úpravy.
Na závìr poznamenejme, ¾e existuje efektivnìj¹í, by» daleko komplikovanìj¹í,
-algoritmus od Balabana dosahující èasové slo¾itosti $\O(n \log n + p)$.
+algoritmus od Chazella dosahující èasové slo¾itosti $\O(n \log n + p)$.
\h{Hledání nejbli¾¹ích bodù a Voroného diagramy}
Zkusíme nyní odhadnout, jak velký je rovinný graf popisující Voroného diagram. Podle slavné Eulerovy formule má ka¾dý rovinný graf nejvý¹e lineárnì
mnoho vrcholù, hran a stìn -- pro $v$ vrcholù, $e$ hran a $f$ stìn je $e \le 3v-6$ a navíc $v+f = e+2$. Tedy slo¾itost diagramu je lineární vzhledem k
poètu zadaných bodù $n=f$, $\O(n)$. Navíc Voroného diagram lze zkonstruovat v èase $\O(n \log n)$, napøíklad pomocí zametání roviny nebo metodou
-rozdìl a panuj. Tím se v¹ak zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno: Detaily naleznete v zápiscích z pøedloòského
-ADSka.} místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychle hledat nejbli¾¹í body.
+Rozdìl a panuj. Tím se v¹ak zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno: Detaily naleznete v~zápiscích z~ADS z~roku 2007/2008.}
+místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychle hledat nejbli¾¹í body.
\h{Lokalizace bodu uvnitø mnohoúhelníkové sítì}
-Problém medvìdù je najít v medvìdí mapì co nejrychleji nejbli¾¹í iglù. Máme v rovinì sí» tvoøenou mnohoúhelníky. Chceme pro jednotlivé body rychle
+Problém medvìdù je najít v medvìdí mapì co nejrychleji nejbli¾¹í iglù. Máme v~rovinì sí» tvoøenou mnohoúhelníky. Chceme pro jednotlivé body rychle
rozhodovat, do kterého mnohoúhelníku patøí. Na¹e øe¹ení budeme optimalizovat pro jeden pevný rozklad a obrovské mno¾ství rùzných dotazù, které chceme
co nejrychleji zodpovìdìt.\foot{Pøedstavujme si to tøeba tak, ¾e medvìdùm zprovozníme server. Ten jednou schroustá celou mapu a potom co nejrychleji
odpovídá na jejich dotazy. Medvìdi tak nemusí v mapách nic hledat, staèí se pøipojit na server a poèkat na odpovìï.} Nejprve pøedzpracujeme zadané
\log n)$ na dotaz, co¾ je hroznì pomalé.
Pøedzpracování bude fungovat následovnì. Jak je naznaèeno na obrázku pøeru¹ovanými èárami, rozøe¾eme si celou rovinu na pásy, bìhem kterých se prùøez
-pøímkou nemìní. Pro ka¾dý z nich si pamatujeme stav stromu popisující, jak vypadal prùøez pøi procházení tímto pásem. Kdy¾ chceme lokalizovat nìjaký bod,
-nejprve pùlením nalezneme pás, ve kterém se nachází. Poté polo¾íme dotaz na pøíslu¹ný strom. Strom procházíme a po cestì si dopoèítáme souøadnice
-prùøezu, a¾ lokalizujeme správný interval v prùøezu. Dotaz doká¾eme zodpovìdìt v èase $\O(\log n)$. Hledaný bod je na obrázku naznaèen prázdným
+pøímkou nemìní. Pro ka¾dý z nich si pamatujeme stav stromu tak, jak vypadal prùøez pøi procházení tímto pásem. Kdy¾ chceme lokalizovat nìjaký bod,
+nejprve pùlením nalezneme pás, ve kterém se nachází $y$-ová souøadnice bodu. Poté polo¾íme dotaz na pøíslu¹ný strom. Strom procházíme a po cestì si dopoèítáme souøadnice
+prùøezu, a¾ lokalizujeme správný interval v prùøezu. Dotaz doká¾eme zodpovìdìt v~èase $\O(\log n)$. Hledaný bod je na obrázku naznaèen prázdným
koleèkem a nalezený interval v prùøezu je vyta¾ený tuènì.
-\figure{8-geom2_4_pasy_mnohouhelniku.eps}{Mnohoúhelníky rozøezané na pásy.}{2.5in}
-
-Jenom¾e na¹e øe¹ení má jeden háèek: Jak zkonstruovat jednotlivé verze stromu dostateènì rychle? K tomu napomohou {\I èásteènì perzistentní} datové
-struktury. Pod perzistencí se myslí, ¾e struktura umo¾òuje uchovávat svoji historii. Èásteènì perzistentní struktury nemohou svoji historii
-modifikovat.
-
-Popí¹eme si, jak vytvoøit perzistentní strom s pamìtí $\O(\log n)$ na zmìnu. Pokud provádíme operaci na stromì, mìní se jenom malá èást stromu.
-Napøíklad pøi vkládání do stromu se mìní jenom prvky na jedné cestièce z koøene do listu (a pøípadnì rotací i na jejím nejbli¾¹ím okolí). Proto si
-ulo¾íme upravenou cestièku a zbytek stromu budeme sdílet s pøedchozí verzí. Na obrázku je vyznaèena cesta, její¾ vrcholy jsou upravovány. ©edì
-oznaèené podstromy navì¹ené na tuto cestu se nemìní, a proto na nì staèí zkopírovat ukazatele. Mimochodem zmìny ka¾dé operace se slo¾itostí $\O(k)$
-lze zapsat v pamìti $\O(k)$, prostì operace nemá tolik èasu, aby mohla pozmìnit pøíli¹ velikou èást stromu.
+\figure{8-geom2_4_pasy_mnohouhelniku.eps}{Mnohoúhelníky rozøezané na pásy}{2.5in}
+
+Kdybychom si ov¹em uchovávali stavy stromu tak, ¾e bychom si pro ka¾dý pás poøídili kopii celého
+stromu, spotøebovali bychom jenom kopírováním stromù èas i pamì» $\Theta(n^2\log n)$. Místo toho
+si poøídíme {\I èásteènì persistentní} vyhledávací strom -- ten který si pamatuje historii v¹ech
+svých zmìn a umí v~ní vyhledávat. Pøesnìji øeèeno, po~ka¾dé operaci, která mìní stav stromu,
+vznikne nová {\I verze} stromu a operace pro hledání dostanou jako dal¹í parametr identifikátor
+verze, ve~které mají hledat.\foot{Plnì persistentní struktura by na rozdíl od èásteènì persistentní
+umìla star¹í verze i upravovat, èím¾ by se historie rozvìtvila. To pro na¹e úèely není potøeba.}
+
+Popí¹eme jednu z~mo¾ných konstrukcí persistentního stromu. Uva¾ujme obyèejný vyhledávací strom,
+øeknìme AVL strom. Rozhodneme se ale, ¾e jeho vrcholy nikdy nebudeme mìnit, abychom neporu¹ili
+zaznamenanou historii. Místo toho si poøídíme kopii vrcholu a tu zmìníme. Musíme ov¹em zmìnit
+ukazatel na daný vrchol, aby ukazoval na kopii. Proto zkopírujeme i jeho otce a upravíme v~nìm
+ukazatel. Tím pádem musíme upravit i ukazatel na otce, atd., a¾ se dostaneme do koøene. Kopie
+koøene se pak stane identifikátorem nové verze.
+
+Zkopírovali jsme tedy celou cestu mezi koøenem stromu a upravovaným vrcholem. Uchování
+jedné verze nás tedy strojí èas $\O(\log n)$ a prostor takté¾ $\O(\log n)$. Je¹tì nesmíme
+zapomenout, ¾e po ka¾dé operaci následuje vyvá¾ení stromu. To ov¹em upravuje pouze vrcholy,
+které le¾í v~konstantní vzdálenosti od~cesty z~místa úpravy do koøene, tak¾e jejich zkopírováním
+èasovou ani prostorou slo¾itost nezhor¹íme.
\figure{8-geom2_5_upravy_stromu.eps}{Jedna operace mìní pouze okolí cesty -- navì¹ené podstromy se nemìní.}{2in}
projects / ads2.git / commitdiff