\input lecnotes.tex
-\prednaska{7}{Geometrické algoritmy}{}
+\prednaska{6}{Geometrické algoritmy}{}
\>Uká¾eme si nìkolik základních algoritmù na øe¹ení geometrických problémù v~rovinì. Proè zrovna v~rovinì? Inu, jednorozmìrné problémy bývají triviální
a naopak pro vy¹¹í dimenze jsou velice komplikované. Rovina je proto rozumným kompromisem mezi obtí¾ností a zajímavostí.
\figure{7-geom5_rybi_motivace.eps}{Problém ledních mìdvìdù: Jaký je nejmen¹í obvod sítì?}{3in}
-Neboli v~øeèi matematické, chceme pro zadanou mno¾inu bodù v~rovinì nalézt její konvexní obal. Co je to konvexní obal? Mno¾ina bodù je {\I konvexní},
-pokud pro ka¾dé dva body obsahuje i celou úseèku mezi nimi. {\I Konvexní obal} je nejmen¹í konvexní podmno¾ina roviny, která obsahuje v¹echny zadané
-body.\foot{Pamatujete si na lineární obaly ve vektorových prostorech? Lineární obal mno¾iny vektorù je nejmen¹í vektorový podprostor, který tyto
-vektory obsahuje. Není náhoda, ¾e tato definice pøipomíná definici konvexního obalu. Na druhou stranu ka¾dý vektor z~lineárního obalu lze vyjádøit
-jako lineární kombinaci daných vektorù. Podobnì platí i pro konvexní obaly, ¾e ka¾dý bod z~obalu je konvexní kombinací daných bodù. Ta se li¹í od
-lineární v~tom, ¾e v¹echny koeficienty jsou v~intervalu $[0,1]$ a navíc souèet v¹ech koeficientù je $1$. Tento algebraický pohled mù¾e mnohé vìci
-zjednodu¹it. Zkuste si dokázat, ¾e obì definice konvexního obalu jsou ekvivalentní.} Z~algoritmického hlediska nás v¹ak bude zajímat jenom jeho
-hranice, kterou budeme dále oznaèovat jako konvexní obal.
-
-Na¹ím úkolem je nalézt konvexní obal koneèné mno¾iny bodù. To je v¾dy konvexní mnohoúhelník, navíc s~vrcholy v~zadaných bodech. Øe¹ením problému tedy
-bude posloupnost bodù, které tvoøí konvexní obal. Pro malé mno¾iny je konvexní obal nakreslen na obrázku, pro více bodù je v¹ak situace mnohem
-slo¾itìj¹í.
+Neboli v~øeèi matematické, chceme pro zadanou mno¾inu bodù v~rovinì nalézt její konvexní obal.
+
+\s{Definice:} O~mno¾inì bodù øekneme, ¾e je {\I konvexní}, pokud pro ka¾dé dva body obsahuje i celou úseèku mezi nimi.
+{\I Konvexní obal} dané mno¾iny bodù~$M$ je nejmen¹í konvexní mno¾ina, která obsahuje v¹echny body mno¾iny~$M$.%
+\foot{Nejmen¹í myslíme vzhledem k~inkluzi, tedy je to prùnik v¹ech konvexních mno¾in
+obsahujících v¹echny body z~$M$.
+\endgraf
+Pamatujete si na lineární obaly ve vektorových prostorech? Lineární obal
+mno¾iny vektorù je nejmen¹í vektorový podprostor, který tyto vektory obsahuje.
+Není náhoda, ¾e tato definice pøipomíná definici konvexního obalu. Na druhou
+stranu ka¾dý vektor z~lineárního obalu lze vyjádøit jako lineární kombinaci
+daných vektorù. Podobnì platí i pro konvexní obaly, ¾e ka¾dý bod z~obalu je
+konvexní kombinací daných bodù. Ta se li¹í od lineární v~tom, ¾e v¹echny
+koeficienty jsou v~intervalu $[0,1]$ a navíc souèet v¹ech koeficientù je $1$.
+Tento algebraický pohled mù¾e mnohé vìci zjednodu¹it. Zkuste dokázat, ¾e obì
+definice konvexního obalu jsou ekvivalentní.}
+
+Snadno si v¹imneme, ¾e konvexní obal koneèné mno¾iny bodù je v¾dy nìjaký
+konvexní mnohoúhelník. Navíc víme, ¾e vrcholy le¾í v~nìkterých ze~zadaných bodù.
+Pro malé poèty bodù to bude vypadat následovnì:
\figure{7-geom1_male_obaly.eps}{Konvexní obaly malých mno¾in.}{3in}
-Pro jednoduchost budeme pøedpokládat, ¾e v¹echny body mají rùzné $x$-ové souøadnice. Tedy utøídìní bodù zleva doprava je urèené jednoznaènì.\foot{To si
-mù¾eme dovolit pøedpokládat, nebo» se v¹emi body staèí nepatrnì pootoèit. Tím konvexní obal urèitì nezmìníme. Av¹ak jednodu¹¹í øe¹ení je naprogramovat
-tøídìní lexikograficky (druhotnì podle souøadnice $y$) a vyøadit identické body.} Tím máme zaji¹tìné, ¾e existují dva body, nejlevìj¹í a
-nejpravìj¹í, pro které platí následující invariant:
-
-\s{Invariant:} Nejlevìj¹í a nejpravìj¹í body jsou v¾dy v~konvexním obalu.
-
-Algoritmus na nalezení konvexního obalu funguje na následujícím jednoduchém principu, kterému se nìkdy øíká {\I zametání roviny}. Procházíme body
-zleva doprava a postupnì roz¹iøujeme doposud nalezený konvexní obal o~dal¹í body. Na zaèátku bude konvexní obal jediného bodu samotný bod. Na konci
-$k$-tého kroku algoritmu známe konvexní obal prvních $k$ bodù. Kdy¾ algoritmus skonèí, známe hledaný konvexní obal. Podle invariantu musíme v~$k$-tém
-kroku pøidat do obalu $k$-tý nejlevìj¹í bod. Zbývá si jen rozmyslet, jak pøesnì tento bod pøidat.
-
-Pøidání dal¹ího bodu do konvexního obalu funguje, jak je naznaèeno na obrázku. Podle invariantu víme, ¾e bod nejvíc vpravo je souèástí konvexního
-obalu. Za nìj napojíme novì pøidávaný bod. Tím jsme získali nìjaký obal, ale zpravidla nebude konvexní. To lze v¹ak snadno napravit, staèí
-odebírat body, v obou smìrech podél konvexního obalu, tak dlouho, dokud nezískáme konvexní obal. Na pøíkladu z obrázku nemusíme po smìru hodinových
-ruèièek odebrat ani jeden bod, obal je v poøádku. Naopak proti smìru hodinových ruèièek musíme odebrat dokonce dva body.
+Na¹ím úkolem tedy bude najít tento mnohoúhelník a vypsat na výstup
+jeho vrcholy v~poøadí, ve~kterém na mnohoúhelníku le¾í (buï po~smìru hodinových
+ruèièek nebo proti nìmu). Pro jednoduchost budeme konvexní obal øíkat pøímo tomuto
+seznamu vrcholù.
+
+Navíc budeme pøedpokládat, ¾e v¹echny body mají rùzné $x$-ové
+souøadnice.\foot{To si mù¾eme dovolit pøedpokládat, nebo» se v¹emi body staèí
+nepatrnì pootoèit. Tím konvexní obal urèitì nezmìníme a $x$-ové souøadnice
+se ji¾ budou li¹it. Poøadí otoèených bodù podle $x$-ové souøadnice pøitom
+odpovídá lexikografickému poøadí (druhotnì podle souøadnice~$y$)
+pùvodních bodù. Tak¾e staèí v~na¹em algoritmu vymìnit tøídìní za~lexikografické
+a bude fungovat obecnì.}
+Tím máme zaji¹tìné, ¾e existují dva body, nejlevìj¹í a nejpravìj¹í, a~ty urèitì
+le¾í na konvexním obalu.
+
+Algoritmus na nalezení konvexního obalu funguje na principu, kterému se
+obvykle øíká {\I zametání roviny}. Procházíme rovinu zleva doprava
+(\uv{zametáme ji pøímkou}) a udr¾ujeme si konvexní obal tìch bodù, které jsme
+u¾ pro¹li.
+
+Na~poèátku máme konvexní obal jednobodové mno¾iny, co¾ je samotný bod.
+Nech» tedy u¾ známe konvexní obal prvních $k-1$ bodù a chceme pøidat $k$-tý bod.
+Ten urèitì na~novém konvexním obalu bude le¾et (je nejpravìj¹í), ale jeho pøidání
+k~minulému obalu mù¾e zpùsobit, ¾e hranice pøestane být konvexní. To ale lze
+snadno napravit -- staèí z~hranice odebírat body po~smìru a proti smìru hodinových ruèièek
+tak dlouho, ne¾ opìt bude konvexní.
+
+Napøíklad na~následujícím obrázku nemusíme po smìru hodinových ruèièek odebrat ani jeden
+bod, obal je v poøádku. Naopak proti smìru ruèièek musíme odebrat dokonce dva body.
\figure{7-geom2_pridani_bodu.eps}{Pøidání bodu do konvexního obalu.}{4.5in}
-Pro pøípadnou implementaci a rozbor slo¾itosti si nyní popí¹eme algoritmus detailnìji. Aby se lépe popisoval, rozdìlíme si konvexní obal na dvì èásti
-spojující nejlevìj¹í a nejpravìj¹í bod obalu. Budeme jim øíkat {\I horní obálka} a {\I dolní obálka}.
+Podle tohoto principu u¾ snadno vytvoøíme algoritmus. Aby se lépe popisoval,
+rozdìlíme konvexní obal na {\I horní obálku} a {\I dolní obálku} -- to jsou
+èásti, které vedou od~nejlevìj¹ího bodu k~nejpravìj¹ímu \uv{horem} a \uv{spodem}.
\figure{7-geom3_obalky.eps}{Horní a dolní obálka konvexního obalu.}{3.4in}
-Obì obálky jsou lomené èáry, navíc horní obálka poøád zatáèí doprava a dolní naopak doleva. Pro udr¾ování bodù v~obálkách staèí dva zásobníky.
-V~$k$-tém kroku algoritmu pøidáme zvlá¹» $k$-tý bod do horní i dolní obálky. Pøidáním $k$-tého bodu se v¹ak mù¾e poru¹it smìr, ve kterém obálka
-zatáèí. Proto budeme nejprve body z~obálky odebírat a $k$-tý bod pøidáme a¾ ve chvíli, kdy jeho pøidání smìr zatáèení neporu¹í.
+Obì obálky jsou lomené èáry, navíc horní obálka poøád zatáèí doprava a dolní
+naopak doleva. Pro udr¾ování bodù v~obálkách staèí dva zásobníky. V~$k$-tém
+kroku algoritmu pøidáme $k$-tý bod zvlá¹» do horní i dolní obálky. Pøidáním
+$k$-tého bodu se v¹ak mù¾e poru¹it smìr, ve kterém obálka zatáèí. Proto budeme
+nejprve body z~obálky odebírat a $k$-tý bod pøidáme a¾ ve chvíli, kdy jeho
+pøidání smìr zatáèení neporu¹í.
\s{Algoritmus:}
dohromady $\O(n)$. Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$, a pokud bychom mìli seznam bodù ji¾ utøídený, doká¾eme to dokonce v
$\O(n)$.
-\s{Algebraický dodatek:} Existuje jednoduchý postup, jak zjistit orientaci úhlu? Uká¾eme si jeden zalo¾ený na lineární algebøe. Budou se hodit
-vlastnosti determinantu. Absolutní hodnota determinantu je objem rovnobì¾nostìnu urèeného øádkovými vektory matice. Dùle¾itìj¹í v¹ak je, ¾e znaménko
-determinantu urèuje \uv{orientaci} vektorù, zda je levotoèivá èi pravotoèivá. Proto¾e ná¹ problém je rovinný, budeme uva¾ovat determinanty matic $2
-\times 2$.
-
-Uva¾me souøadnicový systém v~rovinì, kde $x$-ová souøadnice roste smìrem doprava a~$y$-ová smìrem nahoru. Chceme zjistit orientaci úhlu $h_{k-1} h_k
-b$. Polo¾me $\vec u = (x_1, y_1)$ jako rozdíl souøadnic $h_k$ a~$h_{k-1}$ a podobnì $\vec v = (x_2, y_2)$ je rozdíl souøadnic $b$ a~$h_k$. Matice $M$
-je definována následovnì:
-$$M = \pmatrix{\vec u \cr \vec v} = \pmatrix {x_1&y_1\cr x_2&y_2}.$$
-Úhel $h_{k-1} h_k b$ je orientován doleva, právì kdy¾ $\det M = x_1y_2 - x_2y_1$ je nezáporný,\foot{Neboli vektory $\vec u$ a $\vec v$ odpovídají
-rozta¾ení a zkosení vektorù báze $\vec x = (1,0)$ a $\vec y = (0,1)$, pro nì¾ je determinant nezáporný.} a spoèítat hodnotu determinantu je jednoduché.
-Mo¾né situace jsou nakresleny na obrázku. Poznamenejme, ¾e k~podobnému vzorci se lze také dostat pøes vektorový souèin vektorù $\vec u$ a $\vec v$.
+\s{Algebraický dodatek:} Jak zjistit orientaci úhlu? Uká¾eme si jednoduchý
+zpùsob zalo¾ený na lineární algebøe. Budou se k~tomu hodit vlastnosti determinantu.
+Absolutní hodnota determinantu je objem rovnobì¾nostìnu urèeného øádkovými
+vektory matice. Dùle¾itìj¹í v¹ak je, ¾e znaménko determinantu urèuje
+\uv{orientaci} vektorù -- zda je levotoèivá èi pravotoèivá. Proto¾e ná¹ problém
+je rovinný, budeme uva¾ovat determinanty matic $2 \times 2$.
+
+Uva¾me souøadnicový systém v~rovinì, jeho¾ $x$-ová souøadnice roste smìrem
+doprava a~$y$-ová smìrem nahoru. Chceme zjistit orientaci úhlu $h_{k-1} h_k b$.
+Oznaème $\vec u = (x_1, y_1)$ rozdíl souøadnic bodù $h_k$ a~$h_{k-1}$ a podobnì
+$\vec v = (x_2, y_2)$ rozdíl souøadnic bodù $b$ a~$h_k$. Matici $M$ definujeme
+následovnì: $$M = \pmatrix{\vec u \cr \vec v} = \pmatrix {x_1&y_1\cr
+x_2&y_2}.$$ Úhel $h_{k-1} h_k b$ je orientován doleva, právì kdy¾ $\det
+M = x_1y_2 - x_2y_1$ je nezáporný, a spoèítat hodnotu determinantu je
+jednoduché. Mo¾né situace jsou nakresleny na obrázku. Poznamenejme, ¾e
+k~podobnému vzorci se lze také dostat pøes vektorový souèin vektorù $\vec u$
+a $\vec v$.
\figure{7-geom4_determinant.eps}{Jak vypadají determinanty rùzných znamének v~rovinì.}{4.6in}
-\s{©lo by to vyøe¹it rychleji?} Také vám vrtá hlavou, zda existují rychlej¹í algoritmy? Na závìr si uká¾eme nìco, co na pøedná¹ce nebylo.\foot{A také
-se nebude zkou¹et.} Nejrychlej¹í známý algoritmus, jeho¾ autorem je T.~Chan, funguje v~èase $\O(n \log h)$, kde $h$ je poèet bodù le¾ících na
-konvexním obalu, a pøitom je pøekvapivì jednoduchý. Zde si naznaèíme, jak tento algoritmus funguje.
-
-Algoritmus pøichází s~následující my¹lenkou. Pøedpokládejme, ¾e bychom znali velikost konvexního obalu $h$. Rozdìlíme body libovolnì do $\lceil {n
-\over h} \rceil$ mno¾in $Q_1, \ldots, Q_k$ tak, ¾e $\vert Q_i \vert \le h$. Pro ka¾dou z~tìchto mno¾in nalezneme konvexní obal pomocí vý¹e popsaného
-algoritmu. To doká¾eme pro jednu v~èase $\O(h \log h)$ a pro v¹echny v~èase $\O(n \log h)$. V druhé fázi spustíme hledání konvexního obalu pomocí
-provázkového algoritmu a pro zrychlení pou¾ijeme pøedpoèítané obaly men¹ích mno¾in. Nejprve popí¹eme jeho my¹lenku. Pou¾ijeme následující pozorování:
-
-\s{Pozorování:} Úseèka spojující dva body $a$ a $b$ le¾í na konvexním obalu, právì kdy¾ v¹echny ostatní body le¾í pouze na jedné její
-stranì.\foot{Formálnì je podmínka následující: Pøímka $ab$ urèuje dvì poloroviny. Úseèka le¾í na konvexním obalu, právì kdy¾ v¹echny body le¾í v jedné
-z polorovin.}
-
-Algoritmu se øíká {\I provázkový}, proto¾e svojí èinností pøipomíná namotávání provázku podél konvexního obalu. Zaèneme s bodem, který na konvexním
-obalu urèitì le¾í, to je tøeba ten nejlevìj¹í. V ka¾dém kroku nalezneme následující bod po obvodu konvexního obalu. To udìláme napøíklad tak, ¾e
-projdeme v¹echny body a vybereme ten, který svírá nejmen¹í úhel s poslední stranou konvexního obalu. Novì pøidaná úseèka vyhovuje pozorování a proto
-do konvexního obalu patøí. Po $h$ krocích se dostaneme zpìt k nejlevìj¹ímu bodu a výpoèet ukonèíme. V ka¾dém kroku potøebujeme projít v¹echny body a
-vybrat následníka, co¾ doká¾eme v èase $\O(n)$. Celková slo¾itost algoritmu je tedy $\O(n \cdot h)$.
+\h{Rychlej¹í algoritmus}
+
+Také vám vrtá hlavou, zda jde konvexní obal sestrojit rychleji? Obecnì ne,
+alespoò pokud chceme body na konvexním obalu vydat v~poøadí, v~jakém se
+na hranici nacházejí.\foot{Pak bychom toti¾ umìli tøídit reálná èísla
+v~èase lep¹ím ne¾ $\Omega(n\log n)$, co¾ se ví, ¾e nejde (ná¹ dolní
+odhad slo¾itosti tøídìní z~minulého semestru na~to ov¹em nestaèí).
+Zkuste pøevod z~tøídìní na hledání konvexního obalu vymyslet sami.}
+Pokud ov¹em na~konvexním obalu vìt¹ina bodù nele¾í, jde to rychleji.
+
+Na pøedná¹ce to sice nebylo (a~u~zkou¹ky nebude), ale zde si uká¾eme nejrychlej¹í
+známý algoritmus, jeho¾ autorem je T.~Chan a který funguje v~èase $\O(n \log h)$,
+kde $h$ znaèí poèet bodù le¾ících na konvexním obalu. Pøekvapivì bude docela snadný.
+
+Pøedpokládejme, ¾e bychom znali velikost konvexního obalu $h$. Rozdìlíme body
+libovolnì do $\lceil n/h \rceil$ mno¾in $Q_1, \ldots, Q_k$ tak, aby
+v~ka¾dé mno¾inì bylo nejvý¹e~$h$ bodù. Pro ka¾dou z~tìchto mno¾in nalezneme
+konvexní obal pomocí vý¹e popsaného algoritmu. To doká¾eme pro jednu v~èase
+$\O(h \log h)$ a pro v¹echny v~èase $\O(n \log h)$. V druhé fázi spustíme
+tyto pøedpoèítané obaly slepíme do~jednoho pomocí tak zvaného {\I provázkového
+algoritmu.} Ten se opírá o~následující pozorování:
+
+\s{Pozorování:} Úseèka spojující dva body $a$ a $b$ le¾í na konvexním obalu,
+právì kdy¾ v¹echny ostatní body le¾í na té¾e stranì pøímky prolo¾ené touto
+úseèkou.
+
+Algoritmu se øíká provázkový, proto¾e svojí èinností pøipomíná namotávání
+provázku podél konvexního obalu. Zaèneme s bodem, který na konvexním obalu
+urèitì le¾í, to je tøeba ten nejlevìj¹í. V ka¾dém kroku nalezneme následující
+bod po obvodu konvexního obalu. To udìláme napøíklad tak, ¾e projdeme v¹echny
+body a vybereme ten, který svírá nejmen¹í úhel s poslední stranou konvexního
+obalu. Novì pøidaná úseèka vyhovuje pozorování a proto do konvexního obalu
+patøí. Po $h$ krocích se dostaneme zpìt k nejlevìj¹ímu bodu a výpoèet ukonèíme.
+V ka¾dém kroku potøebujeme projít v¹echny body a vybrat následníka, co¾
+doká¾eme v èase $\O(n)$. Celková slo¾itost algoritmu je tedy $\O(n \cdot h)$.
\twofigures{7-geom6_provazkovy_algoritmus.eps}{Provázkový algoritmus.}{1.25in}{7-geom7_naslednik_pres_konvexni_obal.eps}{Hledání kandidáta v pøedpoèítaném obalu.}{2.5in}
-Provázkový algoritmus funguje, ale má jednu obrovskou nevýhodu -- je toti¾ ukrutnì pomalý. Ký¾eného zrychlení dosáhneme, pokud pou¾ijeme pøedpoèítané
-konvexní obaly. Ty umo¾ní rychleji hledat následníka. Pro ka¾dou z mno¾in $Q_i$ najdeme zvlá¹» kandidáta a poté z nich vybereme toho nejlep¹ího.
-Mo¾ný kandidát v¾dy le¾í na konvexním obalu mno¾iny $Q_i$. Vyu¾ijeme toho, ¾e body obalu jsou \uv{uspoøádané}, i kdy¾ trochu netypicky do kruhu.
-Kandidáta mù¾eme hledat metodou pùlení intervalu, i kdy¾ detaily jsou malièko slo¾itìj¹í ne¾ je obvyklé. Jak pùlit zjistíme podle smìru zatáèení
-konvexního obalu. Detaily si rozmyslí ètenáø sám.
-
-Èasová slo¾itost pùlení je $\O(\log h)$ pro jednu mno¾inu. Mno¾in je nejvý¹e $\O({n \over h})$, tedy následující bod konvexního obalu nalezneme v èase
-$\O({n \over h} \log h)$. Celý obal nalezneme ve slibovaném èase $\O(n \log h)$.
-
-Popsanému algoritmu schází jedna dùle¾itá vìc: Ve skuteènosti vìt¹inou neznáme velikost $h$. Budeme proto algoritmus iterovat s~rostoucí hodnotou $h$,
-dokud konvexní obal nesestrojíme. Pokud pøi slepování konvexních obalù zjistíme, ¾e konvexní obal je vìt¹í ne¾ $h$, výpoèet ukonèíme. Zbývá je¹tì
-zvolit, jak rychle má $h$ rùst. Pokud by rostlo moc pomalu, budeme poèítat zbyteènì mnoho fází, naopak pøi rychlém rùstu by nás poslední fáze mohla
-stát pøíli¹ mnoho.
-
-V~$k$-té iteraci polo¾íme $h = 2^{2^k}$. Dostáváme celkovou slo¾itost algoritmu:
-$$\sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \log 2^{2^m}) = \sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \cdot 2^m) = \O(n \log h),$$
-kde poslední rovnost dostaneme jako souèet prvních $\O(\log \log h)$ èlenù geometrické øady $\sum 2^m$.
-
-\>Kdy¾ s geometrickými problémy poøádnì nezametete, ony vám to vrátí! Ale kdy¾ u¾ zametat, tak urèitì ne pod koberec a místo smetáku pou¾ijte pøímku.
-V této pøedná¹ce nás spolu s dvìma geometrickými problémy samozøejmì èeká pokraèování pohádky o ledních medvìdech.
-
-{\I Medvìdi vyøe¹ili rybí problém a hlad je ji¾ netrápí. Av¹ak na severu ne¾ijí sami, za sousedy mají Eskymáky. Proto¾e je rozhodnì lep¹í se sousedy
-dobøe vycházet, jsou medvìdi a Eskymáci velcí pøátelé. Skoro ka¾dý se se svými pøáteli rád schází. Av¹ak to je musí nejprve nalézt~\dots}
+Provázkový algoritmus funguje, ale má jednu obrovskou nevýhodu -- je toti¾
+ukrutnì pomalý. Ký¾eného zrychlení dosáhneme, pokud pou¾ijeme pøedpoèítané
+konvexní obaly. Ty umo¾ní rychleji hledat následníka. Pro ka¾dou z mno¾in $Q_i$
+najdeme zvlá¹» kandidáta a poté z nich vybereme toho nejlep¹ího. Mo¾ný kandidát
+v¾dy le¾í na konvexním obalu mno¾iny $Q_i$. Vyu¾ijeme toho, ¾e body obalu jsou
+\uv{uspoøádané}, i kdy¾ trochu netypicky do kruhu. Kandidáta mù¾eme hledat
+metodou pùlení intervalu, jen detaily jsou malièko slo¾itìj¹í, ne¾ je
+obvyklé. Jak pùlit, zjistíme podle smìru zatáèení konvexního obalu. Detaily si
+rozmyslí ètenáø sám.
+
+Èasová slo¾itost pùlení je $\O(\log h)$ pro jednu mno¾inu. Mno¾in je nejvý¹e
+$\O({n \over h})$, tedy následující bod konvexního obalu nalezneme v èase
+$\O({n \over h} \log h)$. Celý obal nalezneme ve slibovaném èase $\O(n \log
+h)$.
+
+Popsanému algoritmu schází jedna dùle¾itá vìc: Ve skuteènosti vìt¹inou neznáme
+velikost $h$. Budeme proto algoritmus iterovat s~rostoucí hodnotou $h$, dokud
+konvexní obal nesestrojíme. Pokud pøi slepování konvexních obalù zjistíme, ¾e
+konvexní obal je vìt¹í ne¾ $h$, výpoèet ukonèíme. Zbývá je¹tì zvolit, jak
+rychle má $h$ rùst. Pokud by rostlo moc pomalu, budeme poèítat zbyteènì mnoho
+fází, naopak pøi rychlém rùstu by nás poslední fáze mohla stát pøíli¹ mnoho.
+
+V~$k$-té iteraci polo¾íme $h = 2^{2^k}$. Dostáváme celkovou slo¾itost
+algoritmu: $$\sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \log 2^{2^m})
+= \sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \cdot 2^m) = \O(n \log h),$$ kde poslední
+rovnost dostaneme jako souèet prvních $\O(\log \log h)$ èlenù geometrické øady
+$\sum 2^m$.
\h{Hledání prùseèíkù úseèek}
+{\I Medvìdi vyøe¹ili rybí problém a hlad je ji¾ netrápí. Av¹ak na severu ne¾ijí
+sami, za sousedy mají Eskymáky. Proto¾e je rozhodnì lep¹í se sousedy dobøe
+vycházet, jsou medvìdi a Eskymáci velcí pøátelé. Skoro ka¾dý se se svými
+pøáteli rád schází. Av¹ak to je musí nejprve nalézt~\dots}
+
Zkusíme nejprve Eskymákùm vyøe¹it lokalizaci ledních medvìdù.
{\I Kdy¾ takový medvìd nemá co na práci, rád se prochází. Na místech, kde se trasy protínají, je zvý¹ená ¹ance, ¾e se dva medvìdi potkají a zapovídají
\centerline{Problém Eskymákù: Kde v¹ude se køí¾í medvìdí trasy?}
\bigskip
-Pro $n$ úseèek mù¾e existovat a¾ $\Omega(n^2)$ prùseèíkù.\foot{Zkuste takový pøíklad zkonstruovat.} Tedy optimální slo¾itosti by dosáhl i algoritmus,
-který by pro ka¾dou dvojici úseèek testoval, zda se protínají. Èasovou slo¾itost algoritmu v¹ak posuzujeme i vzhledem k velikosti výstupu $p$. Typické
-rozmístìní úseèek mívá toti¾ prùseèíkù spí¹e pomálu. Pro tento pøípad si uká¾eme podstatnì rychlej¹í algoritmus.
-
-Pro jednodu¹¹í popis pøedpokládejme, ¾e úseèky le¾í v obecné poloze. To znamená, ¾e ¾ádné tøi úseèky se neprotínají v jednom bodì a prùnikem ka¾dých
-dvou úseèek je nejvý¹e jeden bod. Navíc pøedpokládejme, ¾e krajní bod ¾ádné úseèky nele¾í na jiné úseèce a také neexistují vodorovné úseèky. Na závìr si
-uká¾eme, jak se s tìmito pøípady vypoøádat.
-
-Algoritmus funguje na principu zametání roviny, popsaném v minulé pøedná¹ce. Budeme posouvat vodorovnou pøímku odshora dolù. V¾dy, kdy¾ narazíme na
-nový prùnik, ohlásíme jeho výskyt. Samozøejmì spojité posouvání nahradíme diskrétním a pøímku v¾dy posuneme do dal¹ího zajímavého bodu.
-
-Zajímavé události jsou {\I zaèátky úseèek}, {\I konce úseèek} a {\I prùseèíky úseèek}. Po utøídìní známe pro první dva typy událostí poøadí, v jakém
-se objeví. Výskyty prùseèíkù budeme poèítat prùbì¾nì, jinak bychom celý problém nemuseli øe¹it.
-
-V ka¾dém kroku si pamatujeme {\I prùøez} $P$ -- posloupnost úseèek aktuálnì protnutých zametací pøímkou. Tyto úseèky máme utøídìné zleva doprava. Navíc si
-udr¾ujeme kalendáø $K$ budoucích událostí. Z hlediska prùseèíkù budeme na úseèky nahlí¾et jako na polopøímky. Pro sousední dvojice úseèek si
-udr¾ujeme, zda se jejich smìry nìkde protnou. Algoritmus pro hledání prùnikù úseèek funguje následovnì:
+Pro $n$ úseèek mù¾e existovat a¾ $\Omega(n^2)$ prùseèíkù.\foot{Zkuste takový
+pøíklad zkonstruovat.} Tedy optimální slo¾itosti by dosáhl i algoritmus, který
+by pro ka¾dou dvojici úseèek testoval, zda se protínají. Èasovou slo¾itost
+algoritmu v¹ak posuzujeme i vzhledem k velikosti výstupu $p$. Typické
+rozmístìní úseèek mívá toti¾ prùseèíkù spí¹e pomálu. Pro tento pøípad si
+uká¾eme podstatnì rychlej¹í algoritmus.
+
+Pro jednodu¹¹í popis pøedpokládejme, ¾e úseèky le¾í v obecné poloze. To
+znamená, ¾e ¾ádné tøi úseèky se neprotínají v jednom bodì a prùnikem ka¾dých
+dvou úseèek je nejvý¹e jeden bod. Navíc pøedpokládejme, ¾e krajní bod ¾ádné
+úseèky nele¾í na jiné úseèce a také neexistují vodorovné úseèky. Na závìr si
+uká¾eme, jak se s~tìmito pøípady vypoøádat.
+
+Algoritmus funguje na principu zametání roviny, podobnì jako hledání konvexního
+obalu. Budeme posouvat vodorovnou pøímku odshora dolù. V¾dy, kdy¾ narazíme na
+nový prùnik, ohlásíme jeho výskyt. Samozøejmì spojité posouvání nahradíme
+diskrétním a pøímku v¾dy posuneme do dal¹ího bodu, kde se nìco zajímavého
+dìje.
+
+Tím zajímavým jsou {\I zaèátky úseèek}, {\I konce úseèek} a {\I prùseèíky
+úseèek}. Dohromady jim budeme øíkat {\I události.} Po~utøídìní známe pro první
+dva typy událostí poøadí, v jakém se objeví. Prùseèíkové události budeme
+objevovat prùbì¾nì.
+
+V~ka¾dém kroku si pamatujeme {\I prùøez} $P$ -- posloupnost úseèek zrovna
+protnutých zametací pøímkou. Tyto úseèky máme utøídìné zleva doprava. Navíc si
+udr¾ujeme kalendáø $K$ budoucích událostí. V~nìm budou naplánovány v¹echny zaèátky
+a konce le¾ící pod zametací pøímkou. Navíc se pro ka¾dou dvojici úseèek podíváme,
+zda se pod zametací pøímkou protnou, a~pokud ano, tak takový prùseèík také naplánujeme.
+(Mohli bychom pøitom úseèky pova¾ovat za~polopøímky, fale¹né prùseèíky toti¾
+beztak sma¾eme døíve, ne¾ na nì dojde øada.)
+
+Algoritmus pro hledání prùnikù úseèek pak funguje následovnì:
\s{Algoritmus:}
\::Pokud je to zaèátek úseèky, zatøídíme novou úseèku do $P$.
\::Pokud je to konec úseèky, odebereme úseèku z $P$.
\::Pokud je to prùseèík, nahlásíme ho a prohodíme úseèky v $P$.
-\::Navíc v¾dy pøepoèítáme prùseèíkové události, v¾dy maximálnì dvì odebereme a dvì nové pøidáme.
+\::Navíc v¾dy pøepoèítáme naplánované prùseèíkové události -- v¾dy maximálnì dvì odebereme a dvì nové pøidáme.
\endalgo
-Zbývá rozmyslet si, jaké datové struktury pou¾ijeme, abychom prùseèíky nalezli dostateènì rychle. Pro kalendáø pou¾ijeme napøíklad haldu. Prùøez si
-budeme udr¾ovat ve vyhledávacím stromì. Poznamenejme, ¾e nemusíme znát souøadnice úseèek, staèí znát jejich poøadí, které se mezi jednotlivými
-událostmi nemìní. Pøi pøidávání úseèek procházíme stromem a porovnáváme souøadnice v prùøezu, které prùbì¾nì dopoèítáváme.
-
-Kalendáø obsahuje v¾dy nejvý¹e $\O(n)$ událostí. Podobnì prùøez obsahuje v ka¾dém okam¾iku nejvý¹e $\O(n)$ úseèek. Jednu událost kalendáøe doká¾eme
-o¹etøit v èase $\O(\log n)$. V¹ech událostí je $\O(n+p)$, a tedy celková slo¾itost algoritmu je $\O((n+p) \log n)$.
-
-Slíbili jsme, ¾e popí¹eme, jak se vypoøádat s vý¹e uvedenými podmínkami na vstup. Události kalendáøe se stejnou $y$-ovou souøadnicí budeme tøídit v
-poøadí zaèátky, prùseèíky a konce úseèek. Tím nahlásíme i prùseèíky krajù úseèek a ani vodorovné úseèky nebudou vadit. Podobnì se není tøeba obávat
-prùseèíkù více úseèek v jednom bodì. Úseèky jdoucí stejným smìrem, jejich¾ prùnik je úseèka, jsou komplikovanìj¹í, ale lze jejich prùseèíky o¹etøit a
-vypsat tøeba souøadnice úseèky tvoøící jejich prùnik.
-
-Na závìr poznamenejme, ¾e Balaban vymyslel efektivnìj¹í algoritmus, který funguje v èase $\O(n \log n + p)$, ale je podstatnì komplikovanìj¹í.
+Zbývá rozmyslet, jaké datové struktury pou¾ijeme pro reprezentaci prùøezu a kalendáøe.
+S~kalendáøem je to snadné, ten mù¾eme ulo¾it napøíklad do~haldy. Co potøebujeme dìlat
+s~prùøezem? Vkládat a odebírat úseèky, ale také k~dané úseèce nalézt jejího pøedchùdce
+a následníka (to je potøeba pøi plánování prùseèíkových událostí). Nabízí se vyu¾ít
+vyhledávací strom, ov¹em jako klíèe v~nìm nemohou vystupovat $x$-ové souøadnice úseèek
+(respektive jejich prùseèíkù se zametací pøímkou). Ty se toti¾ pøi ka¾dém posunutí
+na¹eho \uv{ko¹tìte} mohou v¹echny zmìnit.
+
+Ulo¾íme tedy do~vrcholù místo souøadnic jen odkazy na úseèky. Ty se nemìní (a~mezi
+událostmi se nemìní ani jejich poøadí, co¾ je dùle¾ité) a kdykoliv nìjaká operace
+se~stromem nav¹tíví jeho vrchol, dopoèítáme aktuální souøadnici úseèky a podle toho
+se rozhodneme, zda se vydat doleva nebo doprava.
+
+Prùøez obsahuje v¾dy nejvý¹e~$n$ úseèek, tak¾e operace se stromem budou
+trvat $\O(\log n)$. V~kalendaøi se nachází nejvý¹e~$n$ zaèátkù a koncù
+a nejvý¹e~$n$ prùseèíkových událostí (ty plánujeme pro dvojice úseèek
+sousedících v~prùøezu, a~tìch je v¾dy nejvý¹e~$n$). Operace s~kalendáøem
+proto trvají také $\O(\log n)$.
+
+Pøi vyhodnocování ka¾dé události provedeme $\O(1)$ operací s~datovými
+strukturami, tak¾e událost zpracujeme v~èase $\O(\log n)$. V¹ech událostí
+dohromady je pøitom $\O(n+p)$, a~proto celý algoritmus dobìhne v~èase
+$\O((n+p) \log n)$.
+
+\s{Cvièení:} Popi¹te, jak algoritmus upravit, aby nepotøeboval pøedpoklad
+obecné polohy úseèek. Podobnì jako u~konvexního obalu, i zde staèí jednoduché
+úpravy.
+
+Na závìr poznamenejme, ¾e existuje efektivnìj¹í, by» daleko komplikovanìj¹í,
+algoritmus od Balabana dosahující èasové slo¾itosti $\O(n \log n + p)$.
\h{Hledání nejbli¾¹ích bodù a Voroného diagramy}
{\I Eskymáci tráví vìt¹inu èasu doma, ve svém iglù. Takový medvìd je na své toulce zasnì¾enou krajinou, kdy¾ tu se najednou rozhodne nav¹tívit nìjakého
Eskymáka. Proto se podívá do své medvìdí mapy a nalezne nejbli¾¹í iglù. Má to ale jeden háèek, iglù jsou spousty a medvìd by dávno usnul, ne¾ by
-nejbli¾¹í objevil.}\foot{Zlí jazykové by øekli, ¾e medvìdi jsou moc líní a nebo v mapách ani èíst neumí!}
+nejbli¾¹í objevil.}
Popí¹eme si nejprve, jak vypadá medvìdí mapa. Medvìdí mapa obsahuje celou Arktidu a jsou v ní vyznaèena v¹echna iglù. Navíc obsahuje vyznaèené
oblasti tvoøené body, které jsou nejblí¾e k jednomu danému iglù. Takovému schématu se øíká {\I Voroného diagram}. Ten pro zadané body $x_1, \ldots, x_n$
$$B_i = \left\{y \in {\bb R}^2\ \vert\ \forall j:\rho(x_i,y) \le \rho(x_j,y)\right\},$$
kde $\rho(x,y)$ znaèí vzdálenost bodù $x$ a $y$.
+\twofigures{8-geom2_2_polorovina.eps}{Body bli¾¹í k $a$ ne¾ $b$.}{1.25in}{8-geom2_3_voroneho_diagram.eps}{Voroného diagram.}{2.5in}
+
Uká¾eme si, ¾e Voroného diagram má pøekvapivì jednoduchou strukturu. Nejprve uva¾me, jak budou vypadat oblasti $B_a$ a $B_b$ pouze pro dva body
$a$ a $b$, jak je naznaèeno na obrázku. V¹echny body stejnì vzdálené od $a$ i $b$ le¾í na pøímce $p$ -- ose úseèky $ab$. Oblasti $B_a$ a $B_b$
jsou tedy tvoøeny polorovinami ohranièenými osou $p$. Tedy obecnì tvoøí mno¾ina v¹ech bodù bli¾¹ích k $x_i$ ne¾ k $x_j$ nìjakou polorovinu. Oblast
$B_i$ obsahuje v¹echny body, které jsou souèasnì bli¾¹í k $x_i$ ne¾ ke v¹em ostatním bodùm $x_j$ -- tedy le¾í ve v¹ech polorovinách souèasnì.
-Ka¾dá z oblastí $B_i$ je tvoøena prùnikem $n-1$ polorovin, tedy je to (mo¾ná neomezený) mnohoúhelník.\foot{Sly¹eli jste u¾ o lineárním programování?
-Jak název vùbec nenapoví, {\I lineární programování} je teorii zabývající se øe¹ením a vlastnostmi soustav lineárních nerovnic. Lineární program je
-popsaný lineární funkcí, kterou chceme maximalizovat za podmínek popsaných soustavou lineárních nerovnic. Ka¾dá nerovnice urèuje poloprostor, ve
-kterém se pøípustná øe¹ení nachází. Proto¾e pøípustné øe¹ení splòuje v¹echny nerovnice zároveò, je mno¾ina v¹ech pøípustných øe¹ení (mo¾ná neomezený)
-mnohostìn, obecnì ve veliké dimenzi ${\bb R}^d$, kde $d$ je poèet promìnných. Mno¾iny $B_i$ lze snadno popsat jako mno¾iny v¹ech pøípustných øe¹ení
-lineárních programù pomocí vý¹e ukázaných polorovin. Na závìr poznamenejme, ¾e dlouho otevøená otázka, zda lze nalézt optimální øe¹ení lineárního
-programu v polynomiálním èase, byla pozitivnì vyøe¹ena -- je znám polynomiální algoritmus, kterému se øíká {\I metoda vnitøního bodu}. Na druhou
-stranu, pokud chceme najít pøípustné celoèíselné øe¹ení, je úloha NP-úplná a je jednoduché na ni pøevést spoustu optimalizaèních problémù. Dokázat
-NP-tì¾kost není pøíli¹ tì¾ké. Na druhou stranu ukázat, ¾e tento problém le¾í v NP, není vùbec jednoduché.}
+Ka¾dá z oblastí $B_i$ je tvoøena prùnikem $n-1$ polorovin, tedy je to (mo¾ná neomezený) mnohoúhelník.
Pøíklad Voroného diagramu je naznaèen na obrázku. Zadané body jsou oznaèeny prázdnými krou¾ky a hranice oblastí $B_i$ jsou vyznaèené èernými èárami.
-\twofigures{8-geom2_2_polorovina.eps}{Body bli¾¹í k $a$ ne¾ $b$.}{1.25in}{8-geom2_3_voroneho_diagram.eps}{Voroného diagram.}{2.5in}
-
Není náhoda, pokud vám hranice oblastí pøipomíná rovinný graf. Jeho vrcholy jsou body, které jsou stejnì vzdálené od alespoò tøí zadaných bodù. Jeho
stìny jsou oblasti $B_i$. Jeho hrany jsou tvoøeny èástí hranice mezi dvìma oblastmi -- body, které mají dvì oblasti spoleèné. Obecnì prùnik dvou
oblastí mù¾e být, v závislosti na jejich sousedìní, prázdný, bod, úseèka, polopøímka nebo dokonce celá pøímka. V dal¹ím textu si pøedstavme, ¾e celý
projects / ads2.git / commitdiff