Zjednoduseni formulace lemmatu.

diff --git a/5-mst/5-mst.tex b/5-mst/5-mst.tex
index 8dd362f15a7aad1091be85539e2fd1761ad8276f..6ef95c8c65048a82449128e9501856fe5b97cd6e 100644 (file)
--- a/5-mst/5-mst.tex
+++ b/5-mst/5-mst.tex
@@ -65,8 +65,8 @@ Po~kone
 \qed
 
 \s{Monotónní lemma o~swapování:}
-Jsou-li $T$ a $T'$ kostry bez lehkých hran, pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností
-swapù, pøi které váha kostry neklesá. (Od~$T'$ k~$T$ tedy také, tak¾e $w(T)=w(T')$.)
+Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
+pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
 
 \s{Dùkaz:}
 Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
@@ -75,9 +75,7 @@ $\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ b
 jeliko¾ $e'$ nemù¾e být lehká vzhledem k~$T$, tak¾e speciálnì $w(e')\ge w(e)$.
 
 Aby mohla indukce pokraèovat, potøebujeme je¹tì dokázat, ¾e ani k~nové kostøe neexistují
-lehké hrany  v~$T'\setminus \check{T}$.\foot{Ony nebudou lehké ani ostatní hrany, ale to
-pro indukci nepotøebujeme a museli bychom to dokazovat pracnìji.} K~tomu nám pomù¾e
-zvolit si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$ tu s~nejmen¹í vahou.
+lehké hrany v~$T'\setminus \check{T}$. K~tomu nám pomù¾e zvolit si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$ tu s~nejmen¹í vahou.
 Uva¾me nyní hranu~$f\in T'\setminus \check{T}$.
 Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou v~nové kostøe je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
 nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e$. První pøípad je triviální,
@@ -97,7 +95,8 @@ Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je leh
 \:$\Leftarrow$ Pokud k~$T$ neexistuje lehká hrana, je $T$ minimální.
 
 Uva¾me minimální kostru $T_{min}$. Podle právì dokázané implikace k~ní neexistují lehké hrany,
-tak¾e mù¾eme pou¾ít monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$ a z~nìj plyne $w(T)=w(T_{min})$.
+tak¾e mù¾eme pou¾ít monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$ a z~nìj plyne $w(T)\le w(T_{min})$,
+a~tedy $w(T)=w(T_{min})$.
 
 \endlist
 \qed