From: Martin Mares Date: Mon, 14 Jan 2008 11:47:30 +0000 (+0100) Subject: Prepsal jsem uvod ke kapitole. X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=290a7056336b7d02803c8d12c9104987e92bdfed;p=ads2.git Prepsal jsem uvod ke kapitole. Take spousta drobnych korektur. --- diff --git a/10-prevody/10-prevody.tex b/10-prevody/10-prevody.tex index d5e4de0..9e638dc 100644 --- a/10-prevody/10-prevody.tex +++ b/10-prevody/10-prevody.tex @@ -2,47 +2,73 @@ \prednaska{10}{Pøevody problémù}{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas)} -\>Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a pøevody mezi nimi. +\>Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a jejich obtí¾ností. +Za jednoduché budeme trochu zjednodu¹enì pova¾ovat ty problémy, na~nì¾ známe algoritmus +pracující v~polynomiálním èase. \s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano}, nebo {\sc ne}. +[Formálnì bychom se na~nìj mohli dívat jako na~mno¾inu $L$ vstupù, na~které je odpovìï {\sc ano}, +a místo $L(x)=\hbox{\sc ano}$ psát prostì $x\in L$.] \s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$ hran? -\s{Pøíklad:} Daný problém pøevedeme na jiný: Párování $\rightarrow$ hledání maximálního toku (¹ipka znamená \uv{lze pøevést}). -Tzn. existuje v nìjaké síti $G'$ tok velikosti alespoò $k$? +To, co bychom ve~vìt¹inì pøípadù chtìli, je samozøejmì nejen zjistit, zda takové párování +existuje, ale také nìjaké konkrétní najít. V¹imnìme si ale, ¾e kdy¾ umíme rozhodovat +existenci párování v~polynomiálním èase, mù¾eme ho polynomiálnì rychle i najít: + +Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný +graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu +a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato +hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak +nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu +poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto +vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy +byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy. +Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí +do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì +mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální. + +A~jak ná¹ rozhodovací problém øe¹it? Nejsnáze tak, ¾e ho pøevedeme na~jiný, který +u¾ vyøe¹it umíme. Tento postup jsme (právì u~hledání párování) u¾ pou¾ili +v~kapitole o~Dinicovì algoritmu. Vytvoøili jsme vhodnou sí», pro kterou +platilo, ¾e v~ní existuje tok velikosti~$k$ právì tehdy, kdy¾ +v~pùvodním grafu existuje párování velikosti~$k$. + +Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat obecnì: + +\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I +redukovat} (neboli pøevést) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ +existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall +x: A(x) = B(f(x))$. + +V¹imnìte si, ¾e $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký +jako problém~$A$ (tím myslíme, ¾e pokud lze $B$ øe¹it v~polynomiálním èase, +lze tak øe¹it i~$A$): Nech» problém~$B$ umíme øe¹it v~èase $\O(b^k)$, kde +$b$ je délka jeho vstupu. Nech» dále funkce $f$ pøevádìjící $A$ na $B$ pracuje +v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Spustíme-li tedy $B(f(x))$ na~nìjaký +vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, tak¾e $B(f(x))$ +pobì¾í v~èase $\O(a^{k\ell})$, co¾ je polynomiální v~délce vstupu~$a$. -\s{Obecnì se dá øici:} Pokud daný pro rozhodovací problém umíme rozhodnout, zda platí, pak umíme také najít øe¹ení tohoto problému. Proto¾e jak jinak bychom o daném problému mohli tvrdit, ¾e zaruèenì platí, kdy¾ bychom ho neumìli vyøe¹it. - -\s{Pøíklad:} Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný graf má nebo nemá perfektní párování. Odebereme hranu a zeptáme se, jestli i tento nový graf má pefektní párovaní. Kdy¾ má, tak tato hrana nebyla potøebná pro párování, vyhodíme ji, proto¾e ji nepotøebujeme. -Kdy¾ nemá (hrana patøí do ka¾dého párování), tak si danou hranu poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy ale také hrany, které do tìchto vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy. -Takto iterujeme, dokud to jde. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí do perfektního párování. Tím jsme dané párování nalezli. -Hran je polynomiálnì mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e algoritmus je polynomiální. - -\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I redukovat} (pøevést) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall x: A(x) = B(f(x))$. - -\s{Pøíklad:} Hledání maximálního párování v bipartitním grafu $\rightarrow$ Hledání maximálního toku v síti. -Funkce $f$ je funkce, která vezme bipartitní graf a vyrobí z~nìj sí» (jak správnì vyrobit sí» pro tento pøíklad viz 3.pøedná¹ka - Dinicùv algoritmus). - -\s{Nìco málo o slo¾itosti:} -Kdy¾ $A$ lze redukovat na $B$ funkcí $f$ a vstup $A$ je $x$, t¾. $\vert x \vert = n$ a funkce $f$ je spoèitatelná v polynomiálním èase, t¾. $\vert f(x) \vert = \O(n^k)$ pro nìjaké $k$, pak B umíme vyøe¹it v èase $\O(\vert f(x)^l \vert) = \O(n^{kl})$, $f$ poèítá v polynomiálním èase $\rightarrow$ mù¾e vydat maximálnì polynomiální výstup. - -$A \rightarrow B$ znamená, ¾e $B$ je alespoò tak tì¾ké jako $A$. \s{Pozorování:} Pøevoditelnost je: \itemize\ibull -\:reflexivní (úlohu mù¾eme identicky pøevést na tu stejnou), $A \rightarrow A$, -\:tranzitivní, $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $(g \circ f)$. +\:reflexivní (úlohu mù¾eme pøevést na tu stejnou identickým zobrazením): $A \rightarrow A$, +\:tranzitivní: Je-li $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, pak $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $g \circ f$ +(slo¾ení dvou polynomiálních funkcí je zase polynomiální funkce, jak u¾ jsme zpozorovali +v~pøedchozím odstavci). \endlist +\>Podívejme se nyní na~pøevody mezi dal¹ími zajímavými problémy: + \h{1. problém: SAT} -\>Splnitelnost logických formulí, tj. dosazení $true$ èi $false$ za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek $true$. +\>Splnitelnost logických formulí, tj. dosazení \ èi \ za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek \. \>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí, {\I konjunktivní normální formu} (CNF). $$(\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$ -\>{\I Vstup:} Formule $\phi$ v konjunktivní normální formì. +\>{\I Vstup:} Formule $\varphi$ v konjunktivní normální formì. -\>{\I Výstup} $\exists$ dosazení $true$ a $false$ za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\phi(\ldots) = true$. +\>{\I Výstup:} $\exists$ dosazení \ a \ za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\varphi(\ldots) = \$. \>Pro formuli platí následující podmínky: @@ -58,12 +84,12 @@ $$(\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\l \s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály. \s{Pøevod 3-SAT na SAT:} -Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT = SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký jako SAT) +Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT $\rightarrow$ SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký jako SAT) \s {Pøevod SAT na 3-SAT:} Musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost. -\>Trik pro dlouhé klauzule: +\>Trik pro dlouhé klauzule: Ka¾dou klauzuli $$(\alpha \lor \beta) \hbox{, t¾. } \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4$$ pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \land (\beta \lor \lnot x),$$ kde $x$ je nová promìnná, kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule. @@ -86,9 +112,10 @@ $$(\alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$ \>Existuje nezávislá mno¾ina vrcholù z~$G$ velikosti alespoò $k$? -\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) je tvoøena vrcholy grafu, které nemají ¾ádnou spoleènou hranu. +\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) budeme øíkat ka¾dé mno¾inì vrcholù grafu +takové, ¾e mezi nimi nevede ¾ádná hrana. -\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny.}{3in} +\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{1in} \>{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in {\bb N}$. @@ -96,7 +123,7 @@ $$(\alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$ \s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. Proto je potøeba zadat i minimální velikost hledané mno¾iny. -\>Uká¾eme, jak tento probém pøevést na 3-SAT. +\>Uká¾eme, jak na~tento probém pøevést 3-SAT. \s{Pøevod:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x$ a $\lnot x$. @@ -105,9 +132,11 @@ $(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot \>Pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) a pøidáme \uv{konfliktní} hrany, tj. $x$ a $\lnot x$. -Princip je takový, ¾e z~ka¾dé klauzule si vybereme promìnnou, která danou klauzuli splní, a to, aby promìnné, které si vybereme, nekolidovaly, vyøe¹íme hranami mezi promìnnými a jejich negacemi. +Princip je takový, ¾e z~ka¾dé klauzule si vybereme literál, který danou +klauzuli splní, a to tak, aby literály, které si vybereme, nekolidovaly. Kolize +o¹etøíme hranami mezi promìnnými a jejich negacemi. -\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu.}{3in} +\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu}{3in} Existuje nezávislá mno¾ina velikosti rovné poètu klauzulí? Pokud ano, tak dostaneme seznam promìnných, pomocí kterých splníme danou formuli. @@ -134,20 +163,20 @@ M x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$. \endlist -\figure{matice.eps}{Výsledná matice.}{3in} +\figure{matice.eps}{Výsledná matice}{3in} \h{4. problém: Klika} \>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$. \>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech? -\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky.}{3in} +\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{3in} \s{Pøevod:} Prohodíme v grafu $G$ hrany a nehrany $\Rightarrow$ hledání nezávislé mno¾iny. \s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~\uv{invertovaném} grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu. -\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran.}{3in} +\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{3in} \h{5. problém: 3D párování (3D matching)} @@ -157,7 +186,7 @@ M \>Uká¾eme, jak tento problém pøevést na 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce). -\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování.}{3in} +\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování}{3in} \h{6. problém: 3,3-SAT} @@ -185,9 +214,9 @@ $$ (x_k \Rightarrow x_1). $$ -Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu. Navíc si lze v¹imnout, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce $2x$. +Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu. Navíc si lze v¹imnout, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce dvakrát. \s{Závìr:} Obrázek ukazuje problémy, jimi¾ jsme se dnes zabývali, a vztahy mezi tìmito problémy. -\figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy.}{3in} +\figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy}{3in} \bye