Karger-Stein: Opravy drobnych preklepu

diff --git a/12-randcut/12-randcut.tex b/12-randcut/12-randcut.tex
index c41434baa074fad7c6c9efd7f7cc5e4d7a67d89b..de98dd485af9dfe0771b9503c39d1610649bc2f4 100644 (file)
--- a/12-randcut/12-randcut.tex
+++ b/12-randcut/12-randcut.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 
 Nahlédnìme alespoò jednou kapitolou do~svìta pravdìpodobnostních algoritmù.
 Není toti¾ výjimkou, ¾e s~pomocí generátoru náhodných èísel vyøe¹íme nìkteré
-grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji ne¾ to dovedeme deterministicky.
+grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji, ne¾ to dovedeme deterministicky.
 Pravdìpodobnostní pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
 pro hledání minimálního øezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Pøipomeòme,
 ¾e s~deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
@@ -13,7 +13,7 @@ pomoc
 \h{Náhodné kontrakce}
 
 Uva¾ujme nejdøíve následující algoritmus, který náhodnì vybírá
-hrany a kontrahuje je, dokud poèet vrcholù neklesne na~danou konstantù~$\ell$.
+hrany a kontrahuje je, dokud poèet vrcholù neklesne na~danou konstantu~$\ell$.
 
 \s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
 \algo
@@ -31,7 +31,7 @@ v~grafu~$G$ (a
 mají nìjaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobnì je-li v~grafu~$G$
 øez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejnì velký øez v~$G/e$. Velikost
 minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne -- mù¾e pouze stoupnout, pokud
-zkontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,
+skontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,
 
 Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu~$G_0$ a oznaèíme~$k$ jeho
 velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu le¾ící v~tomto øezu, velikost
@@ -64,7 +64,7 @@ mnoho jin
 zopakujeme $K$-krát a pou¾ijeme nejmen¹í z~nalezených øezù. Ten u¾ bude
 minimální s~pravdìpodobností
 $$
-P_K \ge 1 - (1-c/n^2)^K \ge 1 - e^{-cK/n^2} = 1 - e^{-cK/n^2}.
+P_K \ge 1 - (1-c/n^2)^K \ge 1 - e^{-cK/n^2}.
 $$
 (Druhá nerovnost platí díky tomu, ¾e $e^{-x} \ge 1-x$ pro v¹echna $x\ge 0$.)
 Pokud tedy nastavíme poèet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, mù¾eme tím pravdìpodobnost
@@ -86,14 +86,14 @@ matice sousednosti druh
 mezi $u$ a~$v$. To opìt trvá èas $\O(n)$.
 
 Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~èase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
-$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~inverznì
+$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~pøevrácenì
 polynomiální pravdìpodobností chyby, nalezneme minimální øez v~èase $\O(n^4\log n)$.
 
 \h{Kargerùv-Steinùv algoritmus}
 
 Pøedchozí prostinký algoritmus mù¾eme je¹tì podstatnì vylep¹it.
 V¹imnìme si, ¾e bìhem kontrahování hran pravdìpodobnost toho, ¾e vybereme \uv{¹patnou}
-hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n^2$ a¾ po obrovské
+hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n$ a¾ po obrovské
 $2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Pomù¾e tedy zastavit kontrahování døíve
 a~pøejít na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.
 
@@ -150,9 +150,9 @@ $$\eqalign{
 z_i+1 &= {z_{i-1}^2 + 2z_{i-1} + 1 \over z_{i-1}}, \cr
 z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + {1\over z_{i-1}}. \cr
 }$$
-Jeliko¾ $z_0=4$, a~tím pádem $z_i\ge 1$ pro v¹echna~$i$, získáme z~poslední
-rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudí¾ $z_i \le 2i+4$.
-Zpìtnou substitucí obdr¾íme $g_i \ge 4/(2i+5)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
+Jeliko¾ $z_0=3$, a~tím pádem $z_i\ge 3$ pro v¹echna~$i$, získáme z~poslední
+rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudí¾ $z_i \le 2i+3$.
+Zpìtnou substitucí obdr¾íme $g_i \ge 4/(2i+4)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.
 
 Nyní si staèí vzpomenout, ¾e hloubka rekurze èiní $\O(\log n)$, a ihned získáme
 odhad pro pravdìpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Ná¹ algoritmus