\prednaska{1}{Hradlové sítì}{(zapsali Jirka Fajfr a Ján Èerný)}
+\def\land{\mathbin{\&}}
+
Na této pøedná¹ce se budeme zabývat jednoduchým modelem paralelního poèítaèe,
toti¾ hradlovou sítí, a uká¾eme si alespoò jeden efektivní paralelní algoritmus,
konkrétnì sèítání dvojkových èísel v~logaritmickém èase vzhledem k~jejich délce.
\h{Hradlové sítì}
-\s{Definice:} {\I Hradlo} je element, který poèítá nìjakou pevnì danou funkci
+\s{Definice:} {\I Hradlo} je zaøízení, které poèítá nìjakou pevnì danou funkci
s~$k$ vstupy a jedním výstupem.
\s{Pøíklad:} Obvykle pracujeme s~booleovskými hradly, ta pak odpovídají funkcím
\itemize\ibull
\:0-vstupové: to jsou konstanty {\sc true} a {\sc false},
\:1-vstupové: identita (ta je vcelku k~nièemu) a negace (znaèíme~$\lnot$),
-\:2-vstupuvé: logický souèin ({\sc and},~\&) a souèet ({\sc or},~$\lor$).
+\:2-vstupové: logický souèin ({\sc and},~$\land$) a souèet ({\sc or},~$\lor$).
\endlist
\>Hradla kreslíme tøeba následovnì:
-\figure{1_1_hradlo.eps}{Hradlo provádìjící logickou operaci {\sc AND} se dvìma vstupy}{4cm}
+\figure{1_1_hradlo.eps}{Hradlo provádìjící logickou operaci {\sc and} se dvìma vstupy}{4cm}
Z~jednotlivých hradel pak vytváøíme hradlové sítì. Pokud pou¾íváme pouze booleovská
hradla, øíkáme takovým sítím {\I booleovské obvody,} pokud operace nad nìjakou obecnìj¹í
\itemize\ibull
\:$\forall i \in I: \deg^{+}(i)=0$ (do~vstupù nic nevede);
-\:$\forall o \in O: \deg^{+}(o)=1 \mathbin{\&} \deg^{-}(o)=0$ (z~výstupù nic nevede a do~ka¾dého vede právì jedna hrana);
+\:$\forall o \in O: \deg^{+}(o)=1 \land \deg^{-}(o)=0$ (z~výstupù nic nevede a do~ka¾dého vede právì jedna hrana);
\:$\forall h \in H: \deg^{+}(v)=a(v)$ (do~ka¾dého hradla vede tolik hran, kolik je jeho arita);
\:$\forall h \in H, 1\le j\le a(h)$ existuje právì jeden vrchol~$v$ takový, ¾e $z(vh)=j$
(v¹echny vstupy hradel jsou zapojeny).
\twofigures{1_2_vice_vstupove_hradlo.eps}{Trojvstupové hradlo \sc and}{3cm}{1_3_vice_vstupove_hradlo.eps}{Jeho nahrazení 2-vstupovými hradly}{3cm}
-\s{Definice:} {\I Výpoèet sítì} probíhá v taktech. V nultém taktu jsou definovány právì hodnoty
-vstupních portù. V~$i$-tém taktu vydají výsledek hradla, která jsou pøipojena na~porty
-nebo hradla, jejich¾ hodnota byla definována v~$(i-1)$-ním taktu. A¾ po~nìjakém koneèném
-poètu taktù budou definované i hodnoty výstupních portù, sí» se zastaví a vydá výsledek.
+\s{Definice:} {\I Výpoèet sítì} probíhá v~{\I taktech.} V nultém taktu jsou definovány právì hodnoty
+vstupních portù. V~$i$-tém taktu vydají výsledek hradla, která jsou pøipojena
+na~porty nebo na~výstupy hradel, jejich¾ hodnota byla definována v~$(i-1)$-ním
+taktu. A¾ po~nìjakém koneèném poètu taktù budou definované i hodnoty výstupních
+portù, sí» se zastaví a vydá výsledek.
\figure{1_7_vypocet_site.eps}{Výpoèet hradlové sítì}{6cm}
\>Podle toho, jak sí» poèítá, si ji mù¾eme rozdìlit na~vrstvy:
\s{Definice:} {\I $i$-tá vrstva} obsahuje v¹echny vrcholy~$v$ takové, ¾e
-nejdel¹í cesta z~nìkterého z~portù sítì do~$v$ má délku právì~$i$. To jsou
+nejdel¹í z~cest z~portù sítì do~$v$ má délku právì~$i$. To jsou
pøesnì vrcholy, které vydají výsledek poprvé v~$i$-tém taktu výpoètu.
Dává tedy smysl prohlásit za~{\I èasovou slo¾itost} sítì poèet jejích
vrstev. Podobnì {\I prostorovou slo¾itost} definujeme jako poèet hradel
\figure{1_5_hloupy_or.eps}{Hradlová sí», která zjistí zda-li je na vstupu alespoò jedna jednièka}{7cm}
\>{\I Druhé øe¹ení:} Budeme vrcholy spojovat do~dvojic, pak výsledky z~tìchto
-dvojic opìt do~dvojic a tak dále. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\log_2 n$,
+dvojic opìt do~dvojic a tak dále. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\Theta(\log n)$,
prostorová slo¾itost zùstane lineární.
\figure{1_4_chytry_or.eps}{Chytøej¹í øe¹ení stejného problému}{8cm}
-\h{Sèítání dvou binárních èísel}
-
-Mìjme dvì èísla zapsané ve~dvojkové soustavì jako $x_{n-1}\ldots x_1x_0$ a $y_{n-1}\ldots y_1y_0$.
-Budeme chtít spoèítat jejich souèet $z_nz_{n-1}\ldots z_1z_0$.
-
-\h{Algoritmus základní ¹koly}
-Pøenosy oznaèíme $c_0$ a¾ $c_{n-1}$ v krocích poèítání, dodefinujeme $c_{-1}=0$. Algoritmus probíhá zleva od místa s nejni¾¹í vahou, viz Obrázek 1.7.
-
-Výsledné èíslo $z_{n}...z_1z_0$ lze tedy vyjádøit pøedpisem: $$z_i=x_i \oplus y_i \oplus c_{i-1},$$ kde $\oplus$ znaèí operaci XOR. Pøenos nastane, pokud jsou alespoò dvì èísla jednièky, tedy
-$$c_i=(x_i \land y_i)\lor((x_i \lor y_i) \land c_{i-1})$$.
-\figure{1_6_hloupe_scitani.eps}{Obrázek 1.7 -- Sèítání}{8cm}
-Bohu¾el na to abychom spoèítali $z_i$ musíme znát hodnotu $c_{i-1}$, tedy mít spoèítané hodnoty pro v¹echny èísla men¹í ne¾ $i$. To dává lineární èasovou slo¾itost. Zamysleme se nad tím jak by se proces sèítání mohl zrychlit.
-
-\h{Trik -- chování blokù souètu}
-
-\figure{1_7_blok_scitani.eps}{Obrázek 1.8 -- Blok souètu}{8cm}
-\>Blok se mù¾e chovat tøemi rùznými zpùsoby:
-
-\numlist{\ndotted}
-\:V¾dy vydá pøenos 0,
-\:V¾dy vydá pøenos 1,
-\:Kopíruje (pøedá dál).
+\h{Sèítání binárních èísel}
+
+Pojïme se podívat na~zajímavìj¹í problém: Mìjme dvì èísla zapsané ve~dvojkové
+soustavì jako $x_{n-1}\ldots x_1x_0$ a $y_{n-1}\ldots y_1y_0$. Budeme chtít
+spoèítat jejich souèet $z_nz_{n-1}\ldots z_1z_0$.
+
+Samozøejmì mù¾eme pou¾ít algoritmus \uv{sèítání pod sebou}, který nás
+uèili na~základní ¹kole. Formálnì by se dal zapsat tøeba takto:
+$$
+z_i=x_i \oplus y_i \oplus c_{i-1},
+$$
+kde $\oplus$ znaèí operaci {\sc xor} (souèet modulo~2) a $c_{i-1}$ je {\I pøenos} z~$(i-1)$-ního
+øádu do~$i$-tého. Pøenos pøitom nastane tehdy, kdy¾ ze~tøí xorovaných èíslic
+jsou alespoò dvì jednièky:
+$$
+\eqalign{
+c_{-1} &= 0 \cr
+c_i &= (x_i \land y_i)\lor((x_i \lor y_i) \land c_{i-1}).\cr
+}
+$$
+
+\figure{1_6_hloupe_scitani.eps}{Sèítání ze~základní ¹koly}{8cm}
+
+Bohu¾el na to, abychom spoèítali $c_i$ (a~tedy~$z_i$), musíme znát hodnotu $c_{i-1}$, tedy mít
+spoèítané hodnoty pro v¹echny èísla men¹í ne¾ $i$. To dává lineární èasovou
+slo¾itost. Zamysleme se nad tím, jak by se proces sèítání mohl zrychlit.
+
+\h{Pøenosy v~blocích}
+
+Jediné, co nás pøi sèítání brzdí, jsou pøenosy. Kdybychom je dokázali spoèítat rychle
+(øeknìme v~logaritmické hloubce), souèet u¾ zvládneme dopoèítat v~konstantním èase.
+
+Podívejme se na~libovolný {\I blok} v~na¹em souètu. Tak budeme øíkat èíslùm
+$x_a\ldots x_b$ a $y_a\ldots y_b$ v~nìjakém intervalu indexù $\left<a,b\right>$.
+Pøenos $c_b$ vystupující z~tohoto bloku závisí mimo hodnot sèítancù u¾ pouze
+na~pøenosu $c_{a-1}$, který do bloku vstupuje. Záviset mù¾e pouze tøemi
+mo¾nými zpùsoby:
+
+\numlist\ndotted
+\:generuje pøenos: $c_a=1$,
+\:pohlcuje pøenos: $c_a=0$,
+\:kopíruje pøenos: $c_a=c_{b-1}$.
\endlist
-\h{Rozdìlení a skládání blokù}
-\>Blok B lze rozdìlit na dva bloky p, q (pokud B není trivální).
-\figure{1_10_konvence_deleni_bloku.eps}{Obrázek 1.9 -- Dìlení blokù}{3cm}
+\figure{1_7_blok_scitani.eps}{Blok souètu}{8cm}
+\s{Cvièení:} Rozmyslete si, jak pøesnì vypadají bloky s~jednotlivými typy chování.
-\h{Triviální bity}
-\figure{1_11_tabulka_kodovani.eps}{Obrázek 1.10 -- Tabulka triviálních bitù}{3cm}
+Jednobitové bloky se chovají velice jednodu¹e:
-\s{Tvrzení:} Ka¾dý blok mohu postavit z~triviálních bitù.
+\figure{1_11_tabulka_kodovani.eps}{Tabulka triviálních bitù}{3cm}
-\proof
-Dùkaz indukcí z asociativity.
+Pokud máme nìjaký vìt¹í blok~$B$ slo¾ený z~men¹ích blokù $p$ a~$q$, jejich¾
+chování u¾ známe, mù¾eme z~toho odvodit, jak se chová velký blok:
+\figure{1_10_konvence_deleni_bloku.eps}{Skládání chování blokù}{3cm}
+V¹imòìme si, ¾e skládání chování blokù je asociativní operace (je to vlastnì
+úplnì obyèejné skládání funkcí), tak¾e pro libovolný blok mù¾eme jeho
+chování spoèítat v~èase $\O(\log n)$ postupným skládáním (\uv{stromeèkovým}
+zpùsobem).
-\h{Kódování typù chování blokù}
-%\>{\I Sem tabulku prosím :)}
+To nám dá nìjaký kombinaèní obvod nad trojprvkovou abecedou, ale samozøejmì
+mù¾eme chování blokù kódovat i binárnì dvojicí bitù:
-\>Definujeme $(a,x)$:
\itemize\ibull
\:$(1,*) = <$,
\:$(0,0) = 0$,
\:$(0,1) = 1$
\endlist
-\>a operaci skládání blokù $\sigma$ pro kterou platí:
-
-$(a,x) \sigma (b,y) = (c,z)$,
-
-\>kde
-
-$c = a \land b$,
-
-$z = (\neg a \land x) \lor (a \land y)$.
-
-
-
-\h{Lep¹í algoritmus sèítání}
-V na¹em pùvodním algoritmu ze základní ¹koly jsme mìli $\O(n)$ hradel v~$\O(n)$ hladinách. Algoritmus tedy nebyl paralelní a trval èas $\O(n)$.
-
-\figure{1_9_deleni_bloku.eps}{Obrázek 1.11 -- Výpoèet pøenosu}{8cm}
-Víme pro ka¾dý blok velikosti $2^k$ na pozici dìlitelné $2^k$ jeho chování.
-Teï, kdy¾ u¾ známe v¹echny zbytky $c_0$ a¾ $c_n$, mù¾eme u¾ jednodu¹e v konstantním èase spoèítat výsledek.
-
-
+\>Operaci skládání $(a,x) \odot (b,y) = (c,z)$ pak definujeme takto:
+$$
+\eqalign{
+c &= a \land b,\cr
+z &= (\neg a \land x) \lor (a \land y).\cr
+}
+$$
+
+\h{Paralelní sèítání}
+
+\>Paralelní algoritmus na~sèítání u¾ zkonstruujeme pomìrnì snadno. Bez
+újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e poèet bitù vstupních èísel~$n$
+je mocnina dvojky, jinak si vstup doplníme nulami.
+
+\algo
+\:Spoèteme chování blokù velikosti~1. ($\O(1)$ hladin)
+\:Postupnì poèítáme chování blokù velikosti $2^k$ na~pozicích dìlitelných $2^k$.
+ ($\O(\log n)$ hladin, na~nich¾ se skládají bloky)
+\:$c_{-1} \leftarrow 0$
+\:Urèíme $c_n$ podle $c_{-1}$ a chování (jediného) bloku velikosti~$n$.
+\:Postupnì poèítáme pøenosy na~hranicích dìlitelných $2^k$ \uv{zahu¹»ováním}:
+ jakmile víme $c_{2^k-1}$, mù¾eme dopoèítat $c_{2^k+2^{k-1}-1}$ podle
+ chování bloku $\left< 2^k+2^{k-1}-1,2^k\right>$. ($\O(\log n)$ hladin,
+ na~nich¾ se dosazuje)
+\:$\forall i: z_i = x_i \oplus y_i \oplus c_{i-1}$.
+\endalgo
+
+\figure{1_9_deleni_bloku.eps}{Výpoèet pøenosu}{8cm}
+
+Algoritmus pracuje v~èase $\O(\log n)$. Hradel je dokonce lineárnì:
+na~jednotlivých hladinách kroku~2 poèet hradel exponenciálnì klesá
+od~$n$ k~1, na~hladinách kroku~5 exponenciálnì stoupá od~1 k~$n$, tak¾e se
+seète na~$\O(n)$.
\bye
projects / ads2.git / commitdiff