Drobne korektury.

diff --git a/10-cesty/10-cesty.tex b/10-cesty/10-cesty.tex
index fb5e6e60428497ee9afc9582bb9479468be5771f..57db49c21b42ca90af21a0e4cd6605fc4c141d4e 100644 (file)
--- a/10-cesty/10-cesty.tex
+++ b/10-cesty/10-cesty.tex
@@ -1,11 +1,11 @@
 \input ../lecnotes.tex
 
-\prednaska{10}{Hledání nejkrat¹í cesty}{(zapsali L. Banáková, O. Hoferek, J. Bøeèka)}
+\prednaska{10}{Nejkrat¹í cesty}{(zapsali L. Banáková, O. Hoferek, J. Bøeèka)}
 
 \s{Problém:} Je dán graf G, kde $l(u,v)$~=~délka hrany~$(u,v)$. Dále jsou dány vrcholy
 $s,c~\in~V(G)$. Chceme najít cestu $s=v_1, v_2, \dots, v_k=c$ takovou, aby
 $$l(v_1, v_2) + l(v_2, v_3) + \dots + l(v_{k-1}, v_k)$$ bylo minimální. Takovéto
-cestì budeme øíkat nejkrat¹í cesta z~$s$~do~$c$.
+cestì budeme øíkat {\I nejkrat¹í cesta} z~$s$~do~$c$.
 
 \noindent
 Bez újmy na obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e graf G je orientovaný, bez smyèek a
@@ -39,13 +39,13 @@ maxim
 \proof
 
 \noindent
-,,$\Rightarrow$``: Zjevné, indukcí podle bìhu algoritmu.
+\uv{$\Rightarrow$}: Zjevné, indukcí podle bìhu algoritmu.
 
 \noindent
-,,$\Leftarrow$``: Doká¾eme sporem. Uva¾me, ¾e existuje vrchol dostupný, ale algoritmem
-neoznaèený. Vezmìme takovýto ,,¹patný`` vrchol $v$, který je $s$ nejblí¾e. Uva¾me
+\uv{$\Leftarrow$}: Doká¾eme sporem. Uva¾me, ¾e existuje vrchol dostupný, ale algoritmem
+neoznaèený. Vezmìme takovýto \uv{¹patný} vrchol $v$, který je $s$ nejblí¾e. Uva¾me
 nejkrat¹í cestu $(s,v)$: $s,\dots,u,v$. Pøedchozí vrchol na této cestì $u$
-musí být ,,dobrý``. Vrchol $u$ se dostane do fronty, pak je z~ní vybrán a tím
+musí být \uv{dobrý}. Vrchol $u$ se dostane do fronty, pak je z~ní vybrán a tím
 se zpracuje i vrchol $v$ $\Rightarrow$ spor.
 
 \s{Definice:} {\I Vzdálenost vrcholù} $d(u,v)$ je délka nejkrat¹í cesty $(u,v)$, 
@@ -71,7 +71,7 @@ $v~\in~V(G)$.
 \endalgo
 
 \noindent
-Prùbìh tohoto algoritmu si mù¾eme ukázat na následujícím obrázku (,,praseèí graf``):
+Prùbìh tohoto algoritmu si mù¾eme ukázat na následujícím obrázku (\uv{praseèí graf}):
 
 \figure{praseci-graf.eps}{Praseèí graf}{75mm}
 
@@ -165,7 +165,7 @@ na p
 
 Nahlédnìme nyní, zda by vedlo k~vylep¹ení èasové slo¾itosti, kdybychom pøi~implementaci
 Dijkstrova algoritmu pou¾ili jako datovou strukturu pro ukládání vidìných vrcholù rùzné typy hald.
-Provádìli bychom s~nimi operace DeleteMin (maximálnì $n$-krát) a Decrease (maximálnì $m$-krát). Zmínìné
+Provádìli bychom s~nimi operace \<DeleteMin> (maximálnì $n$-krát) a \<Decrease> (maximálnì $m$-krát). Zmínìné
 operace mají pro rùzné typy hald následující èasové slo¾itosti:
 
 \medskip
@@ -173,22 +173,22 @@ operace maj
 \vbox{\halign{# \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & #\cr
 & halda & $k$-regulární halda & Fibonaciho halda\cr
 \noalign{\medskip\hrule\bigskip}
-DeleteMin & $\O(\log{n})$ & $\O(k.\log_k{n})$ & $\O(\log{n})$\cr
-Decrease & $\O(\log{n})$ & $\O(\log_k{n})$ & $\O(1)$\cr}}
+\<DeleteMin> & $\O(\log{n})$ & $\O(k\log_k{n})$ & $\O(\log{n})$\cr
+\<Decrease> & $\O(\log{n})$ & $\O(\log_k{n})$ & $\O(1)$\cr}}
 
 \medskip 
 
-Pou¾ijeme-li klasickou haldu, dostaneme celkovou èasovou slo¾itost $\O((m~+~n).\log{n})$, co¾ znamená,
-¾e jsme si pomohli v pøípadech, kdy je graf ,,øídký``. U $k$-regulární haldy se celková èasová slo¾itost
-rovná $\O(n.k.\log_k{n}+m.\log_k{n})$, ideálnì pro $k~=$~${m}\over{n}$~:~$\O(m.\log_{{m}\over{n}}{n})$. Prozkoumejme,
-jak se nám v tomto pøípadì bude mìnit èasová slo¾itost pro rùznì ,,husté`` grafy:
+Pou¾ijeme-li klasickou haldu, dostaneme celkovou èasovou slo¾itost $\O((m+n)\log{n})$, co¾ znamená,
+¾e jsme si pomohli v pøípadech, kdy je graf \uv{øídký}. U $k$-regulární haldy se celková èasová slo¾itost
+rovná $\O(nk\log_k{n}+m\log_k{n})$, ideálnì pro $k=m/n$: $\O(m\log_{m/n}{n})$. Prozkoumejme,
+jak se nám v tomto pøípadì bude mìnit èasová slo¾itost pro rùznì \uv{husté} grafy:
 \itemize\ibull
-\:$m \approx n \rightarrow \O((m+n).\log{n})$
+\:$m \approx n \rightarrow \O((m+n)\log{n})$
 \:$m \approx n^2 \rightarrow \O(m)$
 \:$m \approx n^{1+\epsilon} \rightarrow \O(m) \dots (k=$~${m}\over{n}$~$= n^\epsilon)$
 \endlist
 \noindent
-Pøi pou¾ití Fibonaciho haldy je pak celková èasová slo¾itost rovna $\O(n.\log{n}+m)$.
+Pøi pou¾ití Fibonaciho haldy je pak celková èasová slo¾itost rovna $\O(n\log{n}+m)$.
 
 \medskip 
 
@@ -197,21 +197,21 @@ ke grafu $G = (V, E)$: $ A_{ij} = 1 \Leftrightarrow (v_i, v_j) \in E $. Potom
 $A^2_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}A_{kj} $. Tento souèet je nenulový právì tehdy, kdy¾
 vrcholy $i$,$k$,$j$ tvoøí sled délky 2. Jinými slovy $A_{ij}$ se rovná poètu sledù
 délky 2 v $G$ z $i$ do $j$. Obdobnì $A^k_{ij}$ = poèet sledù délky $k$. Pokud
-k matici $A$ pøièteme jednotkovou matici $E$ (èím¾ si pøimyslíme smyèky),
+k matici $A$ pøièteme jednotkovou matici ${\bb E}_n$ (èím¾ si pøimyslíme smyèky),
 dostaneme po umocnìní:
 
-$ (A+E)^k_{ij} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ $i,j$-sled délky maximálnì $k$
+$ (A+{\bb E}_n)^k_{ij} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ $i,j$-sled délky maximálnì $k$.
 
-Výstupem algoritmu tedy bude matice $(A + E)^n$. Mù¾eme si také v¹imnout, ¾e
-pokud matici $(A + E)$ umocníme na èíslo vìt¹í ne¾ $n$, tak výsledek bude poøád
+Výstupem algoritmu tedy bude matice $(A + {\bb E}_n)^n$. Mù¾eme si také v¹imnout, ¾e
+pokud matici $A + {\bb E}_n$ umocníme na èíslo vìt¹í ne¾ $n$, tak výsledek bude poøád
 správný, jen bude výpoèet trvat déle. Tak¾e algoritmus mù¾e pracovat
-v iteracích umocòováním matice na druhou: $M_0 = A + E$, $M_1 = M^2_0$, $M_{i+1} = M^2_i$,
+v iteracích umocòováním matice na druhou: $M_0 = A + {\bb E}_n$, $M_1 = M^2_0$, $M_{i+1} = M^2_i$,
 tak¾e výstupní matice bude:
 
 $ M_{\lceil \log{n} \rceil (ij)} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ cesta z $i$ do $j$
 
 Pokud pou¾ijeme Strassenùv vzorec na násobení matic, dostaneme
 ve výsledku algoritmus na dosa¾itelnost v grafu se slo¾itostí
-$\O(n^{\log_2{7}}.\log{n})$. 
+$\O(n^{\log_2{7}}\log{n})$. 
 
 \bye