\h{Problém batohu s~malými èísly}
-Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$
-a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, který unese hmostnost~$H$. Najdìte takovou
-podmno¾inu pøedmìtù, jejich¾ celková hmotnost je maximálnì $H$ a celková cena
-je maximální mo¾ná.
-
-Tento problém je zobecnìním problému batohu z~minulé pøedná¹ky dvìma smìry:
-Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
-mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
-Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
-slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
-c_i$.
+Pøipomeòme si problém batohu. Jeho optimalizaèní verze vypadá takto:
+Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$ a cenami $c_1,\ldots,c_n$
+a nosnost batohu~$H$. Hledáme podmno¾inu pøedmìtù~$P \subseteq \{1,\ldots,n\}$,
+která se vejde do batohu (tedy $h(P)=\sum_{i\in P} h_i \le H$) a její cena
+$c(P) = \sum_{i\in P} c_i$ je nejvìt¹í mo¾ná.
+
+Uká¾eme algoritmus, jeho¾ èasová slo¾itost bude polynomiální v~poètu
+pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen $C=\sum_i c_i$.
Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
-pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost
-podmno¾iny, její¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$:
-Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
+pøedmìtù. Oznaème $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimum z~hmotností tìch podmno¾in
+jejich¾ cena je právì~$c$; pokud ¾ádná taková podmno¾ina neexistuje, polo¾íme $A_k(c)=\infty$.
+
+Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$: Pro $k=0$ je
+urèitì $A_0(0)=0$ a $A_0(c)=\infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
$A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
-mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
+mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností:
$$
A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
$$
-Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
-v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.
+Pøechod od $A_{k-1}$ k~$A_k$ tedy trvá $\O(C)$, pro v¹echna~$k$ pak $\O(Cn)$.
-Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
-To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) \le H$. Jeho nalezení nás stojí
-èas $\O(C)$.
+Jakmile spoèteme~$A_n$, známe pro ka¾dou cenu nejlehèí podmno¾inu s~touto cenou.
+Maximální cena mno¾iny, která se vejde do batohu, je tedy nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾
+je $A_n(c^*) \le H$. Jeho nalezení nás stojí èas $\O(C)$.
-A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
+Zbývá zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí. Upravíme algoritmus,
aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu,
který jsme do~pøíslu¹né mno¾iny pøidali. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$
poslední pøedmìt v~nalezené mno¾inì, $i'=B_{i-1}(c^*-c_i)$ ten pøedposlední
a tak dále. Takto v~èase $\O(n)$ rekonstruujeme celou mno¾inu od~posledního
prvku k~prvnímu.
-Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
-problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
-být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
-èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
-algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
-cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).
-
-\s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
-i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
-$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
-nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
-spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
-výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
-v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
-a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
-mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.
+Máme tedy algoritmus, který vyøe¹í problém batohu v~èase $\O(nC)$. Tato funkce
+ov¹em není polynomem ve~velikosti vstupu, jeliko¾ reprezentujeme-li vstup binárnì,
+$C$~mù¾e být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti jeho zápisu. To je pìkný
+pøíklad tzv. {\I pseudopolynomiálního} algoritmu, tedy algoritmu, jeho¾ slo¾itost
+je polynomem v~poètu èísel na vstupu a jejich velikosti. Pro nìkteré \NP-úplné
+problémy takové algoritmy existují, pro jiné (napø. pro nezávislou mno¾inu) nikoliv.
+
+\s{Verze bez cen:} Jednodu¹¹í verzi problému batohu, která nerozli¹uje mezi
+hmotnostmi a cenami, zvládneme i jiným algoritmem, opìt zalo¾eným na dynamickém
+programování.
+
+Indukcí podle~$k$ vytváøíme mno¾iny~$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti
+men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Jistì je $Z_0=\{0\}$.
+Podobnou úvahou jako v~pøedchozím algoritmu dostaneme, ¾e ka¾dou dal¹í~$Z_k$ mù¾eme
+zapsat jako sjednocení $Z_{k-1}$ s~kopií $Z_{k-1}$ posunutou o~$h_k$, pøièem¾ hodnoty
+vìt¹í ne¾~$H$ zahodíme. Nakonec ze~$Z_n$ vyèteme výsledek.
+
+V¹echny mno¾iny pøitom mají nejvý¹e~$H+1$ prvkù, tak¾e pokud si je budeme udr¾ovat
+jako setøídìné seznamy, spoèítáme sjednocení sléváním v~èase $\O(H)$ a celý algoritmus
+dobìhne v~èase $\O(Hn)$.
\h{Aproximace problému obchodního cestujícího}
projects / ads2.git / commitdiff