\:{\I Fibonacciho halda} -- \<Insert> a \<Decrease> stojí $\O(1)$, \<ExtractMin> má slo¾itost
$\O(\log n)$ [v¹e amortizovanì]. Dijkstrùv algoritmus tedy dobìhne v~èase $\O(m + n\log n)$.
To je lineární pro grafy s~hustotou $\Omega(\log n)$.
-\:{\I Datové struktury pro èísla omezeného rozsahu} -- prozkoumáme vzápìtí.
+\:{\I Monotónní haldy} -- mù¾eme pou¾ít nìjakou jinou haldu, která vyu¾ívá toho,
+ ¾e posloupnost odebíraných prvkù neklesající. Pro celá èísla na~RAMu to mù¾e
+ být napøíklad Thorupova halda (REF) se slo¾itostí $\O(\log\log n)$ na~\<ExtractMin>
+ a $\O(1)$ u~ostatních operací. Dijkstra tedy bì¾í v~$\O(m + n\log\log n)$.
+\:{\I Datové struktury pro omezené universum} -- prozkoumáme vzápìtí.
\endlist
\>\s{Cvièení:}
na~kterém Dijkstrùv algoritmus sel¾e.
\:Rozmyslete si, ¾e pokud nevyu¾ijeme nìjaké speciální vlastnosti èísel (celoèíselnost,
omezený rozsah), je mez $\O(m+n\log n)$ nejlep¹í mo¾ná, proto¾e Dijkstrovým algoritmem
- mù¾eme tøídit $n$-tici èísel.
+ mù¾eme tøídit $n$-tici èísel. Thorup dokonce dokázal (REF), ¾e z~ka¾dého tøídícího algoritmu
+ se slo¾itostí $nT(n)$ mù¾eme odvodit monotónní haldu se slo¾itostí mazání $\O(T(n))$.
\:Jsou-li délky hran celoèíselné, mù¾eme se na Dijkstrùv algoritmus dívat i takto:
Pøedstavme si, ¾e ka¾dou hranu nahradíme cestou tvoøenou hranami jednotkové délky
a na vzniklý neohodnocený graf spustíme prohledávání do~¹íøky. To samozøejmì vydá
Doka¾te, ¾e tento algoritmus je ekvivalentní s~Dijkstrovým.
\endlist
+\h{Celoèíselné délky}
+
+Uva¾ujme nyní grafy, v~nich¾ jsou v¹echny délky hran nezáporná celá èísla omezená
+nìjakou konstantou~$L$. V¹echny vzdálenosti jsou tedy omezeny èíslem~$nL$, tak¾e
+nám staèí datová struktura schopná uchovávat takto omezená celá èísla.
+
+Pou¾ijeme jednoduchou pøihrádkovou strukturu: pole indexované hodnotami od~0 do~$nL$,
+jeho $i$-tý prvek bude obsahovat seznam vrcholù, jejich¾ ohodnocení je rovno~$i$.
+Operace \<Insert> a \<Decrease> zvládneme v~konstantním èase, budeme-li si u~ka¾dého
+prvku pamatovat jeho polohu v~seznamu. Operace \<ExtractMin> potøebuje najít první
+neprázdnou pøihrádku, ale jeliko¾ víme, ¾e posloupnost odebíraných minim je monotónní,
+staèí hledat od místa, kde se hledání zastavilo minule. V¹echna hledání pøihrádek
+tedy zaberou dohromady $\O(nL)$ a celý Dijkstrùv algoritmus bude trvat $\O(nL + m)$.
+
+Prostorová slo¾itost $\O(nL+m)$ je nevalná, ale mù¾eme ji jednoduchým trikem
+sní¾it: V¹imneme si, ¾e v¹echna koneèná ohodnocení vrcholù nemohou být vìt¹í
+ne¾ aktuální minimum zvìt¹ené o~$L$. Jinými slovy v¹echny neprázdné pøihrádky
+se nacházejí v~úseku pole dlouhém~$L+1$, tak¾e staèí indexovat modulo~$L+1$.
+Pouze si musíme dávat pozor, abychom správnì poznali, kdy se struktura
+vyprázdnila, co¾ zjistíme napøíklad pomocí poèítadla otevøených vrcholù. Èas si
+asymptoticky nezhor¹íme, prostor klesne na~$\O(L+m)$.
+
+Podobný trik mù¾eme pou¾ít i pro libovolnou jinou datovou strukturu: rozsah èísel
+rozdìlíme na~\uv{okna} velikosti~$L$ (v~$i$-tém oknì jsou èísla $Li,\ldots,L(i+1)-1$).
+V~libovolné chvíli mohou tedy být neprázdná nejvý¹e dvì okna. Staèí nám proto
+poøídit si dvì struktury pro ukládání èísel v~rozsahu $0,\ldots,L-1$ -- jedna
+z~nich bude reprezentovat aktuální okno (to, v~nìm¾ le¾elo minulé minimum),
+druhá okno bezprostøednì následující. Minimum ma¾eme z~první struktury; pokud
+u¾ je prázdná, obì struktury prohodíme. Operace \<Insert> podle hodnoty urèí,
+do~které struktury se má vkládat. S~operací \<Decrease> je to slo¾itìj¹í --
+hodnota z~vy¹¹í struktury mù¾e pøeskoèit do té ni¾¹í, ale v~takovém pøípadì
+ji ve~vy¹¹í struktuøe vyma¾eme (to je \<Decrease> na $-\infty$ následovaný
+\<ExtractMin>em) a do~ni¾¹í vlo¾íme. To se ka¾dému prvku mù¾e pøihodit nejvý¹e
+jednou, tak¾e stále platí, ¾e se ka¾dý prvek úèastní $\O(1)$ vlo¾ení a $\O(1)$
+extrakcí minima.
+
+Ukázali jsme tedy, ¾e pro na¹e potøeby postaèuje struktura schopná uchovávání
+èísel men¹ích nebo rovných~$L$.
+
+Nabízí se pou¾ít van Emde-Boasùv strom z~kapitoly o~výpoèetních modelech.
+Ten dosahuje slo¾itosti $\O(\log\log L)$ pro operace \<Insert> a \<ExtractMin>,
+operaci \<Decrease> musíme pøekládat na \<Delete> a \<Insert>. Celková
+slo¾itost Dijkstrova algoritmu vyjde $\O(L+m\log\log L)$, pøièem¾ èas~$L$
+spotøebujeme na inicializaci struktury (té se lze za jistých podmínek vyhnout,
+viz zmínìná kapitola).
+
+Vra»me se ale je¹tì k~vyu¾ití pøihrádek\dots
+
+\h{Víceúrovòové pøihrádky}
+
+Podobnì jako u~tøídìní èísel, i~zde se vyplácí stavìt pøihrádkové struktury
+víceúrovòovì. Jednotlivé hodnoty budeme zapisovat v~soustavì o~základu~$B$,
+který zvolíme jako nìjakou mocnina dvojky, abychom mohli s~èíslicemi tohoto
+zápisu snadno zacházet pomocí bitových operací. Ka¾dé èíslo tedy zabere nejvý¹e
+$d=1+\lfloor\log_B L\rfloor$ èíslic; pokud bude krat¹í, doplníme ho zleva nulami.
+
+Nejvy¹¹í patro struktury bude tvoøeno polem $B$~pøihrádek, v~$i$-té z~nich
+budou ulo¾ena ta èísla, jejich¾ nejvy¹¹í øád je roven~$i$. Za~{\I aktivní}
+prohlásíme tu pøihrádku, která obsahuje aktuální minimum. Pøihrádky s~men¹ími
+indexy jsou prázdné a zùstanou takové a¾ do~konce výpoètu, proto¾e halda
+je monotónní. Pokud v~pøihrádce obsahující minimum bude více prvkù, budeme
+ji rozkládat podle druhého nejvy¹¹ího øádu na dal¹ích~$B$ pøihrádek atd.
+Celkem tak vznikne a¾~$d$ úrovní.
+
+\>Struktura bude obsahovat následující data:
+
+\itemize\ibull
+\:Parametry $L$, $B$ a~$d$.
+\:Pole úrovní (nejvy¹¹í má èíslo~$d-1$, nejni¾¹í~0), ka¾dá úroveò je buïto prázdná
+ (a pak jsou prázdné i~v¹echny ni¾¹í), nebo obsahuje pole~$U_i$ o~$B$ pøihrádkách,
+ z~nich¾ ka¾dá obsahuje seznam prvkù. Toto pole pou¾íváme jako zásobník, udr¾ujeme
+ si èíslo nejni¾¹í neprázdné úrovnì.
+\:Hodnotu~$\mu$ pøedchozího odebraného minima.
+\endlist
+
+Operace \<Insert> vlo¾í hodnotu do~nejhlub¹í mo¾né pøihrádky. Podívá se tedy
+na~nejvy¹¹í úroveò: pokud hodnota patøí do pøihrádky, která není aktivní, vlo¾í
+ji pøímo. Jinak pøejde o~úroveò ní¾e a zopakuje stejný postup. To v¹e lze provést
+v~konstantním èase: staèí se podívat, jaký je nejvy¹¹í jednièkový bit ve~{\sc xor}u
+nové hodnoty s~èíslem~$\mu$ (opìt viz kapitola o~výpoèetních modelech).
+
+Pokud chceme provést \<Decrease>, odstraníme hodnotu z~pøihrádky, ve~které se
+právì nachází (polohu si mù¾eme u~ka¾dé hodnoty pamatovat zvlá¹»), a znovu ji
+vlo¾íme.
+
+Vìt¹inu práce samozøejmì pøenecháme funkci \<ExtractMin>. Ta zaène prohledávat
+nejni¾¹í obsazenou úroveò od~aktivní pøihrádky dál (to, která pøihrádka je na
+které úrovni aktivní, poznáme z~èíslic hodnoty~$\mu$). Pokud pøihrádky na~této
+úrovni dojdou, prázdnou úroveò zru¹í a pokraèuje o~patro vý¹e.
+
+Jakmile najde neprázdnou pøihrádku, nalezne v~ní minimum a to se stane novým~$\mu$.
+Pokud v~pøihrádce nebyly ¾ádné dal¹í prvky, skonèí. Jinak zbývající prvky
+rozprostøe do~pøihrádek na~bezprostøednì ni¾¹í úrovni, kterou tím zalo¾í.
+
+Èas strávený hledáním minima mù¾eme rozdìlit na~nìkolik èástí:
+
+\itemize\ibull
+\:$\O(B)$ na inicializaci nové úrovnì -- to naúètujeme prvku, který jsme
+ právì mazali;
+\:hledání neprázdných pøihrádek -- prozkoumání ka¾dé prázdné pøihrádky
+ naúètujeme jejímu vytvoøení, co¾ se rozpustí v~$\O(B)$ na inicializaci
+ úrovnì;
+\:zru¹ení úrovnì -- opìt naúètujeme jejímu vzniku;
+\:rozhazování prvkù do pøihrádek -- jeliko¾ prvky v~hierarchii pøihrádek
+ putují bìhem operací pouze doleva a dolù (jejich hodnoty se nikdy nezvìt¹ují),
+ klesne ka¾dý prvek nejvý¹e~$d$-krát, tak¾e staèí, kdy¾ na v¹echna rozhazování
+ pøispìje èasem $\O(d)$.
+\endlist
+
+\>Staèí tedy, aby ka¾dý prvek pøi \<Insert>u zaplatil èas $\O(B+d)$ a jak \<Decrease>,
+tak \<ExtractMin> pak budou mít konstantní amortizovanou slo¾itost. Dijkstrùv
+algoritmus pak pobì¾í v~$\O(m + n(B+d))$.
+
+Zbývá nastavit parametry tak, abychom minimalizovali výraz $B+d = B + \log L/\log B$.
+Vhodná volba je $B=\log L/\log\log L$. Pøi ní platí
+$$
+{\log L\over\log B} = {\log L \over \log\left(\log L/\log\log L\right) }
+= {\log L\over \log\log L - \log\log\log L} = \Theta(B).
+$$
+Tehdy Dijkstra vydá výsledek v~èase $\O(m + n\cdot{\log L\over\log\log L})$.
+
+\h{HOT Queue -- kombinace pøihrádek s~haldou}
+
+Goldberg a Cherkassky (REF) si v¹imli, ¾e ve~víceúrovòových pøihrádkových strukturách
+platíme pøíli¹ mnoho za~úrovnì, ve~kterých se za~dobu jejich existence objeví jen malé
+mno¾ství prvkù. Navrhli tedy ukládat prvky z~\uv{malých} úrovní do~spoleèné haldy.
+Výsledné struktuøe se øíká HOT (Heap-on-Top) Queue.
+
+Poøídíme si tedy haldu, øeknìme Fibonacciho, a~navíc ke~ka¾dé úrovni poèítadlo udávající,
+kolik prvkù z~této úrovnì jsme ulo¾ili do~haldy. Dokud toto poèítadlo nepøeroste nìjaký
+parametr~$H$, pøihrádky nebudeme zakládat a prvky poputují do~haldy. Èas $\O(B)$ na
+zalo¾ení úrovnì a její procházení tedy mù¾eme rozpoèítat mezi~$H$ prvkù, které se musely
+na~dané úrovni objevit, ne¾ byla rozpøihrádkována. (Pov¹imnìte si, ¾e poèítadlo nikdy
+nesni¾ujeme, pouze ho vynulujeme, kdy¾ je úroveò zru¹ena, tak¾e vùbec nemusí odpovídat
+skuteènému poètu prvkù z~pøíslu¹né úrovnì, které jsou právì ulo¾eny v~haldì. To ov¹em
+vùbec nevadí -- poèítadlo pouze hlídá, aby se úroveò nevytvoøila pøíli¹ brzy a abychom
+mìli dost prvkù k~rozúètování èasu.)
+
+\<Insert> tedy pøed zaøazením na pøíslu¹nou úroveò zvý¹í poèítadlo a pokud je
+stále men¹í ne¾~$H$, vlo¾í prvek do~haldy. Jinak prvek vlo¾í do~pøíslu¹né pøihrádky
+(pokud je¹tì pøihrádky neexistují, zalo¾í je).
+
+\<Decrease> se podívá, zda je prvek v~haldì nebo v~pøihrádce (to si o~nìm pamatuje).
+Pokud v~haldì, pøedá øízení operaci \<Decrease> haldy. Pokud v~pøihrádce, pøevede se
+na smazání a \<Insert>. S~poèítadly sám nehýbe.
+
+\<ExtractMin> funguje jako pøedtím, pouze se musí poka¾dé podívat na~minimum haldy
+
+FIXME
+
+XXX: odhad na velikost haldy
+
+XXX: proè je~$B$ velké, ale~$d$ malé?
+
+XXX: prvek pøispìje $d + T(H) + dL^{1/d}/H$.
+
%\references
\bye
projects / ga.git / commitdiff