Na~této pøedná¹ce budeme studovat problém hledání nejkrat¹ích cest
v~orientovaných grafech ohodnocených reálnými èísly.
-\s{Situace:} Máme orientovaný graf~$G$ a funkci $l : E(G) \rightarrow {\bb R}$
+\s{Situace:} Máme orientovaný graf~$G$ a funkci $\ell : E(G) \rightarrow {\bb R}$
pøiøazující hranám jejich ohodnocení (délky). Pro vrcholy $u,v\in V(G)$ budeme
chtít spoèítat jejich vzdálenost $d(u,v)$, co¾ bude délka nejkrat¹í cesty z~$u$
do~$v$ nebo $\infty$, pokud ¾ádná cesta neexistuje.
-Aby se vzdálenosti chovaly \uv{rozumnì} tedy co nejvíce jako metrika. Orientovanost
+Chceme, aby se vzdálenosti chovaly \uv{rozumnì}, tedy co nejvíce jako metrika. Orientovanost
grafù nám kazí symetriènost -- nemusí nutnì platit $d(x, y)=d(y, x)$. Budeme aspoò chtít,
aby platily následující vlastnosti:
V~grafu bez záporných cyklù existuje ke~ka¾dému nejkrat¹ímu sledu z~$u$ do~$v$ stejnì dlouhá $uv$-cesta.
\proof Máme-li nejkrat¹í $uv$-sled, který není cestou, opakuje se v~nìm nìjaký vrchol
-$w \in V(G)$. Délka cyklu $\ell(c) \geq 0 \Rightarrow \ell(u\dots v\dots w) \leq \ell(\hbox{pùvodní
-sled})$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu, tedy
-platí trojúhelníková nerovnost. \qed
+$w \in V(G)$ tedy $uv$-sled je $(u\dots w \dots w \dots v)$. Délka cyklu $c=(w\dots
+w)$ je $\ell(c) \geq 0$ tedy platí $\ell(u\dots w\dots v) \leq \ell(\hbox{pùvodní
+sled})$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu. Z
+toho plyne trojúhelníková nerovnost. \qed
\s{Jednoduché pøípady}
\itemize\ibull
-\:Pokud $l$ je konstantní funkce, pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost bude $\Theta(m+n)$.
-\:Délky hran jsou malá pøirozená èísla $\ell(x, y) \in\{1, \dots, L\}$ podrozdìlíme hrany
+\:Pokud $\ell$ je konstantní funkce, pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost bude $\Theta(m+n)$.
+\:Délky hran jsou malá pøirozená èísla -- $\ell(x, y) \in\{1, \dots, L\}$: Podrozdìlíme hrany
a pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost $\Theta(Lm+n)$.
-\:DAG (orientovaný acyklický graf) indukcí pøes topologické uspoøádání v èase
-$\Theta(m+n)$.
+\:V DAG (orientovaném acyklickém grafu) najdeme nejkrat¹í cestu
+indukcí pøes topologické uspoøádání v èase $\Theta(m+n)$.
\endlist
+\s{Obecný algoritmus}
+
\s{Definice:} $D_k(v):=$ minimální délka ze v¹ech sledù z $v_0$ do $v$ o právì $k$ hranách.
$D_0(v)=0$ pokud $v=v_0$, jinak $D_0(v)=\infty$.
-$d(v_0, v)=\min D_k(v)$ kde $1 \leq k \leq n-1$.
-Kdy¾ známe $D_0 \dots D_{k-1}$ spoèteme $D_k=\min D_{k-1}(u)+\ell(u, v)$ pro taková $u$
-¾e $(u, v)\in E(G)$.
+$d(v_0, v)=\min D_k(v)$ kde $1 \leq k \leq n-1$.
+
+Jak spoèítat $D_k$ kdy¾ u¾ známe $D_0\dots D_{k-1}$? Zøejmnì $$D_k=\min
+\{D_{k-1}(u)+\ell(u, v)\}$$ pro taková $u$ ¾e $(u, v)\in E(G)$. Z tohoto mù¾eme udìlat
+jednoduchý algoritmus: postupnì pro v¹echna $k=0\dots n-1$ zjistíme v¹echna $D_k(z)$
+pro v¹echny vrcholy $z\in V(G)$. Délka nejkrat¹í cesty z $v_0$ do $v$ je $\min D_k(v)$
+kde $1 \leq k \leq n-1$.
-Naivní implementace pobì¾í $n(\sum_v {\rm deg}^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
+Naivní implementace pobì¾í $n^2(\sum_v {\rm deg}^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
konec $n$ za izolované vrcholy), upravíme $\sum_v {\rm deg}^+(v)=m$. Bohu¾el
spotøebujeme $\Theta(n^2)$ pamìti.
-Nevýhodou této implementace je pøistupování k hranám pozpátku.
+Nevýhodou této implementace je pøistupování k hranám pozpátku. Pojïme zkusit nepatrnì
+odli¹ný pøístup.
\s{Bellmanùv-Fordùv algoritmus}
\algo
-\:$D(*) \leftarrow \infty, D(s) \leftarrow 0$
+\:$D(*) \leftarrow \infty, D(v_0) \leftarrow 0$
\:Pro $k=1, \dots, n-1$:
-\::$D_k(*) \leftarrow \infty$
\::Pro $\forall v\in V(G)$:
-\:::Pro $\forall w (v, w)\in E(G)$:
-\::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D_{k-1}(v)+\ell(v, w))$
+\:::Pro $\forall w$ takové ¾e $(v, w)\in E(G)$:
+\::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D(v)+\ell(v, w))$
\endalgo
-Pokud by i v $n$-tém kroku nìco vykonal, graf obsahuje záporný cyklus.
+Pokud by algoritmus i v $n$-tém kroku nìco zmìnil, graf obsahuje záporný cyklus.
-\s{Vìta:} Bellmanùv--Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
-pro $\forall v\in V(G)$.
+\s{Vìta:} Bellmanùv -- Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
+z $v_0$ do v¹ech $v\in V(G)$.
\proof
Invarianty:
\itemize\ibull
-\:Koneèné $D(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0 \rightarrow w$
-\:Na konci $k$-tého prùchodu vnìj¹m cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0
-\rightarrow v$ o ménì ne¾ $k$ hranách z toho plyne ¾e na konci $D(w)\leq d(v_0, v)$
-
-Nech» nejkrat¹í sled $v_0\rightarrow w$ o ménì ne¾ $k$ hranách konèí hranou $(v, w)$,
-zastavme algoritmus v okam¾iku kdy v $k$-tém prùchodu zpravovává hranu $(v, w)$ tehdy
-$D(w)\leq D(v)+\ell(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovný
-minimální délce sledu $v_0\rightarrow v$ o $\leq k$ hránách.
+\:Koneèné $D(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0 \rightarrow v $.
\endlist
+
+Pro vrchol $v_0$ urèitì existuje sled nulové délky z $v_0$ do $v_0$.
+
+Jak se z pùvodního nekoneèného $D(v)$ mohlo stát koneèné? Na¹li jsme takovou hranu,
+která vedla z vrcholu $w$ s koneèným $D(w)$ do vrcholu $v$. Tedy do $v$ existuje sled.
+
+Pokud sní¾ím $D(v)$, znamená to, ¾e jsem do vrcholu $v$ na¹el krat¹í sled.
+
+\itemize\ibull
+\:Na konci $k$-tého prùchodu vnìj¹m cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0$
+do $v$ o nejvý¹e $k$ hranách. Z èeho¾ plyne ¾e na konci je $D(w)\leq d(v_0, v)$.
+\endlist
+
+Nech» nejkrat¹í sled $v_0\rightarrow w$ o nejvý¹e $k$ hranách konèí hranou $(v, w)$.
+Zastavme algoritmus v okam¾iku, kdy v $k$-tém prùchodu zpracovává hranu $(v, w)$ tehdy
+$D(w)\leq D(v)+\ell(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovno
+minimální délce sledu z $v_0$ do $v$ o nejvý¹e $k$ hránách.
\qed
-\s{\uv{Prùzkumnický algoritmus}}
-Stav: $D(v)$ je délka zatím nejkrat¹í nalezené cesty do vrcholu $v$, $S(v)$ stav
-vrcholu ($N$ nevidìn -- vrchol jsme je¹tì nepotkali, $O$ otevøen -- od posledního prozkoumání
-se $D(v)$ zmìnilo, $Z$ zavøen -- není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo). $P(v)$ je
-pøedchùdce $v$.
+V Bellman -- Fordovì algoritmu jsme v podstatì zlep¹ovali odhady na nejkrat¹í cestu.
+Pojïme vymyslet algoritmus zalo¾ený na podobné my¹lence.
+
+\s{\uv{Prùzkumnický algoritmus}} Pro ka¾dý vrchol budeme udr¾ovat jeho ohodnocení
+(doèasnou vzdálenost) $D(v)$ a stav vrcholu $S(v)$. Stav mù¾e být buï $N$ nevidìn --
+vrchol jsme je¹tì nepotkali, $O$ otevøen -- od posledního prozkoumání se $D(v)$
+zmìnilo nebo $Z$ zavøen -- není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo. Abychom
+mohli nejkrat¹í cestu na konci bìhu také zrekonstruovat, budeme si je¹tì udr¾ovat $P(v)$
+pøedchùdce vrcholu $v$.
\algo
\:$D(*)\leftarrow \infty, D(v_0)=0, S(*)\leftarrow N, S(v_0)\leftarrow O,
\::::$S(v)\leftarrow O$
\endalgo
-\s{Invariant} $D(v)$ neroste a odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$.
+\s{Invariant:} $D(v)$ neroste a odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$.
-\s{Lemma} Algoritmus se zastaví pøi jakémkoliv poøadí zavíraných vrcholù. Èas pøi
+$D(v)$ volíme jako minimum z $D(v)$ a $D(u)+\ell(u, v)$, proto nikdy nemù¾e vzrùst.
+
+Dùkaz toho, ¾e $D(v)$ odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$ je stejný jako u
+Bellman -- Fordova algoritmu.
+
+\s{Lemma:} Algoritmus se zastaví pøi jakémkoliv poøadí zavíraných vrcholù. Èas pøi
nevhodném zavírání mù¾e být a¾ exponenciální.
-\>Toto lemma bude zanecháno bez dùkazu.
+\>Toto lemma bude zanecháno bez dùkazu, nebo» ho nebudeme potøebovat pro dùkaz
+správnosti algoritmù, které od \uv{prùzkumnického algoritmu} odvodíme.
-\s{Lemma} Pokud se zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a $S(v)=Z$ pak platí
-$D(v)=d(v_0, v)$.
+\s{Lemma:} Pokud se algoritmus zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a
+kdykoliv $S(v)=Z$, platí $D(v)=d(v_0, v)$.
-\proof
-Nech» cesta z $v_0$ do $v$ je nejmen¹í protipøíklad, pak musí existovat vrchol $u$,
-pro který neplatí $S(u)=Z$. Co¾ je spor, proto¾e takový vrchol musel ná¹ algoritmus
-projít.
+\proof Nech» cesta z $v_0$ do $v$ je co do poètu hran nejmen¹í protipøíklad, pak musí
+existovat vrchol $u$, pro který neplatí $S(u)=Z$. Co¾ je spor, proto¾e takový vrchol
+musel ná¹ algoritmus projít.
Vezmìme minimání protipøíklad co do poètu hran. Nech» $v$ je nejbli¾¹í vrchol takový
¾e $D(v)\neq d(v_0, v)$, tudí¾ musí být vìt¹í (odpovídá délce nìjakého sledu). $u:=$
abstrahovat i operace s daty? Napøed si urèíme, co s na¹imi daty budeme provádìt a pak
vymyslíme jejich co nejrychlej¹í reprezentaci.
-Mù¾eme tøeba chtít udr¾ovat koneènou mno¾inu $X$ prvkù z nìjakého universa $X\subseteq
+Mù¾eme tøeba chtít udr¾ovat koneènou {\it mno¾inu} $X$ prvkù z nìjakého universa $X\subseteq
U$. Kde universum mohou být napøíklad pøirozená èísla, tedy universum mù¾e být
-nekoneèné narozdíl od $X$.
+nekoneèné na rozdíl od $X$.
Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace:
\itemize\ibull
\:{\it Find} -- najít polo¾ku
\endlist
-Jak mìøit èasovou slo¾itost? Urèitì nechceme mìøit vùèi délce vstupu, proto¾e ho
-nemusíme mít celý najednou ve struktuøe. Èasovou slo¾itost jednotlivých operací
-poèítejme vzhledem k poètu prvkù obsa¾ených v datové struktuøe.
+Jak mìøit èasovou slo¾itost? Urèitì ji nechceme mìøit vùèi délce vstupu, proto¾e ho
+nemusíme mít celý najednou ve struktuøe. Èasovou slo¾itost jednotlivých operací tedy
+poèítejme vzhledem k poètu prvkù obsa¾ených v datové struktuøe v daný okam¾ik.
-Také mù¾eme chtít udr¾ovat slovník, tedy mno¾inu dvojic $(k, v)$ kde $k\in U$ se
-nazývá klíè a $v$ hodnota. Dále pøedpokládejme, ¾e $U$ je lineárnì uspoøádaná a s prvky
-pracujeme v konstantním èase.
+Také mù¾eme chtít udr¾ovat {\it slovník}, tedy mno¾inu dvojic $(k, v)$ kde $k\in U$ se
+nazývá klíè a $v$ hodnota. Dále pøedpokládejme, ¾e $U$ je lineárnì uspoøádaná a
+s~klíèi i hodnotami pracujeme v konstantním èase.
Dále budeme zkoumat jen slovník, proto¾e mno¾ina je jen jeho speciálním pøípadem.
Po slovníku budeme chtít:
\itemize\ibull
-\:{\it Insert($k$, $v$)} -- vlo¾it novou hodnotu spolu s klíèem
+\:{\it Insert($k$, $v$)} -- vlo¾it novou hodnotu spolu s klíèem (pøedpokládajíce, ¾e ve
+struktuøe dosud tento klíè není pøítomen)
\:{\it Delete($k$)} -- smazat polo¾ku podle klíèe
\:{\it Find($k$)} -- najít polo¾ku podle klíèe
\endlist
-V následující tabulce jsou nìkteré mo¾né zpùsoby reprezentace na¹í datové struktury.
+V následující tabulce jsou nìkteré mo¾né zpùsoby reprezentace na¹í datové struktury:
\settabs 4 \columns
-\+ & Insert & Delete & Find \cr
+\+ & \<Insert> & \<Delete> & \<Find> \cr
\+ pole & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ setøídìné pole & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
\+ spojový seznam & $\Theta (1)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ setøídìný seznam & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ vyhledávací stromy & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
+\smallskip
+
\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat
binárním vyhledávacím stromem.
Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být
$\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam.
Takovéto degenerované stromy vzniknou snadno, napøíklad pøidáváním setøídìné
-posloupnosti. Naopak kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný dostaneme slo¾itost
+posloupnosti. Naopak kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný, dostaneme slo¾itost
$\Theta(\log{n})$. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu.
Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se
tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval \dots
setøídìného pole (tedy medián posloupnosti) a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak
vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole. Celá konstrukce tedy trvá $\O(n)$.
-\s{Lemma:} buï {\it Insert} nebo {\it Delete} v dokonale vyvá¾eném BVS trvají $\Omega(n)$ (ve
-skuteènosti oba, ale dùkaz je mnohem obtí¾nìj¹í).
+\s{Lemma:} Buï {\it Insert} nebo {\it Delete} v dokonale vyvá¾eném BVS trvá $\Omega(n)$ (ve
+skuteènosti oba, ale dùkaz je o trochu obtí¾nìj¹í).
-\proof Nech» $n=2^k-1$. Pak má dokonale vyvá¾ený BVS urèený tvar a je jednoznaèné, co
-je v koøeni. Nech» nejmen¹í èíslo ve stromì je $x$ a nejvìt¹í je $x+n-1$.
+\proof Nech» $n=2^k-1$. Pak má dokonale vyvá¾ený BVS urèený tvar a je jednoznaèné,
+která hodnota je ve kterém vrcholu. Nech» nejmen¹í èíslo ve stromì je $x$ a nejvìt¹í je $x+n-1$.
Proveïme posloupnost operací $$\<Insert>(x+n), \<Delete>(x), \<Insert>(x+n+1),
-\<Delete>(x+1)
-\dots$$ v¾dy se aspoò polovina listù posune o patro vý¹. Víme ¾e listù v na¹em stromì
+\<Delete>(x+1) \dots$$
+za ka¾dou dvojici operací se aspoò polovina listù posune o patro vý¹. Víme ¾e listù v na¹em stromì
je $(n+1)/2$. Tedy aspoò jedna z operací {\it Insert} nebo {\it Delete} trvá $\Omega (n)$.
Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal
\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $.
-\proof Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromù hloubky $k$.
+\proof Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromu hloubky $k$.
Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì.
Jak bude vypadat minimální AVL strom o $k$ hladinách? S poètem hladin urèitì poroste
poèet vrcholù, proto pro ka¾dý vrchol budeme chtít, aby se hloubky jeho synù li¹ily.
-Tedy koøen bude mít syna hloubky $k-1$ a syna hloubky $k-2$, takové ¾e jeho synové
+Tedy koøen bude mít syna hloubky $k-1$ a syna hloubky $k-2$, takové, ¾e jeho synové
jsou minimální AVL stromy o daném poètu hladin.
Podívejme se na minimální AVL stromy:
Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2
podstromy o~hloubkách $k - 1$ a $k - 2$.
-Vidíme tedy, ¾e $A_n = F_{n + 2} - 1$. (Mù¾eme dokázat napø. indukcí.) Teï nám ji¾
-staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste aspoò exponenciálnì.
+Indukcí bychom snadno dokázali, ¾e $A_n=F_{n+2}-1$ (kde $F_n$ je $n$-té Fibonacciho
+èíslo). My se v¹ak bez analýzy Fibonacciho posloupnosti obejdeme, proto¾e nám staèí
+dokázat, ¾e $A_k$ rostou exponenciálnì a nepotøebujeme pøesný vzorec pro hodnotu
+$A_k$.
Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $. První indukèní krok jsme si u¾
ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí: $ A_k = 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2} > 2^{{k - 1}
projects / ads1.git / commitdiff