Drobne korektury.

diff --git a/9-dfs/9-dfs.tex b/9-dfs/9-dfs.tex
index 3426e0f879c4233d3cbc53b6c93bb6ee037aa640..53bc9395504d64c6a68edd6cb7fdfd5b5f84b289 100644 (file)
--- a/9-dfs/9-dfs.tex
+++ b/9-dfs/9-dfs.tex
@@ -1,10 +1,10 @@
- \input ../lecnotes.tex
+\input ../lecnotes.tex
 
-\prednaska{10}{Prùchod grafem}{(zapsali T. Hubík, V. Kolomièenko, L. Slinták)}
+\prednaska{9}{Prùchod grafem}{(zapsali T. Hubík, V. Kolomièenko, L. Slinták)}
 
 \h{1. do hloubky (DFS)}
 
-\>in(v), out(v)
+\>$\<in(v)>$, $\<out(v)>$
 
 \>Hrany rozdìlíme do nekolika tøíd
 \itemize\ibull
@@ -16,26 +16,26 @@
 
 \>{\I Pozn.: u neorientovaných grafù mohou být pouze stromové a zpìtné hrany}
 
-{\I Slo¾itost O(m+n), n ... poèet vrcholù, m ... poèet hran}
+{\I Slo¾itost $\O(m+n)$, n ... poèet vrcholù, m ... poèet hran}
 
 \h{2. do ¹íøky (BFS)}
-{\I Slo¾itost O(m+n)}
+{\I Slo¾itost $\O(m+n)$}
 
-\s{Definice:} Lineární uspoøádání $<$ vrcholù grafu G je topologické $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in E(G) : u < v$
+\s{Definice:} {\I Lineární uspoøádání} $<$ vrcholù grafu G je topologické $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in E(G) : u < v$
 
 \>{\I Pozorování: Pro cyklické grafy topologické uspoøádání neexistuje.}
 
-\s{Vìta:} Libovolný acyklický orientovaný graf (DAG) má topologické uspoøádání a lze ho sestrojit v O(m+n).
+\s{Vìta:} Libovolný acyklický orientovaný graf (DAG) má topologické uspoøádání a lze ho sestrojit v $\O(m+n)$.
 
 \proof
-Spustíme DFS, u$<$v právì tehdy, kdy¾ out(u)$>$out(v)
+Spustíme DFS, $u < v$ právì tehdy, kdy¾ $\<out(u)> > \<out(v)>$
 
 hrany:
 \itemize\ibull
-\:stromová - out(u) $>$ out(v)
+\:stromová - $\<out(u)> > \<out(v)>$
 \:zpìtná - existuje cyklus a to je spor
-\:dopøedná - out(u) $>$ out(v)
-\:pøíèná - out(u) $>$ in(u) $>$ out(v)
+\:dopøedná - $\<out(u)> > \<out(v)>$
+\:pøíèná - $\<out(u)> > \<in(u)> > \<out(v)>$
 \endlist
 \>{\I Dùsledek:} Orientovaný graf $G$ je cyklický $\Longleftrightarrow$ DFS najde zpìtnou hranu, existuje zpìtná hrana $\Rightarrow$ existuje cyklus, neexistuje zpìtná hrana $\Rightarrow$ existuje topologické uspoøádání $\Rightarrow$ neexistuje cyklus.
 \qed
@@ -47,18 +47,18 @@ hrany:
 
 \algo
 \:Zvolíme topologické uspoøádání na $G$, BÚNO $S$ je minimum.
-\:$\forall v: D(v)=-inf ; D(S)=0$
+\:$\forall v: D(v)=-\<inf> ; D(S)=0$
 \:Postupnì procházíme vrcholy $v \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro $\forall v$ spoèítáme $D(v)$
-\:$D(v)=max(D(n))+1$
+\:$D(v)=\<max>(D(n))+1$
 
 $u:(u,v) \in E(G)$
 \endalgo
 
-\>{\I Pozorování:} Ka¾dý DAG obsahuje zdroj (vycházejí z nìj cesty) a stok (cesty do nìj vstupují)
+\>{\I Pozorování:} Ka¾dý DAG obsahuje {\I zdroj} (vycházejí z nìj cesty) a {\I stok} (cesty do nìj vstupují)
 
 \s{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty souvislosti} 
 
-\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v $G$ z $u$ do $v$ a opaène ???
+\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v $G$ z $u$ do $v$ a opaène
 
 \s{Definice:} $G$ je silnì souvislý $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in V(G) : uRv$
 
@@ -88,36 +88,36 @@ $(c_1,c_2) \in E(C(G)) \Longleftrightarrow \exists v_1 \in c_1, v_2  \in c_2 : (
 obrázkem a sporem, existuje cyklus $c_1, c_2, ..., c_k$ v $C(G)$.
 \qed
 
-\h{Algoritmus hladání silnì souvislých komponent grafu v O(n)} 
+\h{Algoritmus hladání silnì souvislých komponent grafu v \O(n)} 
 
 \>{\I Pozorování 1:} DFS z vrcholu $v$ projde $\{w, \exists v$-$w$ cesta$ \}$.
 
 \>{\I Pozorování 2:} Je-li $C$ stoková komponenta a $v \in  V(C)$, pak DFS z $v$ projde právì $C$.
 
-\>{\I Pozorování 3:} Spustíme-li DFS na celý $G$, pak vchol $v$ s maximální $out(v)$ le¾í ve zdrojové SSK.
+\>{\I Pozorování 3:} Spustíme-li DFS na celý $G$, pak vchol $v$ s maximální $\<out(v)>$ le¾í ve zdrojové SSK.
 
-\>{\I Pozorování 3*:} Nech» $C_1, C_2$ jsou SSK a $C_1, C_2 \in E(C(G)$, pak max$\{out(u), u \in V(C_1)\}  >$ max$\{out(v), v \in V(C_2)\}$.
+\>{\I Pozorování 3*:} Nech» $C_1, C_2$ jsou SSK a $C_1, C_2 \in E(C(G)$, pak $\<max>\{\<out(u)>, u \in V(C_1)\}  > \<max>\{\<out(v)>, v \in V(C_2)\}$.
 
-\>{\I Pozorování 4:} $G$ a $G^R$ mají stejné SSK ($G^R$ má proti $G$ otoèené hrany).
+\>{\I Pozorování 4:} $G$ a $G^R$ mají stejné SSK ( $G^R$ má proti $G$ otoèené hrany ).
 
 \s{Algoritmus:}
 
 \algo
-\:Sestrojíme $G^R$,  $O(m+n)$
-\:DFS na $G^R$ $\rightarrow$ $out(v)$,  $O(m+n)$
-\:$T$ bude uspoøádání vrcholù podle klesajících $out(v)$,  $O(n)$
-\:$\forall v \in V(G)$ v poøadí podle $T$,  $O(m+n)$
+\:Sestrojíme $G^R$ \quad $\O(m+n)$
+\:DFS na $G^R \rightarrow \<out(v)>$ \quad $\O(m+n)$
+\:$T$ bude uspoøádání vrcholù podle klesajících $\<out(v)>$ \quad $\O(n)$
+\:$\forall v \in V(G)$ v poøadí podle $T$ \quad $\O(m+n)$
 \:pokud $v$ je¹tì nepatøí do ¾ádné komponenty, tak
-\::spustím DFS z $v$ a dosa¾ené vrcholy prohlásím za dal¹í SSK,  $O(m+n)$
+\::spustím DFS z $v$ a dosa¾ené vrcholy prohlásím za dal¹í SSK \quad $\O(m+n)$
 \endalgo
 
-\s{Vìta:} Ka¾dý orientovaný graf lze rozlo¾it na SSK v èase $O(m+n)$
+\s{Vìta:} Ka¾dý orientovaný graf lze rozlo¾it na SSK v èase $\O(m+n)$
 
 \proof
 Pozorovani 3*:
 \itemize\ibull
-\:1. DFS vstoupí nedøíve do $C_1$: Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1$ $\Rightarrow$ $out(C_1)>out(C_2)$. 
-\:2. nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1$ $\Rightarrow$ $out(C_1)>out(C_2)$.
+\:1. DFS vstoupí nedøíve do $C_1$ : Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$. 
+\:2. nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
 \endlist
 
 \bye