\s{Vìtièka:} V~ka¾dé síti existuje maximální tok a minimální øez.
-\s{Dùkaz:} Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
+\proof Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické
analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce
a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
-\s{Dùkaz:} První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
+\proof První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
[tedy pøesouváním vrcholù zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(C) \le \vert C \vert.$ \qed
\s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
-\s{Dùkaz:} Jednu nerovnost jsme dokázali v~pøedchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
+\proof Jednu nerovnost jsme dokázali v~pøedchozím lemmatu, druhá plyne z~duality lineárního
programování [max. tok a min. øez jsou navzájem duální úlohy], ale k~pìknému kombinatorickému
dùkazu pùjde opìt pou¾ít Ford-Fulkersonùv algoritmus.
+\qed
\h{Ford-Fulkersonùv algoritmus}
\h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
+Teorie tokù nám také poslou¾í ke~zkoumání násobné souvislosti grafù.
+
\s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
\itemize\ibull
\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ jsou
$st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
cest z~$s$ do~$t$}
-\s{Dùkaz:} Z~grafu sestrojíme sí» tak, ¾e $s$~bude zdroj, $t$~spotøebiè a v¹em
+\proof Z~grafu sestrojíme sí» tak, ¾e $s$~bude zdroj, $t$~spotøebiè a v¹em
hranám nastavíme kapacitu na~jednotku. Øezy v~této síti odpovídají øezùm v~pùvodním
grafu. Podobnì ka¾dý systém hranovì disjunktních $st$-cest odpovídá toku stejné
velikosti a naopak ke~ka¾dému celoèíselnému toku dovedeme najít systém disjunktních
Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
-\s{Dùkaz:} Podobnì jako v~dùkazu pøedchozí vìty zkonstruujeme vhodnou sí».
+\proof Podobnì jako v~dùkazu pøedchozí vìty zkonstruujeme vhodnou sí».
Tentokrát ov¹em rozdìlíme ka¾dý vrchol na~vrcholy $v^+$ a $v^-$, v¹echny hrany, které
pùvodnì vedly do~$v$, pøepojíme do~$v^+$, hrany vedoucí z~$v$ povedou z~$v^-$
a pøidáme novou hranu z~$v^+$ do~$v^-$. V¹echny hrany budou mít jednotkové kapacity.
\s{Vìta:} (Frederickson) Ka¾dá $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù. Existuje
algoritmus, který jednu takovou najde v~lineárním èase.
-\s{Dùkaz:} První èast rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
+\proof První èast rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problemu bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
vrcholù stupnì $>3$ \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany}\foot{tzv. francouzský trik},
\s{Lemma:} LCA lze pøevést na~RMQ s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
èasem na~pøevod dotazu.
-\s{Dùkaz:} Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ nav¹tívíme vrchol (v~inorderu),
+\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ nav¹tívíme vrchol (v~inorderu),
zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi poslední
náv¹tìvou~$x$ a první náv¹tìvou~$y$, nebo opaènì.
\qed
\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
-\s{Dùkaz:} Pou¾ijeme inkrementální algoritmus, v¾dy si budeme pamatovat
+\proof Pou¾ijeme inkrementální algoritmus, v¾dy si budeme pamatovat
kartézský strom pro ji¾ zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
prvku v~tomto stromu. Kdy¾ pøidáváme dal¹í prvek, hledáme místo, kam ho
pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imneme si, ¾e vzhledem
\s{Lemma:} RMQ lze pøevést na~LCA s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
èasem na~pøevod dotazu.
-\s{Dùkaz:} Sestrojíme kartézský strom a RMQ pøevedeme na~LCA v~tomto stromu.
+\proof Sestrojíme kartézský strom a RMQ pøevedeme na~LCA v~tomto stromu.
\qed
Výsledky této podkapitoly mù¾eme shrnout do~následující vìty:
nebo první prvek seznamu $\<BlockList>(w)$ má $\<LowPoint> < \<Enter>(v)$. Navíc
seznamy \<BlockList> lze udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
-\s{Dùkaz:} První èást plyne z~definice. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
+\proof První èást plyne z~definice. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
sestrojíme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok
s~nadøazeným blokem, odstraníme ho ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci.
\qed
kreslených zpìtných hran a $l$ poèet vrcholù, které zmizely z~vnìj¹í stìny, èili
amortizovaná konstanta.
-\s{Dùkaz:} Alespoò polovina vrcholù, po~nich¾ jsme v~libovolném bloku pro¹li,
+\proof Alespoò polovina vrcholù, po~nich¾ jsme v~libovolném bloku pro¹li,
zmizí z~vnìj¹í stìny, tak¾e hledání koøenù blokù trvá $\O(l)$. Pro ka¾dou zpìtnou
hranu oznaèíme jeden vrchol jako ¾ivý a pak pokraèujeme hledáním koøenù.
\qed
\s{Vìta:} Tento algoritmus pro ka¾dý graf dobìhne v~èase $\O(n)$ a pokud byl graf rovinný,
vydá jeho nakreslení, v~opaèném pøípadì ohlásí nerovinnost.
-\s{Dùkaz:} První krok je korektní, jeliko¾ pro v¹echny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále
+\proof První krok je korektní, jeliko¾ pro v¹echny rovinné grafy je $m\le 3n-6$; nadále
tedy mù¾eme pøedpokládat, ¾e $m=\O(n)$. Lineární èasovou slo¾itost krokù 4--6 a~9 jsme ji¾
diskutovali, kroky~7--8 jsou lineární ve~velikosti ¾ivého podgrafu, a tedy také $\O(n)$.
Nakreslení vydané algoritmem je v¾dy rovinné a v¹echny stromové hrany jsou v¾dy
\s{Lemma:} Pokud existuje zpìtná hrana, kterou algoritmus nenakreslil, graf na~vstupu
není rovinný.
-\s{Dùkaz:} Pro spor pøedpokládejme, ¾e pøi zpracování vrcholu~$v$ existuje
+\proof Pro spor pøedpokládejme, ¾e pøi zpracování vrcholu~$v$ existuje
zpìtná hrana~$wv$, kterou algoritmus nenakreslil, èili ¾e pøístup z~$v$ k~$w$
je v~obou smìrech blokován externì aktivními vrcholy. Rozborem pøípadù uká¾eme,
¾e tato situace vede ke~sporu buïto s~pravidly \#1 a \#2 nebo s~rovinností grafu.
\:{\I zùstane 2-souvislý} a vznikne z~nìj nìjaký blok~$B'$ -- tehdy rozebereme, jaké hrany vedou mezi $v$ a $B'$:
-\itemize\nparen
+\numlist\nparen
\:{\I více ne¾ dvì hrany} -- minor~$N_2$.
\:{\I alespoò jedna hrana na \uv{horní} cestu} (to jest na~tu, na~ni¾ nele¾í~$w$) -- minor~$N_3$.
\:{\I dvì hrany do~$x,y$ nebo na \uv{dolní} cestu} -- a» u¾ jsme vstoupili na~hranici bloku~$B'$
kteroukoliv hranou, pravidlo~\#2 nám øeklo, ¾e máme pokraèovat vrchem, co¾ je mo¾né jedinì tehdy,
je-li na~spodní cestì je¹tì jeden externì aktivní vrchol, a~to dává minor~$N_4$.
-\endlist
+\qeditem
\endlist
-\qed
+\endlist
\s{Poznámka:} Podle tohoto dùkazu bychom také mohli v~lineárním èase v~ka¾dém nerovinném
grafu nalézt Kuratowského podgraf, dokonce také v~$O(n)$, jeliko¾ kdy¾ je $m>3n-6$,
\prednaska{2}{Dinicùv algoritmus a jeho varianty}{}
+V~této kapitole pojednáme o~Dinicovì algoritmu na~výpoèet maximálního
+toku a o~rùzných jeho variantách pro sítì ve~speciálním tvaru.
+
\h{Dinicùv algoritmus}
Dinicùv algoritmus je zalo¾en na my¹lence, ¾e ve Ford-Fulkersonovì algoritmu
není potøeba pøièítat jen zlep¹ující cesty, ale je mo¾né pøièítat rovnou zlep¹ující
toky, nejlépe takové, aby je nebylo obtí¾né najít, a~pøitom aby pùvodní tok
- dostateènì zlep¹ovaly. Vhodnými objekty k~tomuto úèelu jsou:
+dostateènì zlep¹ovaly. Vhodnými objekty k~tomuto úèelu jsou:
\s{Definice:} {\I Blokující tok} je tok takový, ¾e ka¾dá orientovaná $st$-cesta
obsahuje alespoò jednu nasycenou hranu. [Tj. takový tok, který by na¹el F-F algoritmus,
\h{Implementaèní poznámky}
\itemize\ibull
-\:Není potøeba tak brutální èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
+\:Není potøeba tak puntíèkáøské èi¹tìní. Vrcholy se vstupním stupnìm 0 nám
nevadí -- stejnì se do nich nedostaneme. Vadí jen vrcholy s výstupním stupnìm 0, kde by mohl
havarovat postup v podkroku 9.
\:Je mo¾né dìlat prohledávání a èi¹tìní souèasnì. Jednodu¹e metodou Hrrr na nì a kdy¾
Proto bychom chtìli omezit velikost toku $f_R$. Napøíklad øezem.
Najdeme v síti rezerv øez $C$. Kde ho vzít?\foot{Pøeci v øeznictví. Kdepak, spí¹e v cukrárnì.
-Myslíte, ¾e v cukrárnì mají Dinicovy øezy? Myslím, ¾e v cukrárnì je vìt¹ina øezù minimální.}
+Myslíte, ¾e v cukrárnì mají Dinicovy øezy? Myslím, ¾e v cukrárnì je vìt¹ina øezù minimální. {\sl (odposlechnuto na~pøedná¹ce)}}
Poèítejme jen hrany zleva doprava. Tìch je jistì nejvý¹e $m$ a tvoøí alespoò $k$ rozhraní mezi
vrstvami. Tedy existuje rozhraní vrstev
s~nejvý¹e $m/k$ hranami\foot{Princip holubníku a nìjaká ta $\pm1$.}.
a výsledného bude malý, toti¾:
$$ \vert f_i\vert - \vert 2f_{i-1}\vert \leq m.$$
-\s{Dùkaz:}
+\proof
Vezmeme minimální øez $R$ v $G_{i-1}$. Platí $\vert f_{i-1}\vert = \vert R\vert$\foot{F-F vìta.}.
Øez $R$ obsahuje $\leq m$ hran. V $G_{i}$ má øez $R$ kapacitu maximálnì $2\vert R\vert+m$.
Maximální tok je omezen ka¾dým øezem. Tedy i øezem $R$. Proto tok vzroste o $\leq m$.
Proto podle pøedchozího odhadu výpoèet toku $f_i$ trvá $\O(mn)$. Takový tok se bude poèítat $k$-krát,
tak¾e celková slo¾itost vyjde $\O(mn\log C)$.
-\h{Dinicova tabulka}
+\h{Pøehled variant Dinicova algoritmu}
$$\vbox{\halign{# \hfil \quad &# \hfil \cr
\it verze &\it èas \cr\noalign{\smallskip\hrule\smallskip}
jednotkové kapacity &$\O(nm)$ \cr
jednotkové kapacity podruhé &$\O(\sqrt{m}\cdot m) = \O(m^{3/2})$ \cr
jednotkové kapacity, 1 stupeò $\leq 1$ &$\O(\sqrt{n}\cdot m)$ \cr
-jednotkové kapacity veseleji &$\O(n^{2/3}m)$ \cr
+jednotkové kapacity potøetí &$\O(n^{2/3}m)$ \cr
celoèíselné kapacity &$\O(\vert f\vert\cdot n + nm)$ \cr
celoèíselné kapacity $ \leq C$ &$\O(Cn^2 + mn)$ \cr
celoèíselné kapacity $ \leq C$ &$\O(mn\log C)$ \cr
\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{}
-\>V~minulé kapitole jsme se zabývali aplikacemi tokù na~hledání maximálního párování
-a minimálního øezu. V~této si pøedvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
+V~minulé kapitole jsme se zabývali aplikacemi tokù na~hledání maximálního párování
+a minimálního $st$-øezu. V~této si pøedvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
které se obejdou bez tokù.
\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
Pokud chceme najít minimum pøes v¹echny dvojice, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
-To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù (tøeba $s$) lze zvolit
+To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z~vrcholù (tøeba $s$) lze zvolit
pevnì: pokud vezmeme libovolný øez $C$, pak jistì najdeme alespoò jedno~$t$, které padne
do~jiné komponenty ne¾ pevnì zvolené~$s$, tak¾e minimální $st$-øez bude nejvý¹e tak velký jako~$C$.
-Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
+Pokud pracujeme s~orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.
U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
\s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.
-\s{Dùkaz:} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
+\proof Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
\algo
\:$u_0 := v_1$
\def\rr{$r_1r_2$}
\def\GHT{GHT}
\def\PGHT{ÈGHT}
-\def\th#1{\s{#1}}
-\def\proof{\noindent{\it Dùkaz:} }
\input ../sgr.tex
\prednaska{4}{Gomory-Hu Trees}{}
-Cílem této kapitoly je vytvoøit datovou strukturu, která po urèitém
-pøedzpracování doká¾e rychle konstruovat pro libovolnou dvojici vrcholù v~grafu
-minimální øez, který ji oddìluje.
+Cílem této kapitoly je popsat datovou strukturu, která velice kompaktnì
+popisuje minimální $st$-øezy pro v¹echny dvojice vrcholù $s,t$ v~daném
+neorientovaném grafu. Tuto strukturu poprvé popsali Gomory a Hu v~èlánku \cite{gomoryhu}.
Zatím umíme nalézt minimální \st-øez pro zadanou dvojici vrcholù v~neorientovaném
grafu v~èase $\tau=\O(n^{2/3}m)$ pro~jednotkové kapacity, $\O(n^2m)$ pro obecné.
Nalézt minimální \st-øez pro ka¾dou dvojici vrcholù
bychom tedy dokázali v~èase $\O(n^2\tau)$. Tento výsledek budeme
-chtít zlep¹it. \cite{gomoryhu}
+chtít zlep¹it.
\s{Znaèení:} Máme\li{} graf $(V,E)$ a $U\subseteq V$, $\d(U)$ znaèí hrany vedoucí
mezi $U$ a $\overline U$, formálnì tedy $\d(U)=E \cap ((U \times \overline U) \cup (\overline U \times U))$.
\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný ohodnocený graf $G=(V,E)$
je strom $T=(V,F)$ takový,\nobreak{}\ \nobreak{}¾e $$\forall st \in F: \d(K_1)=\d(K_2)\hbox{ je minimální \st-øez, kde
$K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $T\setminus st$}.$$
-Pozor, $F$ nemusí být podmno¾ina pùvodních hran $E$.
+[Pozor, $F$ nemusí být podmno¾ina pùvodních hran $E$.]
\s{Dal¹í znaèení:} Pro $e\in F$ budeme øezem $\d(e)$ oznaèovat øez $\d(K_1)=\d(K_2)$ a $r(e)$ bude jeho kapacita.
\>K~èemu takový \GHT{} je (existuje-li)? To nám poví následující
-\th{Vìta (o~vyu¾ití \GHT):} Buï $T=(V,F)$ \GHT{} pro graf $G=(V,E)$ a mìjme dva vrcholy $s$ a $t$. Dále
+\s{Vìta (o~vyu¾ití \GHT):} Buï $T=(V,F)$ \GHT{} pro graf $G=(V,E)$ a mìjme dva vrcholy $s$ a $t$. Dále
nech» $P$ je cesta v~$T$ mezi vrcholy $s$ a $t$ a $e$ je hrana na cestì $P$ s~minimálním $r(e)$.
Pak $\d(e)$ je minimální \st-øez.
\proof Nejprve si doká¾eme jedno drobné
-{\advance\leftskip by 2em
-\th{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e $r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z))$.
+{\advance\leftskip by 2em\advance\rightskip by 2em
+\s{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e $r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z))$.
\proof Buï $W$ minimální $xz$-øez.
Urèitì je pravda, ¾e $r(s,x) \ge r(e)$, proto¾e $e$ byla hrana cesty $P$ s~nejmen¹ím $r(e)$.
To, ¾e $r(x,t) \ge r(e)$, plyne z~indukèního pøedpokladu, proto¾e cesta mezi $x$ a $t$
je krat¹í ne¾ cesta $P$. Dostáváme tak, ¾e $r(s,t) \ge \min(r(s,x),r(x,t)) \ge r(e)$.
+\qeditem
\endlist
-\qed
+
Pokud doká¾eme \GHT{} sestrojit, nalézt minimální \st-øez pro libovolnou dvojici vrcholù
doká¾eme stejnì rychle jako nalézt hranu s~nejmen¹í kapacitou na cestì mezi $s$ a $t$ v~\GHT.
K~tomu mù¾eme pou¾ít napøíklad Sleator-Tarjanovy stromy, které tuto operaci
\vbox to 0pt{\vskip-\baselineskip\rightline{\epsfysize=2cm\epsfbox{4-ght-htl.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
{
\advance\rightskip by 17em
-\th{Hnusnì technické lemma (HTL):} Buïte¾ $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-øez a $u\ne v$ dva rùzné
+\s{Hnusnì technické lemma (HTL):} Buïte¾ $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-øez a $u\ne v$ dva rùzné
vrcholy z~$U$. Pak existuje mno¾ina vrcholù $W \subseteq U$ taková, ¾e $\d(W)$ je minimální $uv$-øez.
[To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.]
Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme
$$c(U \setminus X) \le c(X),$$
z~èeho¾ opìt dostaneme, ¾e $\d(U \setminus X)$ je také minimální $uv$-øez.
+\qeditem
\endlist
-\qed
\bigskip
\>Nyní se koneènì dostáváme ke konstrukci \GHT{}. Abychom mohli pou¾ívat
\endlist
-\th{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
+\s{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
existuje \PGHT{}.
\proof Doká¾eme indukcí podle velikosti mno¾iny $R$.\itemize\ibull
HTL nám navíc øíká, ¾e existuje minimální øez, který ¾ije pouze v~pøíslu¹ném z~grafù $G_1$, $G_2$,
tak¾e nalezený øez je minimální pro celý graf $G$.
+\qeditem
\endlist
\endlist
-\qed
Nyní víme, ¾e \GHT{} existují, a také víme, jak by se daly konstruovat. Nicménì nalezení
vrcholù $s,t$ tak, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný, je èasovì nároèné.
Proto si poslední vìtu je¹tì o~nìco vylep¹íme.
-\th{Vylep¹ení vìty o~existenci \PGHT{}:} Na zaèátku dùkazu není nutné hledat vrcholy $s$ a $t$
+\s{Vylep¹ení vìty o~existenci \PGHT{}:} Na zaèátku dùkazu není nutné hledat vrcholy $s$ a $t$
takové, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný. Staèí zvolit \<libovolné> vrcholy $s,t\in R$
a nalézt minimální \st-øez $\d(W)$.
\def\symdiff{\mathop{\Delta}}
-\h{Minimální kostry a základní vìty okolo nich}
+\>Tato kapitola uvede problém minimální kostry, základní vìty o~kostrách a klasické
+algoritmy na~hledání minimálních koster. Budeme se inspirovat Tarjanovým pøístupem
+z~knihy~\cite{tarjan:dsna}. V¹echny grafy v~této kapitole budou neorientované multigrafy
+a jejich hrany budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
\todo{Chybí zde obrázky, znaènì by hutný text projasnily.}
-\>V~této kapitole se budeme zabývat výhradnì neorientovanými grafy, jejich¾ hrany
-budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
+\h{Minimální kostry a jejich vlastnosti}
\s{Definice:}
\itemize\ibull
ka¾dé kostøe, její¾ váha je mezi v¹emi kostrami daného grafu minimální.
\endlist
-\s{Poznámka:}
Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
aby bylo váhy mo¾né sèítat. Za~chvíli si uká¾eme, ¾e to není potøeba.
Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
\endlist
-\s{Vìta:} (Tarjan \cite{tarjan:dsna}) Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
+\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
\s{Lemma o~swapování:}
Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
-\s{Dùkaz:}
+\proof
Jeliko¾ $\vert T \vert = \vert T' \vert$, musí existovat $e' \in T'\setminus T$.
Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T$, tak¾e existuje hrana
$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
-\s{Dùkaz:}
+\proof
Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e']\setminus T'$, musí
$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bli¾¹í k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
Uva¾me nìjakou minimální kostru $T_{min}$ a pou¾ijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$. Z~nìj plyne $w(T)\le w(T_{min})$,
a~tedy $w(T)=w(T_{min})$.
-
+\qeditem
\endlist
-\qed
\s{Vìta:}
Jsou-li v¹echny váhy hran navzájem rùzné, je MST urèena jednoznaènì.
-\s{Dùkaz:}
+\proof
Máme-li dvì MST $T_1$ a $T_2$, neobsahují podle pøedchozí vìty lehké hrany, tak¾e podle monotónního
lemmatu mezi nimi lze pøeswapovat bez poklesu váhy. Pokud jsou ale váhy rùzné, musí ka¾dé swapnutí
ostøe zvý¹it váhu, a~proto k~¾ádnému nemohlo dojít.
meta-algoritmu. Rozeberme si tedy rovnou ten. Formulujeme ho pro pøípad, kdy jsou v¹echny
váhy hran navzájem rùzné.
-\s{Meta-algoritmus:} (Tarjan \cite{tarjan:dsna})
+\s{Meta-algoritmus:}
\algo
\:Na poèátku jsou v¹echny hrany bezbarvé.
\:Dokud to lze, pou¾ijeme jedno z~následujících pravidel:
-\itemize\relax
-\:{\I Modré pravidlo:} Vyber øez takový, ¾e jeho nejlehèí hrana není modrá,\foot{Za
+\::{\I Modré pravidlo:} Vyber øez takový, ¾e jeho nejlehèí hrana není modrá,\foot{Za
touto podmínkou nehledejte ¾ádná kouzla, je tu pouze proto, aby se algoritmus nemohl
zacyklit neustálým provádìním pravidel, která nic nezmìní.} a obarvi ji na~modro.
-\:{\I Èervené pravidlo:} Vyber cyklus takový, ¾e jeho nejtì¾¹í hrana není èervená, a obarvi ji na~èerveno.
-\endlist
+\::{\I Èervené pravidlo:} Vyber cyklus takový, ¾e jeho nejtì¾¹í hrana není èervená, a obarvi ji na~èerveno.
\endalgo
\s{Vìta:}
\s{Modré lemma:} Je-li hrana~$e$ kdykoliv algoritmem obarvena na~modro, pak $e\in T_{min}$.
-\s{Dùkaz:} Minimální kostra $T_{min}$ je urèena jednoznaènì (váhy jsou rùzné).
+\proof Minimální kostra $T_{min}$ je urèena jednoznaènì (váhy jsou rùzné).
Hrana~$e$ byla omodøena jako nejlehèí hrana nìjakého øezu~$C$.
Pokud by existovala nìjaká jiná $e' \in C \cap T_{min}[e]$, mù¾eme provést
$\<swap>(T_{min},e',e)$ a tím z~$T_{min}$ vytvoøit je¹tì lehèí kostru,
\s{Èervené lemma:} Je-li hrana~$e$ kdykoliv algoritmem obarvena na~èerveno, pak $e\not\in T_{min}$.
-\s{Dùkaz:} Opìt sporem: Pøedpokládejme, ¾e~$e$ byla obarvena èervenì jako nejtì¾¹í na~nìjaké kru¾nici~$C$
+\proof Opìt sporem: Pøedpokládejme, ¾e~$e$ byla obarvena èervenì jako nejtì¾¹í na~nìjaké kru¾nici~$C$
a ¾e $e\in T_{min}$. Odebráním~$e$ se nam $T_min$ rozpadne na dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
Nìkteré vrcholy kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$, ostatní do $T_y$.
Lze jednodu¹e nahlédnout, ¾e musí existovat hrana $e'\ne e$ taková, ¾e $x' \in T_x$ a $y' \in T_y$.
\s{Bezbarvé lemma:} Pokud existuje nìjaká neobarvená hrana, lze je¹tì pou¾ít nìkteré
z~pravidel.
-\s{Dùkaz:} Nech» existuje hrana~$e=xy$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si $M$ mno¾inu vrcholù,
+\proof Nech» existuje hrana~$e=xy$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si $M$ mno¾inu vrcholù,
do~nich¾ se lze z~$x$ dostat po~modrých hranách. Nyní mohou nastat dvì mo¾nosti:
\itemize\ibull
\fig{05.eps}{3cm}
+\qeditem
\endlist
-\qed
\s{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus zastaví.
\:{\I Obarví v¹e:} Pokud existuje alespoò jedna neobarvená hrana, pak podle bezbarvého lemmatu algoritmus pokraèuje.
\:{\I Najde modrou MST:} Podle èerveného a modrého lemmatu le¾í v~$T_{min}$ právì modré hrany.
+\qeditem
\endlist
-\qed
\s{Poznámka:}
Èervené a modré pravidlo jsou v~jistém smyslu duální. Pro rovinné grafy je na~sebe pøevede obyèejná rovinná
\prednaska{6}{Rychlej¹í algoritmy na~minimální kostry}{}
+V~této kapitole popí¹eme nìkolik pokroèilej¹ích algoritmù pro problém minimální
+kostry. Vesmìs to budou rùzná vylep¹ení klasických algoritmù z~minulé kapitoly.
+
\h{Upravená verze Borùvkova algoritmu pro rovinné grafy}
Vyjdeme z my¹lenky, ¾e mù¾eme po ka¾dém kroku pùvodního Borùvkova algoritmu vzniklé komponenty
\endlist
-V~zbytku této kapitoly uká¾eme, ¾e na~RAMu lze poèítat mnohé vìci
+Ve~zbytku této kapitoly uká¾eme, ¾e na~RAMu lze poèítat mnohé vìci
efektivnìji ne¾ na~PM. Zamìøíme se pøevá¾nì na~Word-RAM, podobné konstrukce
jdou provést i na~$AC^0$-RAMu. (Kombinace obou omezení vede ke~slab¹ímu modelu.)
\h{Modely inicializace}
-\>Jak mù¾e definován obsah pamìti na~poèátku výpoètu:
+\>Jak mù¾e být definován obsah pamìti na~poèátku výpoètu:
\s{\uv{Pøi odchodu zhasni}:} Zavedeme, ¾e pamì» RAMu je na~poèátku
inicializována nulami a program ji po~sobì musí uklidit (to je nutné,
pamìtí bì¾ící v èase $T(n)$. Pak existuje program~$P'$ pro Word-RAM
s~neinicializovanou pamìtí poèítající toté¾ v~èase~$\O(T(n))$.
-\s{Dùkaz:} Bìhem výpoètu si budeme pamatovat, ve~kterých pamì»ových
+\proof Bìhem výpoètu si budeme pamatovat, ve~kterých pamì»ových
buòkách u¾ nìco máme. Prokládanì ulo¾íme do pamìti dvì pole:
$M$, co¾ bude pamì» pùvodního stroje, a~$L$ -- seznam èísel bunìk
v~$M$, do~kterých u¾ program zapsal. Pøitom $L[0]$ bude udávat
\:pozicí $b=\msb(x \oplus x_i)$.
\endlist
-\s{Dùkaz:} Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
+\proof Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
Hodnoty znaèek klesají ve~smìru od koøene k~listùm a na cestì od koøene k~$x_i$ se
v¹echny bity v $x_i$ na~pozicích urèených znaèkami shodují s bity v $x$, pøièem¾
a¾ do~pozice $b$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
\:$x[B]$ -- hodnot bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$.
\endlist
-\s{Dùkaz:} Z~pøedchozího lemmatu:
+\proof Z~pøedchozího lemmatu:
\numlist\pnromanp
\:Tvar stromu závisí jen na~nerovnostech mezi polohami znaèek,
tak¾e je jednoznaènì urèený funkcí~$C$.
\prednaska{9}{Suffixové stromy}{}
-V~této kapitole popí¹eme jednu datovou strukturu, pomocí které doká¾eme problémy týkající
+V~této kapitole popí¹eme jednu datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a tak je øe¹it v~lineárním èase.
\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.
-\s{Dùkaz:} Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
+\proof Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách si staèí reprezentovat
poèáteèní a koncovou pozicí v~$\sigma$.
\qed
\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~èase $\O(n)$.
-\s{Dùkaz:} Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
+\proof Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
\qed
\s{Aplikace:} (co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST)
\s{Vìta:} Suffixový strom s~dolarem pro slovo $\sigma$ je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
[Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mù¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé a naopak.]
-\s{Dùkaz:} Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
+\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
pro~$L_\sigma$ (to jsou vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy a pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
\s{Lemma:} Suffix $\beta$ slova $\sigma$ je vnoøený $\Leftrightarrow$ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert.$
-\s{Dùkaz:} Ka¾dý suffix vnoøeného suffixu je opìt vnoøený. \qed
+\proof Ka¾dý suffix vnoøeného suffixu je opìt vnoøený. \qed
\s{Lemma:} Pro ka¾dé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$
-\s{Dùkaz:} $\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
+\proof $\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoøeným suffixem v~$\sigma$, tak¾e
$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
\qed
\s{Lemma:} Suffix $\beta$ je zralý $\Leftrightarrow$ $\vert\alpha(\sigma)a\vert \ge \vert\beta a\vert > \vert\alpha(\sigma a)\vert$.
-\s{Dùkaz:} Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
+\proof Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, èemu¾ odpovídá druhá nerovnost.
\qed
% Zvyrazneny zacatek odstavce coby podnadpis (napr. vety apod.)
\def\s#1{\noindent {\bo #1}}
+% Dùkaz
+\def\proof{\noindent {\sl Dùkaz:} }
+
% Ctverecek na konci dukazu
%\def\qed{{\parfillskip=0pt\quad\hfil\hbox{\I QED} \par}}
\def\qed{\hfill\allowbreak\hfill\nobreak $\heartsuit$\par}
+% pokud je v seznamu:
+\def\qeditem{\hfill\rlap{\hskip\rightskip\llap{$\heartsuit$}}\par}
+
% Poznamky pod carou
\newcount\footcnt
\footcnt=0
projects / ga.git / commitdiff