Dinic: Prepsan uvod a lemma o zlepsovany toku tokem

diff --git a/3-dinic/3-dinic.tex b/3-dinic/3-dinic.tex
index 0a66a68b52dd9760e2b3764bd756315671f5bca4..871d164ca1599c6135f3fdc99dec72e96eaf1065 100644 (file)
--- a/3-dinic/3-dinic.tex
+++ b/3-dinic/3-dinic.tex
@@ -4,16 +4,17 @@
 
 Na~minulé pøedná¹ce jsme si~ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento
 algoritmus hledal maximální tok tak, ¾e zaèal s~tokem nulovým a~postupnì ho
-zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít cestu, na~které mají
-v¹echny hrany kladnou rezervu (po takovéto cestì mù¾eme poslat více, ne¾ po~ní
-aktuálnì teèe). Ukázali jsme, ¾e pokud takováto cesta existuje, jde tok
-vylep¹it (zvìt¹it). Zároveò pokud tok jde vylep¹it, pak takováto cesta
-existuje. Dokázali jsme, ¾e pro~racionální kapacity je algoritmus koneèný
-a~najde maximální tok.
+zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít {\I nenasycenou cestu,}
+tedy takovou, na~ní¾ mají v¹echny hrany kladnou rezervu. Podél takové cesty
+pak tok zvìt¹il.
 
-Fordùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze
-pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus,
-který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù~\dots
+Ukázali jsme, ¾e tato cesta existuje právì tehdy, kdy¾ tok je¹tì není
+maximální. Také jsme dokázali, ¾e pro racionální kapacity je tento
+algoritmus koneèný a v¾dy najde maximální tok. V~obecném pøípadì to
+ov¹em mù¾e trvat velice dlouho.
+
+Nyní uká¾eme trochu slo¾itìj¹í, ale výraznì rychlej¹í algoritmus zalo¾ený
+na my¹lence nezlep¹ovat toky pomocí cest, ale rovnou pomocí tokù~\dots
 
 \h{Sí» rezerv a zlep¹ující toky}
 
@@ -21,79 +22,59 @@ kter
 kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ pøi toku~$f$.
 
 Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv konstruujeme pro konkrétní tok v~pùvodní síti.
-Od pùvodní sítì se li¹í pouze tím, ¾e kapacit hran jsme nahradili jejich rezervami.
-Pøipomeòme je¹tì, ¾e rezervu hrany~$uv$ jsme definovali jako
+Od pùvodní sítì se li¹í pouze tím, ¾e kapacity hran jsme nahradili jejich rezervami.
+Pøipomeòme je¹tì, ¾e rezervu hrany~$uv$ jsme definovali vztahem
 $$r(uv) = c(uv) - f(uv) + f(vu).$$
-Nyní uká¾eme, jak toky zlep¹ovat pomocí tokù v~pøíslu¹né síti rezerv:
+Nyní uká¾eme, jak tok zlep¹it pomocí toku v~pøíslu¹né síti rezerv:
 
-\s{Lemma (o~zlep¹ování tokù):} Pro libovolný tok~$f$ v~síti~$S$ a libovolný tok~$g$ v~síti $R=(S,f)$
+\s{Lemma (o~zlep¹ování tokù):} Pro libovolný tok~$f$ v~síti~$S$ a libovolný tok~$g$ v~síti $R(S,f)$
 lze v~èase $\O(m)$ nalézt tok~$f'$ v~síti~$S$ takový, ¾e
 $\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$.
 
 \proof
-Nejprve uká¾eme, jak tok~$f'$ sestrojit. V~druhém kroku doká¾eme, ¾e konstrukce
-opravdu dává korektní tok. Nakonec nahlédneme, ¾e jeho velikost je taková, jakou
+Nejdøív uká¾eme, jak tok~$f'$ sestrojit. Poté doká¾eme, ¾e konstrukce opravdu
+dává korektní tok. Nakonec nahlédneme, ¾e jeho velikost je taková, jakou
 lemma slibuje.
 
-\>{\I Konstrukce~$f'$:} Pro ka¾dou dvojici hran $uv$ a $vu$ urèíme $f'(uv)$ a $f'(vu)$ následovnì:
-
-\def\irtri{\raise0.2ex\hbox{$\triangleright$}} % Signs frequently used for \itemize
-
-\itemize\ibull
-\:Pokud $g(uv)=g(vu)=0$, polo¾íme:
-       \itemize\irtri
-       \:$f'(uv) := f(uv)$,
-       \:$f'(vu) := f(vu)$.
-       \endlist
-       
-\:Pokud~$g(uv)>0$ a~$g(vu)=0$, pak polo¾me:
-       \itemize\irtri
-       \:$\varepsilon := \min (g(uv), f(vu))$,
-       \:$f'(uv) := f(uv) + g(uv) - \varepsilon$.
-       \:$f'(vu) := f(vu) - \varepsilon$,
-       \endlist
-
-\:Pøípad~$g(uv)=0$ a~$g(vu)>0$ vyøe¹íme symetricky.
-
-\:V~ostatních pøípadech je $g(uv)>0$ i $g(vu)>0$. Tehdy odeèteme od~toku~$g$ cirkulaci po cyklu $uvu$:
-       \itemize\irtri
-       \:$\delta := \min (g(uv),g(vu))$,
-       \:$g'(uv) := g(uv) - \delta$,
-       \:$g'(vu) := g(vu) - \delta$.
-       \endlist
-  Tím jsme velikost toku~$g$ nezmìnili a alespoò jednu z~hodnot $g(uv)$ a $g(vu)$
-  jsme vynulovali, tak¾e mù¾eme pou¾ít nìkterý z~pøedchozích pøípadù.
-       
-\endlist
-
-\>{\I Funkce~$f'$ je tok:}
-Nejprve si v¹imneme, ¾e na¹e konstrukce nikdy nevytváøí záporná èísla, ani èísla
-pøekraèující kapacity (ovìøte si v~jednotlivých pøípadech a vyu¾ijte toho, ¾e funkce~$g$
-je omezena kapacitami v~síti rezerv, èili rezervami v~pùvodní síti).
-
-Zbývá ovìøit Kirchhoffùv zákon. Doká¾eme, ¾e seètením tokù seèteme i jejich pøebytky,
-tedy ¾e pro v¹echny vrcholu~$v$ je $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v)$.
-Pokud tedy zákon platil pro $f$ i~$g$, musí platit i pro~$f'$.
-
-Uvedenou rovnost ovìøíme takto: Víme, ¾e k~pøebytku vrcholu~$v$ ka¾dá dvojice hran
-$uv$ a $vu$ pøispívá hodnotou $\delta = f(uv) - f(vu)$. Nahlédneme, ¾e tato hodnota se zvý¹í
-o~$g(uv) - g(vu)$, co¾ je pøesnì pøíspìvek uvedené dvojice hran k~pøebytku~$g^\Delta(v)$:
-
-       \itemize\irtri
-       \:V~prvním pøípadì na¹í konstrukce se $\delta$ nemìní a $g(uv) = g(vu) = 0$.
-       \:V~druhém pøípadì se $\delta$ zvìt¹í o~$g(uv) - \varepsilon + \varepsilon = g(uv)$,
-         pøièem¾ $g(vu)=0$.
-       \:Tøetí pøípad symetricky.
-       \:Ve~ètvrtém pøípadì upravíme~$g$ tak, ¾e se nezmìní $g(uv)-g(vu)$ a pokraèujeme
-         nìkterým z~pøedchozích pøípadù.
-       \endlist
-
-Tím jsme dokázali, ¾e~$f'$ je tok v~síti~$S$.
-
-\>{\I Velikost toku~$f'$:}
-Pou¾ijme právì dokázaný vztah pro souèet pøebytkù:
+{\I Zjednodu¹ení toku~$g$:} Abychom si usnadnili práci, upravíme nejprve tok~$g$ tak,
+aby pro ka¾dou dvojici hran $uv$ a~$vu$ byl tok~$g$ nenulový nejvý¹e na jedné z~nich.
+Kdyby toti¾ jak $g(uv)$, tak $g(vu)$ byly kladné, mù¾eme od obou hodnot odeèíst
+tu men¹í z~nich. Tím jsme nezmìnili pøebytky vrcholù, tím pádem ani velikost toku,
+a~tok po jedné z~hran jsme vynulovali.
+
+{\I Konstrukce~$f'$:} Pro ka¾dou dvojici hran $uv$ a~$vu$ takovou, ¾e $g(vu)=0$,
+definujeme funkci~$f'$ následovnì:
+$$\eqalign{
+       \delta &:= \min(f(vu), g(uv)) \cr
+       f'(vu) &:= f(vu) - \delta \cr
+       f'(uv) &:= f(uv) + g(uv) - \delta \cr
+}$$
+(Jinými slovy toté¾ jako pøi zlep¹ování toku ve~Fordovì-Fulkersonovì algoritmu.)
+
+{\I Proè je to tok:} Funkce~$f'$ jistì není na ¾ádné hranì záporná. Kapacity
+také nepøekroèí: na hranì~$vu$ tok pouze sni¾ujeme, na hranì~$uv$ ho zvý¹íme jen
+tehdy, kdy¾ $\delta < g(uv)$. Tehdy musí být $\delta = f(vu)$. Vyu¾ijeme toho, ¾e
+$g$ je tok v~síti rezerv, tak¾e $g(uv) \le r(uv) = c(uv) - f(uv) + f(vu)$.
+Proto $f'(uv) = f(uv) + g(uv) - \delta \le f(uv) + c(uv) - f(uv) + f(vu) - f(vu)
+= c(uv)$.
+
+Je¹tì ovìøíme, ¾e $f'$~splòuje Kirchhoffùv zákon. Uká¾eme, ¾e pro ka¾dý vrchol~$v$
+platí $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v)$, tak¾e pokud zákon platil pro $f$
+i~$g$, musí platit i pro~$f'$. V¹imneme si, ¾e za hranu~$uv$ na¹e konstrukce zvý¹í
+zvý¹í $f^\Delta(u)$ o~$-g(uv)$ a~$f^\Delta(v)$ o~$g(uv)$. To je pøesnì tolik, èím
+tato hrana pøispívá k~$g^\Delta(u)$ a~$g^\Delta(v)$. Pro hranu~$vu$, po které
+neteklo nic, platí triviálnì toté¾.
+
+{\I Velikost toku:} Staèí vyu¾ít toho, ¾e pøebytky se seèetly, abychom získali:
 $$\vert f' \vert = f'^\Delta(s) = f^\Delta(s) + g^\Delta(s) = \vert f \vert + \vert g \vert.$$
-\qeditem
+
+{\I Èasová slo¾itost:} Jak zjednodu¹ení toku~$g$, tak výpoèet toku~$f'$ trvají
+$\O(1)$ pro ka¾dou hranu, celkovì tedy $\O(m)$.
+\qed
+
+V¹imnìte si, ¾e zlep¹ení po nenasycené cestì je speciálním pøípadem tohoto
+postupu -- odpovídá toti¾ toku v~síti rezerv, který je konstantní na oné cestì
+a v¹ude jinde nulový.
 
 \h{Dinicùv algoritmus}