èaje, pro ka¾dou trubku obecnì jiné. Mù¾e se +tedy vyplatit za \uv{tlustou} trubkou tok èaje rozvìtvit a dál pokraèovat +více tenkými trubkami atd. \figure{toky01.eps}{Èajovod}{2in} -Jiným pøíkladem mù¾e být poèítaèová sí» na~pøenos dat, která se sestává z~pøenosových linek -spojených pomocí routerù. Data se sice obvykle pøená¹ejí po~paketech, ale to -mù¾eme pøi dne¹ních rychlostech pøenosu zanedbat a pova¾ovat data za spojitá. -Jak pøená¹et data mezi dvìma poèítaèi v~síti co nejrychleji? +K~podobnému problému dojdeme, budeme-li studovat pøenos dat v~poèítaèových sítích. +Roli trubek zde hrají pøenosové linky, kapacita øíká, kolik dat pøenesou za~sekundu. +Linky jsou spojené pomocí routerù a opìt chceme dopravit co nejvíce dat z~jednoho +místa v~síti na druhé. Data sice na rozdíl od èaje nejsou spojitá (pøená¹íme je po bytech +nebo rovnou po paketech), ale pøi dne¹ních rychlostech pøenosu je za taková mù¾eme +pova¾ovat. \h{Toky v~sítích} -\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,z,s,c)$, pro ní¾ platí: +\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,z,s,c)$, pøièem¾: \itemize\ibull \:$(V,E)$ je orientovaný graf. \:$c:E\to{\bb R}_{0}^{+}$ je funkce pøiøazující hranám jejich {\I kapacity.} -\:$z,s \in V$ jsou dva vrcholy grafu, kterým øíkáme {\I zdroj} a~{\I stok} (spotøebiè). -\:Graf je symetrický, tedy $\forall u,v \in V: uv \in E \Leftrightarrow vu \in E$\foot{% +\:$z,s \in V$ jsou dva vrcholy grafu, kterým øíkáme {\I zdroj} a~{\I stok} (neboli {\I spotøebiè}). +\:Graf je symetrický -- je-li $uv$ hranou grafu, je jí i~$vu$.\foot{% Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme hranu z~vrcholu~$u$ do vrcholu~$v$ znaèit $uv$ namísto formálnìj¹ího, ale ménì pøehledného $(u,v)$. Podobnì u~neorientovaných -hran pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.} -(tuto podmínku si~mù¾eme zvolit bez~újmy na~obecnosti, nebo» v¾dy mù¾eme -do~grafu pøidat hranu, která v~nìm je¹tì nebyla, a~dát jí nulovou kapacitu). - +hran pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.} Kdyby nìkterá z~opaèných hran chybìla, +mù¾eme ji pøidat s~nulovou kapacitou. \endlist -\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E \to {\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e~platí: +\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E \to {\bb R}_{0}^{+}$, pro ní¾ platí: \numlist{\ndotted} \:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $\forall e \in E : f(e)\le c(e)$. -\:{\I Kirchhoffùv zákon:} +\:{\I Kirchhoffùv zákon:} Do ka¾dého vrcholu pøiteèe stejnì, jako z~nìj odteèe (\uv{sí» tìsní}). +Jedinou výjimku tvoøí zdroj a spotøebiè. Formálnì: $$\forall v \in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f(vu)}.$$ -Neboli pro~ka¾dý vrchol kromì zdroje a~stoku platí, ¾e~to, co do~nìj pøitéká, -je stejnì velké jako to, co z~nìj odtéká (\uv{sí» tìsní}). \endlist \figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{2.5in} @@ -90,9 +91,15 @@ z~t Nám ale bude staèít studovat sítì s~racionálními kapacitami, kde existence maximálního toku bude zjevná u¾ z~toho, ze sestrojíme algoritmus, který takový tok najde. -\s{První pokus:} Hledejme cestu $P$ ze~$z$ do~$s$ takovou, ¾e~$\forall e \in -P: f(e) < c(e)$ (po~v¹ech jejích hranách teèe ostøe ménì, ne¾ jim dovolují -jejich kapacity). Pak zjevnì mù¾eme tok upravit tak, aby se~jeho velikost +\h{Fordùv-Fulkersonùv algoritmus} + +Nejjednodu¹¹í z~algoritmù na hledání maximálního toku pochází od Forda +a Fulkersona. Je zalo¾en na prosté my¹lence: zaèname s~nulovým tokem a postupnì +ho budeme vylep¹ovat, a¾ dostaneme maximální tok. + +Uva¾ujme, jak by vylep¹ování mohlo probíhat. +Nech» existuje cesta $P$ ze~$z$ do~$s$ taková, ¾e po v¹ech jejích hranách +teèe ménì, ne¾ dovolují kapacity. Pak zjevnì mù¾eme tok upravit tak, aby se~jeho velikost zvìt¹ila. Zvolme $$\varepsilon := \min_{e \in P} \left(c(e) - f(e)\right).$$ Po ka¾dé hranì zvý¹íme prùtok o~$\varepsilon$, èili definujeme nový tok~$f'$ takto: @@ -110,7 +117,7 @@ se~p Opakujme tento proces tak dlouho, dokud existují cesty, po nich¾ mù¾eme tok zlep¹ovat. A¾ se algoritmus zastaví (co¾ by obecnì nemusel, ale to nás je¹tì chvíli trápit nemusí), získáme maximální tok? -Pøekvapivì ne v¾dy. Uva¾ujme napøíklad síti nakreslenou pod tímto odstavcem. +Pøekvapivì ne v¾dy. Uva¾ujme napøíklad sí» nakreslenou pod tímto odstavcem. Najdeme-li nejdøíve cestu pøes svislou hranu (na obrázku tuènì, zlep¹ujeme o~1), potom jednu cestu po horní dvojici hran (zlep¹ujeme o~9) a jednu po spodní dvojici (zlep¹ujeme také o~9), dostaneme tok o~velikosti 19 a ¾ádná dal¹í cesta @@ -127,13 +134,14 @@ proti sm \s{Definice:} {\I Rezerva hrany} $uv$ je $r(uv):=c(uv) - f(uv) + f(vu).$ \s{Definice:} Hranì budeme øíkat {\I nasycená,} pokud má nulovou rezervu. -Nenasycená cesta je taková, její¾ v¹echny hrany mají nenulovou rezervu. +{\I Nenasycená cesta} je taková, její¾ v¹echny hrany mají nenulovou rezervu. \smallskip Budeme tedy opakovanì hledat nenasycené cesty a tok po~nich zlep¹ovat. -Postupnì doká¾eme, ¾e tento postup je koneèný a v~ka¾dé síti najde maximální tok. +Postupnì doká¾eme, ¾e tento postup je koneèný a ¾e v~ka¾dé síti najde maximální tok. \algo{FordFulkerson} +\algin Sí». \:$f \leftarrow$ libovolný tok, napø. v¹ude nulový. \:Dokud existuje nenasycená cesta~$P$ ze $z$ do $s$, opakujeme: \::$\varepsilon \leftarrow \min \{r(e) \mid e \in P\}$. @@ -141,17 +149,17 @@ Postupn \:::$\delta \leftarrow \min \{f(vu),\varepsilon\}$ \:::$f(vu) \leftarrow f(vu) - \delta$ \:::$f(uv) \leftarrow f(uv) + \varepsilon - \delta$ -\:Prohlásíme $f$ za~maximální tok. +\algout Maximální tok~$f$. \endalgo \s{Koneènost:} Zastaví se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus? \itemize\ibull -\:Pro~celoèíselné kapacity se~v~ka¾dém kroku zvìt¹í velikost toku alespoò o~1. +\:Pakli¾e jsou v¹echny kapacity celá èísla, velikost toku se~v~ka¾dém kroku zvìt¹í alespoò o~1. Algoritmus se~tedy zastaví po~nejvíce tolika krocích, kolik je nìjaká horní mez pro~velikost maximálního toku -- napø. souèet kapacit v¹ech hran -vedoucích do~stoku (tedy $c^+(s)$). +vedoucích do~stoku ($c^+(s)$). \:Pro~racionální kapacity vyu¾ijeme jednoduchý trik. Nech» $M$ je nejmen¹í spoleèný násobek jmenovatelù v¹ech kapacit. Spustíme-li algoritmus na sí» @@ -160,33 +168,28 @@ s celoèíselná, tak¾e se algoritmus jistì zastaví. \:Na~síti s~iracionálními kapacitami se~algoritmus chová mnohdy divoce, nemusí -se~zastavit, ba ani konvergovat ke~správnému výsledku. (Zkuste vymyslet pøíklad -takové sítì.) +se~zastavit, ba ani konvergovat ke~správnému výsledku (viz cvièení \exref{ffirac}). \endlist -\s{Maximalita:} Kdy¾ se algoritmus zastaví, je tok~$f$ maximální? K~tomu se -bude hodit zavést øezy. +\s{Maximalita:} U¾ víme, ¾e algoritmus se zastaví a vydá jako výsledek nìjaký tok~$f$. +Je tento tok maximální? Doká¾eme to pomocí øezù. \s{Definice:} Pro libovolné dvì mno¾iny vrcholù $A$ a~$B$ budeme znaèit $E(A,B)$ mno¾inu hran vedoucích z~$A$ do~$B$, tedy $E(A,B) = E\cap (A\times B)$. Je-li dále $f$ nìjaká funkce pøiøazující hranám èísla, oznaèíme: \itemize\ibull -\:$f(A,B) = \sum_{e\in E(A,B)} f(e)$ (prùtok z~$A$ do~$B$) -\:$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A)$ (èistý prùtok z~$A$ do~$B$) +\:$f(A,B) := \sum_{e\in E(A,B)} f(e)$ (prùtok z~$A$ do~$B$) +\:$f^\Delta(A,B) := f(A,B) - f(B,A)$ (èistý prùtok z~$A$ do~$B$) \endlist \s{Definice:} {\I Øez} je uspoøádaná dvojice mno¾in vrcholù ($A,B$) taková, ¾e -$A$ a $B$ jsou disjunktní, dohromady obsahují v¹echny vrcholy, $A$ obsahuje zdroj a $B$ +$A$ a $B$ jsou disjunktní, dohromady obsahují v¹echny vrcholy a navíc $A$ obsahuje zdroj a $B$ obsahuje stok. Mno¾inì~$A$ budeme øíkat {\I levá mno¾ina øezu,} mno¾inì~$B$ {\I pravá.} {\I Kapacitu øezu} definujeme jako souèet kapacit hran zleva doprava, tedy $c(A,B)$. -\s{Poznámka:} Jiná obvyklá definice øezu øíká, -¾e øez je mno¾ina hran grafu, po~jejím¾ odebrání se~graf rozpadne na~více -komponent. Tuto vlastnost mají i na¹e øezy, ale opaènì to nemusí platit. - \s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $(A,B)$ a ka¾dý tok~$f$ platí $f^\Delta(A,B) = \vert f\vert$. @@ -199,7 +202,7 @@ Prvn do~jiného vrcholu v~$B$ pøispìje jednou kladnì a jednou zápornì; hrany le¾ící celé mimo~$B$ nepøispìjí vùbec; hrany s~jedním koncem v~$B$ a druhým mimo pøispìjí jednou, pøièem¾ znaménko se bude li¹it podle toho, který konec je v~$B$. Druhá -rovnost je snadná: v¹echny vrcholy v~$B$ mimo spotøebiè mají podle Kirchhoffova +rovnost je snadná: v¹echny vrcholy v~$B$ kromì spotøebièe mají podle Kirchhoffova zákona nulový pøebytek (zdroj toti¾ v~$B$ nele¾í). \qed @@ -210,21 +213,22 @@ p (Velikost ka¾dého toku je shora omezena kapacitou ka¾dého øezu.) \proof -$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A) \le f(A,B) \le c(A,B)$. +$\vert f\vert = f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A) \le f(A,B) \le c(A,B)$. \qed \s{Dùsledek:} Pokud $\vert f\vert = c(A,B)$, pak je tok~$f$ maximální a øez~$(A,B)$ -minimální. Jinými slovy pokud najdeme dvojici tok a stejnì velký øez, mù¾eme øez pou¾ít -jako certifikát maximality toku. Následující vìta nám zaruèí, ¾e je to v¾dy mo¾né: +minimální. Jinými slovy pokud najdeme k~nìjakému toku stejnì velký øez, mù¾eme øez pou¾ít +jako certifikát maximality toku a tok jako certifikát minimality øezu. Následující vìta +nám zaruèí, ¾e je to v¾dy mo¾né: -\s{Vìta:} Pokud se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví, tak vydá maximální tok. +\s{Vìta:} Pokud se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví, vydá maximální tok. \proof -Nech» se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví. Definujme mno¾iny vrcholù $A +Nech» se algoritmus zastaví. Uva¾me mno¾iny vrcholù $A := \{v \in V \mid \hbox{existuje nenasycená cesta ze~$z$ do~$v$}\}$ a~$B := V \setminus A$. Dvojice $(A,B)$ je øez, nebo» $z \in A$ (ze~$z$ do~$z$ existuje cesta délky 0) -a~$s \in B$ (kdyby $s \not\in B$, musela by existovat nenasycená cesta ze~$z$ do~$s$, +a~$s \in B$ (kdyby $s$ nele¾elo v~$B$, musela by existovat nenasycená cesta ze~$z$ do~$s$, tudí¾ by algoritmus neskonèil, nýbr¾ by po této cestì stávající tok vylep¹il). Dále víme, ¾e~v¹echny hrany øezu mají nulovou rezervu: kdyby toti¾ pro nìjaké $u\in A$ @@ -238,7 +242,7 @@ jsme tedy øez je minimální a tok~$f$ maximální. \qed -Nyní ji¾ mù¾eme vyslovit vìtu o~chování Fordova-Fulkersonova algoritmu: +Tím jsme dokázali vìtu o~správnosti Fordova-Fulkersonova algoritmu: \s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» s~racionálními kapacitami se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví a~vydá maximální tok a~minimální øez. @@ -251,25 +255,24 @@ Kdy a~ten bude zase celoèíselný (algoritmus nikde nevytváøí z~celých èísel necelá). \qed -To, ¾e~umíme najít celoèíselné øe¹ení, není vùbec samozøejmé. -(U~jiných problémù takové ¹tìstí mít nebudeme.) -Uka¾me si rovnou jednu aplikaci, která celoèíselnost vyu¾ije. +To, ¾e~umíme najít celoèíselné øe¹ení, není vùbec samozøejmé. (V~kapitole +o~\NP-úplnosti se setkáme s~problémy, které jsou pro racionální èísla snadné +a pro celá obtí¾né.) Uka¾me rovnou jednu aplikaci, která celoèíselnosti vyu¾ije. \h{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitních grafech} \s{Definice:} Mno¾ina hran $F \subseteq E$ se~nazývá {\I párování}, jestli¾e -¾ádné dvì hrany této mno¾iny nemají spoleèný ani jeden vrchol. Neboli $\forall -e,f \in F : e \cap f = \emptyset$. {\I Velikostí} párování myslíme poèet jeho -hran. +¾ádné dvì hrany této mno¾iny nemají spoleèný vrchol. +{\I Velikostí} párování myslíme poèet jeho hran. Chceme-li v~daném bipartitním grafu $(V,E)$ nalézt nejvìt¹í párování, pøetvoøíme graf nejprve na sí» $(V',E',c,z,s)$ takto: \itemize\ibull \:Nalezneme partity grafu, budeme jim øíkat {\I levá} a {\I pravá.} +\:V¹echny hrany zorientujeme zleva doprava. \:Pøidáme zdroj~$z$ a vedeme z~nìj hrany do v¹ech vrcholù levé partity. \:Pøidáme spotøebiè~$s$ a vedeme do nìj hrany ze~v¹ech vrcholù pravé partity. -\:Hrany zadaného grafu zorientujeme zleva doprava. \:V¹em hranám nastavíme jednotkovou kapacitu. \endlist @@ -288,7 +291,7 @@ alespo Zbývá nahlédnout, ¾e nalezené párování je nejvìt¹í mo¾né. K~tomu si staèí v¹imnout, ¾e z~toku vytvoøíme párování o~tolika hranách, kolik je velikost toku, a naopak z~ka¾dého párování umíme vytvoøit celoèíselný tok odpovídající velikosti. -Jinými slovy nalezli jsme bijekci mezi mno¾inou v¹ech celoèíselných tokù +Nalezli jsme bijekci mezi mno¾inou v¹ech celoèíselných tokù a mno¾inou v¹ech párování a tato bijekce zachovává velikost. Nejvìt¹í tok tedy musí odpovídat nejvìt¹ímu párování. @@ -296,7 +299,7 @@ Nav pracuje pøekvapivì rychle: \s{Vìta:} Pro sí», její¾ v¹echny kapacity jsou jednotkové, nalezne Fordùv-Fulkersonùv -algoritmus maximální tok v~èase $\O(nm)$. +algoritmus maximální tok v~èase $\O(mn)$. \proof Jedna iterace algoritmu bì¾í v~èase $\O(m)$: nenasycenou cestu najdeme prohledáním @@ -321,7 +324,8 @@ tok Fordov \ex{Najdìte pøíklad sítì s~nejvý¹e 10 vrcholy a 10 hranami, na ní¾ Fordùv-Fulkersonùv algoritmus provede více ne¾ milion iterací.} -\exx{Najdìte sí» s~reálnými kapacitami, na ní¾ Fordùv-Fulkersonùv algoritmus nedobìhne.} +\exxx{Najdìte sí» s~reálnými kapacitami, na ní¾ Fordùv-Fulkersonùv algoritmus nedobìhne.} +\exid{ffirac} \ex{Navrhnìte algoritmus, který pro zadaný orientovaný graf a jeho vrcholy $u$ a~$v$ nalezne nejvìt¹í mo¾ný systém hranovì disjunktních cest z~$u$ do~$v$.} @@ -331,18 +335,17 @@ disjunktn \ex{Mìjme ¹achovnici $R\times S$, z~ní¾ políèko¾rout se¾ral nìkterá políèka. Chceme na ni rozestavìt co nejvíce ¹achových vì¾í tak, aby se navzájem neohro¾ovaly. Vì¾ mù¾eme postavit -na libovolné nese¾rané políèko a ohro¾uje v¹echny vì¾e v~tém¾e øádku èi sloupci. Navrhnìte +na libovolné nese¾rané políèko a ohro¾uje v¹echny vì¾e v~tém¾e øádku i sloupci. Navrhnìte efektivní algoritmus, který takové rozestavìní najde.} -\ex{Situace stejná jako v~minulém cvièení, ale dvì vì¾e se neohro¾ují, pokud je na -jejich pøímé spojnici alespoò jedno políèko se¾rané.} +\exx{Situace stejná jako v~minulém cvièení, ale dvì vì¾e se neohro¾ují pøes se¾raná políèka.} \ex{Opìt ¹achovnice po zásahu políèko¾routa. Chceme na nese¾raná políèka rozmístit kostky velikosti $1\times 2$ políèka tak, aby ka¾dé nese¾rané políèko bylo pokryto právì jednou kostkou.} \ex{Dopravní problém: Uva¾ujme továrny $T_1, \ldots, T_p$ a obchody $O_1, \ldots, O_q$. V¹ichni vyrábìjí a prodavají tentý¾ druh zbo¾í. Továrna $T_i$ ho dennì vyprodukuje $t_i$ kusù, obchod -$O_j$ dennì spotøebuje $o_j$ kusù. Navíc máme bipartitní graf urèující, která továrna mù¾e +$O_j$ dennì spotøebuje $o_j$ kusù. Navíc známe bipartitní graf urèující, která továrna mù¾e dodávat zbo¾í kterému obchodu. Najdìte efektivní algoritmus, který zjistí, zda je po¾adavky obchodù mo¾né splnit, ani¾ by se pøekroèily výrobní kapacity továren, a~pokud je to mo¾né, vypí¹e, ze~které továrny se má pøepravit kolik zbo¾í do kterého obchodu.} @@ -352,10 +355,18 @@ dolu~$D_i$ stoj suroviny. Továrna~$T_j$ potøebuje ke~své èinnosti zadanou mno¾inu surovin (pøiøazení surovin továrnám je dáno jako bipartitní graf na vstupu) a pokud jsou v~provozu v¹echny doly produkující tyto suroviny, vydìláme na továrnì zisk~$t_j$. Vymyslete algoritmus, -který spoèítá, které doly postavit, abychom vydìlali co nejvíce.} +který spoèítá, které doly postavit, abychom po odeètení nákladù na doly vydìlali co nejvíce.} + +\ex{Jiná obvyklá definice øezu øíká, ¾e øez je mno¾ina hran grafu, po~jejím¾ odebrání +se~graf rozpadne na~více komponent (respektive máme-li urèený zdroj a stok, skonèí tyto +v~rùzných komponentách). Srovnejme tuto definici s~na¹í. Mno¾iny hran urèené na¹imi øezy +splòují i tuto definici a øíká se jim {\I elementární øezy.} +Uka¾te, ¾e existují i jiné ne¾ elementární øezy. +Také uka¾te, ¾e v¹echny minimální øezy jsou elementární.} %% FIXME: Zmínit permanent + \endexercises \bye