\prednaska{12}{Aproximaèní algoritmy}{\vbox{\hbox{(F. Ha¹ko, J. Menda, M. Mare¹,}
\hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}
-\>Na~minulých pøedná¹kách jsme se zabývali rùznými tì¾kými rozhodovacími
-problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v~praxi vypoøádat s~øe¹ením tìchto
+\>Na~minulých pøedná¹kách jsme se zabývali rùznými tì¾kými rozhodovacími
+problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v~praxi vypoøádat s~øe¹ením tìchto
problémù.
\h{Co dìlat, kdy¾ potkáme NP-úplný problém}
speciálnìj¹í pøípady, které mohou být øe¹itelné v~polynomiálním èase.
\:Spokojit se s~pøibli¾ným øe¹ením, (pou¾ít aproximaèní algoritmus).
\:Pou¾ít heuristiku -- napøíklad genetické algoritmy nebo randomizované algoritmy.
-Velmi pomoci mù¾e i jen výhodnìj¹í poøadí pøi~prohledávání èi oøezávání nìkterých
+Velmi pomoci mù¾e i jen výhodnìj¹í poøadí pøi~prohledávání èi oøezávání nìkterých
napohled nesmyslných vìtví výpoètu.
\endalgo
\>Èasto si vystaèíme s~vyøe¹ením speciálního pøípadu NP-úplného problému, který
le¾í v~$P$. Napøíklad pøi øe¹ení grafové úlohy nám mù¾e staèit øe¹ení
pro~speciální druh grafù (stromy, bipartitní grafy, \dots). Barvení grafu je lehké
-napø. pro~dvì barvy èi pro intervalové grafy. 2-SAT, jako speciální pøípad SATu,
+napø. pro~dvì barvy èi pro intervalové grafy. 2-SAT, jako speciální pøípad SATu,
se dá øe¹it v~lineárním èase.
\>Uká¾eme si dva takové pøípady (budeme øe¹ení hledat, nejen rozhodovat, zda existuje)
Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
-slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
+slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
c_i$.
\>Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
$A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
-A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
+A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
$$
A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
$$
-Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
+Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.
\>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
-To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí
+To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí
èas $\O(C)$.
\>A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
prvku k~prvnímu.
\>Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
-problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
-být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
-èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
-algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
+problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
+být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
+èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
+algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).
\s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
-spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
-výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
+spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
+výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.
\>Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ sama existence
hamiltonovské kru¾nice je NP-úplná. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
-w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
+w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
aproximaèního algoritmu implikovala ${\rm P=NP }$.
-\>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
+\>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
Existuje pìkný algoritmus, který najde hamiltonovskou kru¾nici o délce $\leq
-2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
+2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnnì mù¾eme
pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
Najdeme nejmen¹í kostru grafu a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní -- kostru
zakoøeníme a projdeme jako strom do hloubky, pøièem¾ se zastavíme a¾ v koøeni po projití
-v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
+v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
nìkteré vrcholy i hrany vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se.
-Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
-rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
-hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
+Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
+rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
+hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
(jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
-Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
-sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
-vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
-nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
-máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
+Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
+sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
+vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
+nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
+máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.
Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
-grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
-jako minimální kostra $T$. Tedy optimální Hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
+grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
+jako minimální kostra $T$. Tedy optimální Hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
-dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
-algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
-od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
-1,5-aproximaènì. Ve~speciálních metrických prostorech (tøeba v euklidovské
-rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
-libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
+dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
+algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
+od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
+$1{,}5$-aproximace. Ve~nìkterých metrických prostorech (tøeba v euklidovské
+rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
+libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
po algoritmu chceme, tím déle to bude trvat.}
\>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}
na~Hamiltonovsku kru¾nici.
\qed
-\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
-platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
+\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
+platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
mít hranu 1, neexistující váhu 2.
\h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
\s{Základní my¹lenka:}
Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < c_{max}$
-a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
+a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
$M/c_{max}$).
Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
-ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$ (prvky z intervalu
+ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$ (prvky z intervalu
$[i\cdot c_{max}/M,(i+1)\cdot c_{max}/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
tedy zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù pak
nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
{\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
-schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
-Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
+schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
+Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
$1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není. Shròme, co jsme zjistili, do následující vìty:
\s{Vìta:}
projects / ads2.git / commitdiff