fill p--reverse(p shifted (A-0.8[A,B]))--cycle withcolor 0.8white;
%fill p{dir (an+180)}..-0.35[A,B]..{dir an}cycle withcolor 0.8white;
draw p withpen boldpen;
+
+ pair C; C := point(0.9) of p;
+ drawarrow from(C,an+180,0.1cm)--from(C,an+180,1cm) withpen boldpen;
+ C := point(0.1) of p;
+ drawarrow from(C,an+180,0.1cm)--from(C,an+180,1cm) withpen boldpen;
+ label.rt(btex $p$ etex, point(0.15) of p);
draw A--B dashed evenly;
drawemptyvertex(A); drawemptyvertex(B);
label.llft(btex $a$ etex, A);
label.urt(btex $b$ etex, B);
+ label(btex $B_a$ etex, A+2(-0.1cm,0.5cm));
+ label(btex $B_b$ etex, B+2(-0.1cm,0.5cm));
endfig;
figtag("voroneho_diagram");
beginfig(3);
u := 1.35cm;
pair A[],B[];
- A0 := origin; A1 := (-u,-u); A2 := (1.3u,-u); A3 := (1.5u,0.7u); A4 := (0.6u,0.8u); A5 := (0.2u,1.9u); A6 := (-1.3u,1u);
+ A0 := origin; A1 := (-u,-u); A2 := (1.3u,-u); A3 := (1.50821u,0.7u); A4 := (0.6u,0.8u); A5 := (0.2u,1.9u); A6 := (-1.3u,1u);
def osa(expr a, b, an,l) = from(.5[a,b], angle(b-a)+an, l) enddef;
vardef prusecik_os(expr p,q,r) =
save b; pair b;
b
enddef;
B[0] := prusecik_os(A0,A1,A2); B[1] := prusecik_os(A0,A1,A6); B[2] := prusecik_os(A0,A4,A6); B[3] := prusecik_os(A4,A5,A6);
- B[4] := prusecik_os(A3,A4,A5); B[5] := prusecik_os(A0,A3,A4); B[6] := prusecik_os(A0,A2,A3);
+ B[4] := prusecik_os(A3,A4,A5); B[5] := prusecik_os(A0,A3,A4); B[6] := prusecik_os(A0,A2,A4);
draw osa(A1,A2,-90,2cm)--B[0]--B[1]--osa(A1,A6,90,1.3cm) withpen boldpen;
draw B[1]--B[2]--B[3]--osa(A6,A5,90,2cm) withpen boldpen;
draw B[3]--B[4]--osa(A3,A5,-90,2.7cm) withpen boldpen;
draw B[4]--B[5]--B[2] withpen boldpen;
draw B[5]--B[6]--osa(A2,A3,-90,1.3cm) withpen boldpen;
draw B[6]--B[0] withpen boldpen;
-
+
draw A0--A1--A2--A0--A6--A1 dashed evenly;
- draw A6--A5--A4--A0--A3--A2 dashed evenly;
+ draw A6--A5--A4--A0 dashed evenly; draw A3--A2 dashed evenly;
draw A3--A5 dashed evenly; draw A6--A4--A3 dashed evenly;
for i:=0 upto 6: draw vertex(B[i]); endfor
for i:=0 upto 6: drawemptyvertex(A[i]); endfor
endfig;
+
+figtag("pasy_mnohouhelniku");
+beginfig(4);
+ u := 1.35cm;
+ pair A[],B[];
+ A0 := origin; A1 := (-u,-u); A2 := (1.3u,-u); A3 := (1.50821u,0.7u); A4 := (0.6u,0.8u); A5 := (0.2u,1.9u); A6 := (-1.3u,1u);
+ def osa(expr a, b, an,l) = from(.5[a,b], angle(b-a)+an, l) enddef;
+ vardef prusecik_os(expr p,q,r) =
+ save b; pair b;
+ b = whatever[osa(p,q, 90,1cm), osa(p,q,-90,1cm)];
+ b = whatever[osa(q,r, 90,1cm), osa(q,r,-90,1cm)];
+ b
+ enddef;
+ def drawline(expr p) = draw ((-2.3u,p)--(2.5u,p)) cutbefore (D0--D1) cutafter (D2--D3) enddef;
+ B[0] := prusecik_os(A0,A1,A2); B[1] := prusecik_os(A0,A1,A6); B[2] := prusecik_os(A0,A4,A6); B[3] := prusecik_os(A4,A5,A6);
+ B[4] := prusecik_os(A3,A4,A5); B[5] := prusecik_os(A0,A3,A4); B[6] := prusecik_os(A0,A2,A4);
+
+ pair C; C := origin; for i:=0 upto 6: C := C + B[i]; endfor C := C/6;
+ pair D[];
+ D0 := C+(-2.25,2.25)*u; D1 := C+(-2.25,-2.25)*u; D2 := C+(2.25,-2.25)*u; D3 := C+(2.25,2.25)*u;
+
+ draw B[0]--B[1]--B[2]--B[3]--B[4]--B[5]--B[6]--B[0] withpen boldpen;
+ draw B[5]--B[2] withpen boldpen;
+ pair E; E := 0.6[B0,B4];
+ drawline(ypart(E));
+ drawline(ypart(E)) cutbefore (B2--B5) cutafter (B4--B5) dashed evenly withpen bolderpen;
+ drawemptyvertex(E);
+
+ for i:=0 upto 6: drawline(ypart(B[i])) dashed evenly; endfor
+ for i:=0 upto 6: draw vertex(B[i]); endfor
+endfig;
+
+figtag("upravy_stromu");
+beginfig(5);
+ u := 1cm;
+ draw (0,0.1u)--(2.05u,-2.05u)--(-2.05u,-2.05u)--cycle;
+ pair A[]; A0 := from(origin,-90,0.1u); A1 := from(A0, -70, 0.5u); A2 := from(A1, -110, 0.5u); A3 := from(A2, -80, 0.5u); A4 := from(A3, -120, 0.45u);
+ path p; p := createpath(A0--A1--A2--A3--A4);
+ path q; q := (p scaled 0.93 shifted (-0.15u,-0.15u))--(-1.85u,-1.95u)--cycle; fill q withcolor 0.8white; draw q;
+ q := (p scaled 0.93 shifted (0.15u,-0.15u))--(1.85u,-1.95u)--cycle; fill q withcolor 0.8white; draw q;
+ p := createpath(A0--from(A0,-110,0.1u)--A1--A2--A3--A4); draw p withpen boldpen;
+endfig;
+
+figtag("rychla_perzistence");
+beginfig(6);
+ u := 1cm;
+ def drawtable(expr p, lab, sa, sb) =
+ draw centersquare xscaled 2u yscaled (2u/3) shifted (p+(0,u/3));
+ draw centersquare xscaled 2u yscaled (2u/3) shifted (p-(0,u/3));
+ label(sa, p+(0,u/3));
+ label(sb, p-(0,u/3));
+ label.bot(lab, p-(0,2u/3));
+ enddef;
+
+ pair A[];
+ for i:=0 upto 2: A[i] := (0,2u) rotated 120i; endfor
+ drawtable(A1, btex $v$ etex, btex verze 2 etex, btex verze 1 etex);
+ drawtable(A2, btex $v'$ etex, btex verze 3 etex, "");
+ drawtable(A0, btex $u$ etex, btex verze 2 etex, btex verze 1 etex);
+
+ drawarrow from(A[2]+(0,u/3), 180, 7u/6)--from(A[1]+(0,u/3), 0, 7u/6);
+ drawarrow from(A[0]+(0,-u/3), 180, 7u/6)..{dir -90}from(A[1]+(-3u/4,2u/3), 90, u/6);
+ drawarrow from(A[0]+(0,u/3), 0, 7u/6)..{dir -90}from(A[2]+(3u/4,2u/3), 90, u/6);
+endfig;
end
\prednaska{8}{Geometrie vrací úder}{(sepsal Pavel Klavík)}
-\>Kdy¾ s geometrickými problémy poøádnì nezametete, ony vám to vrátí! Ale kdy¾ u¾ zametat, tak urèitì ne pod koberec a místo smetáku si na nì vezmìte
-pøímku. V této pøedná¹ce nás spolu s dvìma geometrickými problémy samozøejmì èeká pokraèování pohádky o ledních medvìdech.
+\>Kdy¾ s geometrickými problémy poøádnì nezametete, ony vám to vrátí! Ale kdy¾ u¾ zametat, tak urèitì ne pod koberec a místo smetáku pou¾ijte pøímku.
+V této pøedná¹ce nás spolu s dvìma geometrickými problémy samozøejmì èeká pokraèování pohádky o ledních medvìdech.
{\I Medvìdi vyøe¹ili rybí problém a hlad je ji¾ netrápí. Av¹ak na severu ne¾ijí sami, za sousedy mají Eskymáky. Proto¾e je rozhodnì lep¹í se sousedy
dobøe vycházet, jsou medvìdi a Eskymáci velcí pøátelé. Skoro ka¾dý se svými pøáteli rád schází. Av¹ak to je musí nejprve nalézt~\dots}
\centerline{Problém Eskymákù: Kde v¹ude se køí¾í medvìdí trasy?}
\bigskip
-Pro $n$ úseèek mù¾eme mít a¾ $\Omega(n^2)$ prùseèíkù.\foot{Zkuste takový pøíklad zkonstruovat.} Tedy optimální slo¾itosti by dosáhl i algoritmus, který
-by pro ka¾dou dvojici úseèek testoval, zda se protínají. Èasto se slo¾itost algoritmu posuzuje i vzhledem k velikosti výstupu $p$. Typické rozmístìní
-úseèek mívá toti¾ prùseèíkù spí¹e po málu. Pro tento pøípad si uká¾eme podstatnì rychlej¹í algoritmus.
+Pro $n$ úseèek mù¾e existovat a¾ $\Omega(n^2)$ prùseèíkù.\foot{Zkuste takový pøíklad zkonstruovat.} Tedy optimální slo¾itosti by dosáhl i algoritmus,
+který by pro ka¾dou dvojici úseèek testoval, zda se protínají. Èasovou slo¾itost algoritmu v¹ak posuzujeme i vzhledem k velikosti výstupu $p$. Typické
+rozmístìní úseèek mívá toti¾ prùseèíkù spí¹e pomálu. Pro tento pøípad si uká¾eme podstatnì rychlej¹í algoritmus.
Pro jednodu¹¹í popis pøedpokládejme, ¾e úseèky le¾í v obecné poloze. To znamená, ¾e ¾ádné tøi úseèky se neprotínají v jednom bodì a prùnikem ka¾dých
dvou úseèek je nejvý¹e jeden bod. Navíc pøedpokládejme, ¾e krajní bod ¾ádné úseèky nele¾í na jiné úseèce a také neexistují vodorovné úseèky. Na závìr si
Zajímavé události jsou {\I zaèátky úseèek}, {\I konce úseèek} a {\I prùseèíky úseèek}. Po utøídìní známe pro první dva typy událostí poøadí, v jakém
se objeví. Výskyty prùseèíkù budeme poèítat prùbì¾nì, jinak bychom celý problém nemuseli øe¹it.
-V ka¾dém kroku si pamatujeme prùøez $P$ -- posloupnost úseèek aktuálnì protnutých zametací pøímkou. Tyto úseèky máme utøídìné zleva doprava. Navíc si
+V ka¾dém kroku si pamatujeme {\I prùøez} $P$ -- posloupnost úseèek aktuálnì protnutých zametací pøímkou. Tyto úseèky máme utøídìné zleva doprava. Navíc si
udr¾ujeme kalendáø $K$ budoucích událostí. Z hlediska prùseèíkù budeme na úseèky nahlí¾et jako na polopøímky. Pro sousední dvojice úseèek si
udr¾ujeme, zda se jejich smìry nìkde protnou. Algoritmus pro hledání prùnikù úseèek funguje následovnì:
\::Navíc v¾dy pøepoèítáme prùseèíkové události, v¾dy maximálnì dvì odebereme a dvì nové pøidáme.
\endalgo
-Zbývá rozmyslet si, jaké datové struktury pou¾ijeme, abychom prùseèíky nalezli dostateènì rychle. Pro kalendáø pou¾ijeme napøíklad haldu. Kalendáø
-obsahuje v¾dy nejvý¹e $\O(n)$ událostí. Seznam úseèek si budeme udr¾ovat ve vyva¾ovaném stromì, který obsahuje nejvý¹e $\O(n)$ prvkù. Proto jednu
-událost kalendáøe doká¾eme vyøe¹it v èase $\O(\log n)$. V¹ech událostí je $\O(n+p)$, a tedy celková slo¾itost algoritmu je $\O((n+p) \log n)$.
+Zbývá rozmyslet si, jaké datové struktury pou¾ijeme, abychom prùseèíky nalezli dostateènì rychle. Pro kalendáø pou¾ijeme napøíklad haldu. Prùøez si
+budeme udr¾ovat ve vyhledávacím stromì. Poznamenejme, ¾e nemusíme znát souøadnice úseèek, staèí znát jejich poøadí, které se mezi jednotlivými
+událostmi nemìní. Pøi pøidávání úseèek procházíme stromem a porovnáváme souøadnice v prùøezu, které prùbì¾nì dopoèítáváme.
-Na závìr poznamenejme, ¾e Balaban vymyslel efektivnìj¹í algoritmus, který funguje v èase $\O(n \log n + p)$, ale je podstatnì komplikovanìj¹í.
-
-\h{Hledání nejbli¾¹ího bodu}
-
-Nyní se pokusíme vyøe¹it i problém druhé strany.
-
-{\I Eskymáci tráví vìt¹inu èasu doma, ve svém Iglù. Takový medvìd je na své toulce zasnì¾enou krajinou, kdy¾ tu se najednou rozhodne nav¹tívit nìjakého
-Eskymáka. Proto se podívá do své medvìdí mapy a nalezne nejbli¾¹í Iglù. Má to ale jeden háèek, medvìdi toti¾ neumí èíst v mapách!}
-
-Popí¹eme si nejprve, jak vypadá medvìdí mapa. Medvìdí mapa je {\I Voroného diagram}, co¾ je pro zadané body $x_1, \ldots, x_n$ rozdìlení roviny na
-oblasti $B_1, \ldots, B_n$, kde $B_i$ je mno¾ina bodù nejblí¾e k bodu $x_i$. Formálnì jsou tyto oblasti zadefinovány následovnì:
-$$B_i = \left\{y \in {\bb R}^2\ \vert\ \forall j:\rho(x_i,y) \le \rho(x_j,y)\right\}.$$
+Kalendáø obsahuje v¾dy nejvý¹e $\O(n)$ událostí. Podobnì prùøez obsahuje v ka¾dém okam¾iku nejvý¹e $\O(n)$ úseèek. Jednu událost kalendáøe doká¾eme
+o¹etøit v èase $\O(\log n)$. V¹ech událostí je $\O(n+p)$, a tedy celková slo¾itost algoritmu je $\O((n+p) \log n)$.
-Pro dva body $a$ a $b$, mno¾ina v¹ech bodù bli¾¹ích k $a$ ne¾ k $b$ tvoøí polorovinu ohranièenou osou úseèky $ab$. Ka¾dá z oblastí $B_i$ je tvoøena
-prùnikem $n-1$ polorovin, tedy je to (mo¾ná neomezený) mnohostìn.\foot{Sly¹eli jste u¾ o lineárním programování? Jak název vùbec nenapoví,
-{\I lineární programování} je teorii zabývající se øe¹ením a vlastnostmi soustav lineárních nerovnic. Lineární program je popsaný lineární funkcí, kterou chceme
-maximalizovat za podmínek popsaných soustavou lineárních nerovnic. Ka¾dá nerovnice urèuje poloprostor, ve kterém se pøípustná øe¹ení nachází.
-Proto¾e pøípustné øe¹ení splòuje v¹echny nerovnice zároveò, je mno¾ina v¹ech pøípustných øe¹ení (mo¾ná neomezený) mnohostìn. Mno¾iny $B_i$ lze
-snadno popsat jako mno¾iny v¹ech pøípustných øe¹ení lineárního programù, pomocí vý¹e ukázaných polorovin. Na závìr poznamenejme, ¾e dlouho otevøená
-otázka, zda lze nalézt optimální øe¹ení lineárního programu v polynomiálním èase, byla vyøe¹ena, je znám polynomiální algoritmu (kterému se øíká metoda
-vnitøního bodu). Na druhou stranu, pokud chceme najít pøípustné celoèíselné øe¹ení, je úloha NP-úplná a je jednoduché na ni pøevést spoustu
-optimalizaèních problémù. Dokázat v¹ak, ¾e tento problém le¾í v NP, není vùbec jednoduché.}
-Voroneho diagram je naznaèen na obrázku, oblasti $B_i$ jsou ohranièené èernými èárami.
+Slíbili jsme, ¾e popí¹eme, jak se vypoøádat s vý¹e uvedenými podmínkami na vstup. Události kalendáøe se stejnou $y$-ovou souøadnicí budeme tøídit v
+poøadí zaèátky, prùseèíky a konce úseèek. Tím nahlásíme i prùseèíky krajù úseèek a ani vodorovné úseèky nebudou vadit. Podobnì se není tøeba obávat
+prùseèíkù více úseèek v jednom bodì. Úseèky jdoucí stejným smìrem, jejich¾ prùnik je úseèka, jsou komplikovanìj¹í, ale lze jejich prùseèíky o¹etøit a
+vypsat tøeba souøadnice úseèky tvoøící jejich prùnik.
-\twofigures{8-geom2_2_polorovina.eps}{Body bli¾¹í k $a$ ne¾ $b$.}{1.25in}{8-geom2_3_voroneho_diagram.eps}{Voroneho diagram.}{2.5in}
-
-Prùnik dvou oblastí mù¾e být, v závislosti na jejich sousedìní, prázdný, bod, úseèka, nebo polopøímka. V na¹em uva¾ování uzavøeme celý Voroneho diagram do
-dostateènì velkého obdélníku. Proto¾e okraje mno¾in tvoøí rovinný graf, je podle Eulerovy formule (poèet hran je nejvý¹e $3n-6$) slo¾itost diagramu
-$\O(n)$. Voroneho diagram lze zkonstruovat v èase $\O(n \log n)$. Tím se zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno:
-Detaily naleznete v zápiscích z loòského ADSka.} ale uká¾eme si, jak zadaný Voroneho diagram pou¾ít k rychlému nalezení nejbli¾¹ího bodu.
-
-Máme zadaný rozklad roviny na konvexní mnohoúhelníky. Chceme pro jednotlivé body rychle rozhodovat, do kterého mnohoúhelníku patøí. Na¹e øe¹ení budeme
-optimalizovat pro jeden pevný rozklad a obrovské mno¾ství rùzných dotazù, které chceme co nejrychleji odpovìdìt.\foot{Pøedstavujme si to tøeba tak, ¾e
-medvìdùm zprovozníme server. Ten jednou schroustá celou mapu a potom co nejrychleji odpovídá na jejich dotazy. Medvìdi sice neumí èíst v mapách, ale
-pøipojit se na server hravì zvládnou!} Nejprve pøedzpracujeme Voroneho diagram a vytvoøíme strukturu, která nám umo¾ní rychlé dotazy na jednotlivé
-body.
-
-Uka¾me si nejprve øe¹ení bez pøedzpracování. Rovinu budeme zametat pøímkou shora dolù. Podobnì jako pøi hledání prùseèíkù úseèek, udr¾ujeme si prùøez
-pøímky. V¹imnìte si, ¾e tento prùøez se mìní jenom ve vrcholech mnohoúhelníkù. Ve chvíli, kdy narazíme na hledaný bod, podíváme se, do kterého
-intervalu v prùøezu patøí, a ten nahlásíme. Prùøez budeme uchovávat ve vyhledávacím stromì. Takové øe¹ení má slo¾itost $\O(n \log n)$ na dotaz, co¾ je
-hroznì pomalé.
+Na závìr poznamenejme, ¾e Balaban vymyslel efektivnìj¹í algoritmus, který funguje v èase $\O(n \log n + p)$, ale je podstatnì komplikovanìj¹í.
-Pøedzpracování bude fungovat následovnì. Rozøe¾eme si celou rovinu na pásy, bìhem kterých se prùøez pøímkou nemìní. Pro ka¾dý z nich si budeme
-pamatovat stav stromu, ve kterém se nacházel prùøez pøi procházení tímto pásem. Kdy¾ chceme lokalizovat nìjaký bod, nejprve pùlením nalezneme pás, v
-kterém le¾í. Poté polo¾íme dotaz na pøíslu¹ný strom. Dotaz doká¾eme zodpovìdìt v èase $\O(\log n)$.
+\h{Hledání nejbli¾¹ích bodù a Voroného diagramy}
+
+Nyní se pokusíme vyøe¹it i problém druhé strany -- pomù¾eme medvìdùm nalézt Eskymáky.
+
+{\I Eskymáci tráví vìt¹inu èasu doma, ve svém iglù. Takový medvìd je na své toulce zasnì¾enou krajinou, kdy¾ tu se najednou rozhodne nav¹tívit nìjakého
+Eskymáka. Proto se podívá do své medvìdí mapy a nalezne nejbli¾¹í iglù. Má to ale jeden háèek, iglù jsou spousty a medvìd by dávno usnul, ne¾ by
+nejbli¾¹í objevil.}\foot{Zlí jazykové by øekli, ¾e medvìdi jsou moc líní a nebo v mapách ani èíst neumí!}
+
+Popí¹eme si nejprve, jak vypadá medvìdí mapa. Medvìdí mapa obsahuje celou Arktidu a jsou v ní vyznaèena v¹echna iglù. Navíc obsahuje vyznaèené
+oblasti tvoøené body, které jsou nejblí¾e k jednomu danému iglù. Takovému schématu se øíká {\I Voroného diagram}. Ten pro zadané body $x_1, \ldots, x_n$
+obsahuje rozdìlení roviny na oblasti $B_1, \ldots, B_n$, kde $B_i$ je mno¾ina bodù, které jsou blí¾e k $x_i$ ne¾ k ostatním bodùm $x_j$. Formálnì jsou
+tyto oblasti definovány následovnì:
+$$B_i = \left\{y \in {\bb R}^2\ \vert\ \forall j:\rho(x_i,y) \le \rho(x_j,y)\right\},$$
+kde $\rho(x,y)$ znaèí vzdálenost bodù $x$ a $y$.
+
+Uká¾eme si, ¾e Voroného diagram má pøekvapivì jednoduchou strukturu. Nejprve uva¾me, jak budou vypadat oblasti $B_a$ a $B_b$ pouze pro dva body
+$a$ a $b$, jak je naznaèeno na obrázku. V¹echny body stejnì vzdálené od $a$ i $b$ le¾í na pøímce $p$ -- ose úseèky $ab$. Oblasti $B_a$ a $B_b$
+jsou tedy tvoøeny polorovinami ohranièenými osou $p$. Tedy obecnì tvoøí mno¾ina v¹ech bodù bli¾¹ích k $x_i$ ne¾ k $x_j$ nìjakou polorovinu. Oblast
+$B_i$ obsahuje v¹echny body, které jsou souèasnì bli¾¹í k $x_i$ ne¾ ke v¹em ostatním bodùm $x_j$ -- tedy le¾í ve v¹ech polorovinách souèasnì.
+Ka¾dá z oblastí $B_i$ je tvoøena prùnikem $n-1$ polorovin, tedy je to (mo¾ná neomezený) mnohoúhelník.\foot{Sly¹eli jste u¾ o lineárním programování?
+Jak název vùbec nenapoví, {\I lineární programování} je teorii zabývající se øe¹ením a vlastnostmi soustav lineárních nerovnic. Lineární program je
+popsaný lineární funkcí, kterou chceme maximalizovat za podmínek popsaných soustavou lineárních nerovnic. Ka¾dá nerovnice urèuje poloprostor, ve
+kterém se pøípustná øe¹ení nachází. Proto¾e pøípustné øe¹ení splòuje v¹echny nerovnice zároveò, je mno¾ina v¹ech pøípustných øe¹ení (mo¾ná neomezený)
+mnohostìn, obecnì ve veliké dimenzi ${\bb R}^d$, kde $d$ je poèet promìnných. Mno¾iny $B_i$ lze snadno popsat jako mno¾iny v¹ech pøípustných øe¹ení
+lineárních programù pomocí vý¹e ukázaných polorovin. Na závìr poznamenejme, ¾e dlouho otevøená otázka, zda lze nalézt optimální øe¹ení lineárního
+programu v polynomiálním èase, byla pozitivnì vyøe¹ena -- je znám polynomiální algoritmus, kterému se øíká {\I metoda vnitøního bodu}. Na druhou
+stranu, pokud chceme najít pøípustné celoèíselné øe¹ení, je úloha NP-úplná a je jednoduché na ni pøevést spoustu optimalizaèních problémù. Dokázat
+NP-tì¾kost není pøíli¹ tì¾ké. Na druhou stranu ukázat, ¾e tento problém le¾í v NP, není vùbec jednoduché.}
+Pøíklad Voroného diagram je naznaèen na obrázku. Zadané body jsou oznaèeny prázdnými krou¾ky a hranice oblastí $B_i$ jsou vyznaèené èernými èárami.
+
+\twofigures{8-geom2_2_polorovina.eps}{Body bli¾¹í k $a$ ne¾ $b$.}{1.25in}
+ {8-geom2_3_voroneho_diagram.eps}{Voroného diagram.}{2.5in}
+
+Není náhoda, pokud vám hranice oblastí pøipomíná rovinný graf. Jeho vrcholy jsou body, které jsou stejnì vzdálené od alespoò tøí zadaných bodù. Jeho
+stìny jsou oblasti $B_i$. Jeho hrany jsou tvoøeny èástí hranice mezi dvìma oblastmi -- body, které mají dvì oblasti spoleèné. Obecnì prùnik dvou
+oblastí mù¾e být, v závislosti na jejich sousedìní, prázdný, bod, úseèka, polopøímka nebo dokonce celá pøímka. V dal¹ím textu si pøedstavme, ¾e celý
+Voroného diagram uzavøeme do dostateènì velkého obdélníka,\foot{Pøeci jenom i celá Arktida je omezenì velká.} èím¾ dostaneme omezený rovinný graf.
+
+Poznamenejme, ¾e pøeru¹ované èáry tvoøí hrany duálního rovinného grafu s vrcholy v zadaných bodech. Hrany spojují sousední body na kru¾nicích, které
+obsahují alespoò tøi ze zadaných bodù. Napøíklad na obrázku dostáváme skoro samé trojúhelníky, proto¾e vìt¹ina kru¾nic obsahuje pøesnì tøi zadané
+body. Av¹ak nalezneme i jeden ètyøúhelník, jeho¾ vrcholy le¾í na jedné kru¾nici.
+
+Zkusíme nyní odhadnout, jak velký je rovinný graf popisující Voroného diagram. Podle slavné Eulerovy formule má ka¾dý rovinný graf nejvý¹e lineárnì
+mnoho vrcholù, hran a stìn -- pro $v$ vrcholù, $e$ hran a $f$ stìn je $e \le 3v-6$ a navíc $v+f = e+2$. Tedy slo¾itost diagramu je lineární vzhledem k
+poètu zadaných bodù $n=f$, $\O(n)$. Navíc Voroného diagram lze zkonstruovat v èase $\O(n \log n)$, napøíklad pomocí zametání roviny nebo metodou
+rozdìl a panuj. Tím se v¹ak zabývat nebudeme,\foot{Pro zvídavé, kteøí nemají zkou¹ku druhý den ráno: Detaily naleznete v zápiscích z pøedloòského
+ADSka.} místo toho si uká¾eme, jak v ji¾ spoèteném Voroného diagramu rychlé hledat nejbli¾¹í body.
+
+\h{Lokalizace bodu uvnitø mnohoúhelníkové sítì}
+
+Problém medvìdù je najít v medvìdí mapì co nejrychleji nejbli¾¹í iglù. Máme v rovinì sí» tvoøenou mnohoúhelníky. Chceme pro jednotlivé body rychle
+rozhodovat, do kterého mnohoúhelníku patøí. Na¹e øe¹ení budeme optimalizovat pro jeden pevný rozklad a obrovské mno¾ství rùzných dotazù, které chceme
+co nejrychleji zodpovìdìt.\foot{Pøedstavujme si to tøeba tak, ¾e medvìdùm zprovozníme server. Ten jednou schroustá celou mapu a potom co nejrychleji
+odpovídá na jejich dotazy. Medvìdi tak nemusí v mapách nic hledat, staèí se pøipojit na server a poèkat na odpovìï.} Nejprve pøedzpracujeme zadané
+mnohoúhelníky a vytvoøíme strukturu, která nám umo¾ní rychlé dotazy na jednotlivé body.
+
+Uka¾me si pro zaèátek øe¹ení bez pøedzpracování. Rovinu budeme zametat pøímkou shora dolù. Podobnì jako pøi hledání prùseèíkù úseèek, udr¾ujeme si prùøez
+pøímkou. V¹imnìte si, ¾e tento prùøez se mìní jenom ve vrcholech mnohoúhelníkù. Ve chvíli, kdy narazíme na hledaný bod, podíváme se, do kterého
+intervalu v prùøezu patøí. To nám dá mnohoúhelník, který nahlásíme. Prùøez budeme uchovávat ve vyhledávacím stromì. Takové øe¹ení má slo¾itost $\O(n
+\log n)$ na dotaz, co¾ je hroznì pomalé.
+
+Pøedzpracování bude fungovat následovnì. Jak je naznaèeno na obrázku pøeru¹ovanými èárami, rozøe¾eme si celou rovinu na pásy, bìhem kterých se prùøez
+pøímkou nemìní. Pro ka¾dý z nich pamatujeme stav stromu popisující, jak vypadal prùøez pøi procházení tímto pásem. Kdy¾ chceme lokalizovat nìjaký bod,
+nejprve pùlením nalezneme pás, v kterém se nachází. Poté polo¾íme dotaz na pøíslu¹ný strom. Strom procházíme a po cestì si dopoèítáme souøadnice
+prùøezu, a¾ lokalizujeme správný interval v prùøezu. Dotaz doká¾eme zodpovìdìt v èase $\O(\log n)$. Hledaný bod je na obrázku naznaèen prázdným
+koleèkem a nalezený interval v prùøezu je vyta¾ený tuènì.
+
+\figure{8-geom2_4_pasy_mnohouhelniku.eps}{Mnohoúhelníky rozøezané na pásy.}{2.5in}
Jenom¾e na¹e øe¹ení má jeden háèek: Jak zkonstruovat jednotlivé verze stromu dostateènì rychle? K tomu napomohou {\I èásteènì perzistentní} datové
-struktury. Pod perzistencí se myslí, ¾e struktura si umo¾òuje uchovávat svoji historii. Èásteènì perzistentní struktury nemohou svoji historii
+struktury. Pod perzistencí se myslí, ¾e struktura umo¾òuje uchovávat svoji historii. Èásteènì perzistentní struktury nemohou svoji historii
modifikovat.
Popí¹eme si, jak vytvoøit perzistentní strom s pamìtí $\O(\log n)$ na zmìnu. Pokud provádíme operaci na stromì, mìní se jenom malá èást stromu.
-Napøíklad pøi vkládání do stromu se mìní jenom prvky na jedné cestièce z koøene do listu (a pøípadnì rotací jejím nejbli¾¹ím okolí). Proto si ulo¾íme
-upravenou cestièku a zbytek stromu budeme sdílet s pøedchozí verzí. Mimochodem zmìny ka¾dé operace se slo¾itostí $\O(k)$ lze zapsat v pamìti
-$\O(k)$, prostì operace nemá tolik èasu, aby mohla pozmìnit pøíli¹ velikou èást stromu.
+Napøíklad pøi vkládání do stromu se mìní jenom prvky na jedné cestièce z koøene do listu (a pøípadnì rotací i na jejím nejbli¾¹ím okolí). Proto si
+ulo¾íme upravenou cestièku a zbytek stromu budeme sdílet s pøedchozí verzí. Na obrázku je vyznaèena cesta, její¾ vrcholy jsou upravovány. ©edì
+oznaèené podstromy navì¹ené na tuto cestu se nemìní, a proto na nì staèí zkopírovat ukazatele. Mimochodem zmìny ka¾dé operace se slo¾itostí $\O(k)$
+lze zapsat v pamìti $\O(k)$, prostì operace nemá tolik èasu, aby mohla pozmìnit pøíli¹ velikou èást stromu.
+
+\figure{8-geom2_5_upravy_stromu.eps}{Jedna operace mìní pouze okolí cesty -- navì¹ené podstromy se nemìní.}{2in}
-Celková èasová slo¾itost je tedy $\O(n \log n)$ na pøedzpracování Voroneho diagramu a vytvoøení persistentního stromu. Kvùli persistenci potøebuje
+Celková èasová slo¾itost je tedy $\O(n \log n)$ na pøedzpracování Voroného diagramu a vytvoøení persistentního stromu. Kvùli persistenci potøebuje
toto pøedzpracování pamì» $\O(n \log n)$. Na dotaz spotøebujeme èas $\O(\log n)$, nebo» nejprve vyhledáme pùlením pøíslu¹ný pás a poté polo¾íme dotaz
-na pøíslu¹nou verzi stromu. Rychleji ani celou operaci provést nepùjde, proto¾e potøebujeme utøídit souøadnice bodù. Na závìr poznamenejme, ¾e se umí
-provést vý¹e uvedená persistence vyhledávacího stromu v amortizované pamìti $\O(1)$ na zmìnu. My¹lenka je, ¾e pou¾ijeme stromy, které pøi insertu a
-deletu provádí amortizovanì jenom konstantnì mnoho úprav své struktury. To nám napøíklad zaruèí 2-4 stromy z pøedná¹ky a podobnou vlastnost lze
-dokázat i o èervenoèerných stromech. Pøi zmìnì potom nebudeme upravovat celou cestu, ale upravíme jenom jednotlivé vrcholy, kterých se zmìna týká.
+na pøíslu¹nou verzi stromu. Rychleji to ani provést nepùjde, nebo» potøebujeme utøídit souøadnice bodù.
+
+\s{Lze to lépe?} Na závìr poznamenejme, ¾e se umí provést vý¹e popsaná persistence vyhledávacího stromu v amortizované pamìti $\O(1)$ na zmìnu. Ve
+struènosti naznaèíme my¹lenku. Pou¾ijeme stromy, které pøi insertu a deletu provádí amortizovanì jenom konstantnì mnoho úprav své struktury. To nám
+napøíklad zaruèí 2-4 stromy z pøedná¹ky a podobnou vlastnost lze dokázat i o èerveno-èerných stromech. Pøi zmìnì potom nebudeme upravovat celou cestu,
+ale upravíme jenom jednotlivé vrcholy, kterých se zmìna týká. Ka¾dý vrchol stromu si v sobì bude pamatovat a¾ dvì své verze. Pokud chceme vytvoøit
+tøetí verzi, vrchol zkopírujeme stranou. To v¹ak mù¾e vyvolat zmìny v jeho rodièích a¾ do koøene. Situace je naznaèena na obrázku. Pøi vytvoøení nové
+verze $3$ pro vrcholu $v$ vytvoøíme jeho kopii $v'$, do které ulo¾íme tuto verzi. Av¹ak musíme také zmìnit rodièe $u$, kterému vytvoøíme novou verzi
+ukazující na $v'$. Abychom dosáhli ký¾ené konstantní pamì»ové slo¾itosti, pomù¾e potenciálový argument -- zmìn se provádí amortizovanì jenom
+konstantnì mnoho. Navíc si pro ka¾dou verzi pamatujeme její koøen, ze kterého máme dotaz spustit.
+
+\figure{8-geom2_6_rychla_perzistence.eps}{Vytvoøení nové verze vrcholu.}{2in}
\bye
%!PS
-%%BoundingBox: -82 -96 91 107
-%%HiResBoundingBox: -81.19815 -95.708 90.92032 106.73361
+%%BoundingBox: -82 -96 92 107
+%%HiResBoundingBox: -81.19815 -95.708 91.0566 106.89594
%%Creator: MetaPost 0.993
-%%CreationDate: 2009.12.16:0304
+%%CreationDate: 2010.01.10:1711
%%Pages: 1
%%BeginProlog
%%EndProlog
-12.65121 41.49461 lineto
-50.21571 104.10237 lineto stroke
newpath -12.65121 41.49461 moveto
-43.8882 62.05504 lineto
-84.44029 105.9864 lineto stroke
-newpath 43.8882 62.05504 moveto
-36.59952 -3.53217 lineto
+44.01595 62.10149 lineto
+84.41986 106.14873 lineto stroke
+newpath 44.01595 62.10149 moveto
+36.77472 -3.66359 lineto
-13.44022 33.99786 lineto stroke
-newpath 36.59952 -3.53217 moveto
-36.70383 -3.7555 lineto
-90.17311 -10.04572 lineto stroke
-newpath 36.70383 -3.7555 moveto
+newpath 36.77472 -3.66359 moveto
+36.77475 -3.6633 lineto
+90.30939 -10.22003 lineto stroke
+newpath 36.77475 -3.6633 moveto
5.74025 -44.00813 lineto stroke
0 0.5 dtransform truncate idtransform setlinewidth pop
[3 3 ] 0 setdash
newpath -49.74837 38.26788 moveto
7.65346 72.70874 lineto
22.96097 30.61443 lineto
-0 0 lineto
-57.40182 26.7874 lineto
+0 0 lineto stroke
+newpath 57.71597 26.7874 moveto
49.74837 -38.26788 lineto stroke
-newpath 57.40182 26.7874 moveto
+newpath 57.71597 26.7874 moveto
7.65346 72.70874 lineto stroke
newpath -49.74837 38.26788 moveto
22.96097 30.61443 lineto
-57.40182 26.7874 lineto stroke
+57.71597 26.7874 lineto stroke
0 3.98505 dtransform truncate idtransform setlinewidth pop [] 0 setdash
newpath 5.74025 -44.00813 moveto 0 0 rlineto stroke
newpath -39.01674 0.74886 moveto 0 0 rlineto stroke
newpath -13.44022 33.99786 moveto 0 0 rlineto stroke
newpath -12.65121 41.49461 moveto 0 0 rlineto stroke
-newpath 43.8882 62.05504 moveto 0 0 rlineto stroke
-newpath 36.59952 -3.53217 moveto 0 0 rlineto stroke
-newpath 36.70383 -3.7555 moveto 0 0 rlineto stroke
+newpath 44.01595 62.10149 moveto 0 0 rlineto stroke
+newpath 36.77472 -3.66359 moveto 0 0 rlineto stroke
+newpath 36.77475 -3.6633 moveto 0 0 rlineto stroke
1 1 1 setrgbcolor
newpath 1.99252 0 moveto
1.99252 0.52847 1.78256 1.03523 1.4089 1.4089 curveto
51.53093 -39.30312 51.74089 -38.79636 51.74089 -38.26788 curveto closepath
stroke
1 1 1 setrgbcolor
-newpath 59.39435 26.7874 moveto
-59.39435 27.31587 59.18439 27.82263 58.81073 28.1963 curveto
-58.43706 28.56996 57.9303 28.77992 57.40182 28.77992 curveto
-56.87335 28.77992 56.3666 28.56996 55.99292 28.1963 curveto
-55.61926 27.82263 55.4093 27.31587 55.4093 26.7874 curveto
-55.4093 26.25893 55.61926 25.75217 55.99292 25.3785 curveto
-56.3666 25.00484 56.87335 24.79488 57.40182 24.79488 curveto
-57.9303 24.79488 58.43706 25.00484 58.81073 25.3785 curveto
-59.18439 25.75217 59.39435 26.25893 59.39435 26.7874 curveto closepath fill
+newpath 59.7085 26.7874 moveto
+59.7085 27.31587 59.49854 27.82263 59.12488 28.1963 curveto
+58.7512 28.56996 58.24445 28.77992 57.71597 28.77992 curveto
+57.1875 28.77992 56.68074 28.56996 56.30707 28.1963 curveto
+55.93341 27.82263 55.72345 27.31587 55.72345 26.7874 curveto
+55.72345 26.25893 55.93341 25.75217 56.30707 25.3785 curveto
+56.68074 25.00484 57.1875 24.79488 57.71597 24.79488 curveto
+58.24445 24.79488 58.7512 25.00484 59.12488 25.3785 curveto
+59.49854 25.75217 59.7085 26.25893 59.7085 26.7874 curveto closepath fill
0 0 0 setrgbcolor
-newpath 59.39435 26.7874 moveto
-59.39435 27.31587 59.18439 27.82263 58.81073 28.1963 curveto
-58.43706 28.56996 57.9303 28.77992 57.40182 28.77992 curveto
-56.87335 28.77992 56.3666 28.56996 55.99292 28.1963 curveto
-55.61926 27.82263 55.4093 27.31587 55.4093 26.7874 curveto
-55.4093 26.25893 55.61926 25.75217 55.99292 25.3785 curveto
-56.3666 25.00484 56.87335 24.79488 57.40182 24.79488 curveto
-57.9303 24.79488 58.43706 25.00484 58.81073 25.3785 curveto
-59.18439 25.75217 59.39435 26.25893 59.39435 26.7874 curveto closepath stroke
+newpath 59.7085 26.7874 moveto
+59.7085 27.31587 59.49854 27.82263 59.12488 28.1963 curveto
+58.7512 28.56996 58.24445 28.77992 57.71597 28.77992 curveto
+57.1875 28.77992 56.68074 28.56996 56.30707 28.1963 curveto
+55.93341 27.82263 55.72345 27.31587 55.72345 26.7874 curveto
+55.72345 26.25893 55.93341 25.75217 56.30707 25.3785 curveto
+56.68074 25.00484 57.1875 24.79488 57.71597 24.79488 curveto
+58.24445 24.79488 58.7512 25.00484 59.12488 25.3785 curveto
+59.49854 25.75217 59.7085 26.25893 59.7085 26.7874 curveto closepath stroke
1 1 1 setrgbcolor
newpath 24.95349 30.61443 moveto
24.95349 31.1429 24.74353 31.64966 24.36987 32.02333 curveto
projects / ads2.git / commitdiff