jedné tøídy pod koøen druhé. Aby stromy nedegenerovaly, pøidáme dvì pravidla:
\itemize\ibull
-\:{\I Union by rank:} ka¾dý koøen $v$ si pamatuje svùj rank $r(v)$. Na~poèátku
-jsou v¹echny ranky nulové. Pokud spojujeme
+\:{\I Union dle ranku:} ka¾dý koøen $v$ si bude pamatuje svùj rank $r(v)$, co¾ je nìjaké
+pøirozené èíslo. Na~poèátku jsou v¹echny ranky nulové. Pokud spojujeme
dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
-\foot{Stejnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
+\foot{Stejnì by fungovalo pravidlo {\I Union dle velikosti,} které pøipojuje men¹í
strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í a snáze se analyzují.}
-\:{\I Path compression:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
+\:{\I Komprese cest:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
bìhem operace \<Find>), pøepojíme v¹echny vrcholy na~cestì, po~které jsme pro¹li,
rovnou pod koøen.
\endlist
-\s{Pozorování:} Samotné pravidlo Union by rank zajistí, ¾e strom ranku $r$ bude
-mít hloubku nejvý¹e $r$ a minimálnì $2^r$ vrcholù, tak¾e èasová slo¾itost operací
-bude omezena $\O(\log n)$ v~nejhor¹ím pøípadì.%
-\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila. \cite{tarjan84setunion}}
+Pro úèely analýzy struktury budeme uva¾ovat také ranky ostatních vrcholù -- ka¾dý vrchol
+si ponese svùj rank z~doby, kdy byl naposledy koøenem. Struktura se ov¹em
+podle rankù vnitøních vrcholù nijak neøídí a nemusí si je ani pamatovat.
+Stromu s~koøenem ranku~$r$ budeme zkrácenì øíkat {\I strom ranku~$r$.}
+
+\s{Invariant~C:} Na ka¾dé cestì z~vrcholu do~koøene pøíslu¹ného stromu ranky
+ostøe rostou. Jinými slovy rank vrcholu, který není koøen, je men¹í, ne¾ je rank
+jeho otce.
+
+\proof
+Na poèátku (pro jednovrcholové stromy) tvrzení jistì platí.
+Nech» provedeme Union, který pøipojí vrchol~$v$ pod~$w$. Cesty do~koøene z~vrcholù,
+které le¾ely pod~$w$, zùstanou zachovány, pouze se vrcholu~$w$ pøípadnì
+zvý¹í rank. Cesty z~vrcholù pod~$v$ se roz¹íøí o~hranu~$vw$, na které rank
+v~ka¾dém pøípadì roste.
+Komprese cest nahrazuje otce vrcholu jeho vzdálenìj¹ím pøedkem, tak¾e se rank
+otce mù¾e jedinì zvý¹it.
+\qed
+
+\s{Invariant~R:} Strom ranku~$r$ obsahuje alespoò $2^r$ vrcholù.
+
+\proof
+Indukcí podle èasu. Pro jednovrcholové stromy o~nulovém ranku tvrzení platí.
+Nech» pøipojíme vrchol~$v$ pod vrchol~$w$. Je-li $r(v)<r(w)$, rank stromu
+zùstane zachován a strom se je¹tì zvìt¹í. Je-li $r(v)=r(w)$, rank stromu
+se zvìt¹í o~1, ale z~indukce víme, ¾e oba spojované stromy mìly alespoò
+$2^{r(v)}$ vrcholù, tak¾e jejich spojením vznikne strom o~alespoò $2^{r(v)+1}$
+vrcholech. Komprese cest zasahuje pouze do~vnitøní struktury stromu, ranky
+ani velikosti stromù nemìní.
+\qed
+
+\s{Dùsledek:} Rank ka¾dého stromu je $\O(\log n)$, tak¾e rank ka¾dého vnitøního
+vrcholu takté¾. Díky invariantu~C strávíme výstupem z~ka¾dého vrcholu do~koøene
+také èas $\O(\log n)$, tak¾e logaritmická je i slo¾itost operací \<Union> a \<Find>.
+
+K~tomu nám ov¹em staèilo samotné pravidlo Union podle ranku, o~kompresi cest
+jsme zatím dokázali pouze to, ¾e slo¾itost v~nejhor¹ím pøípadì nezhor¹uje.%
+\foot{Mimochodem, Komprese cest samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila \cite{tarjan84setunion}.}
+Kombinace obou metod se ve~skuteènosti chová mnohem lépe:
-Amortizovanì se ale popsaná struktura chová daleko lépe:
+\s{Vìta:} (Tarjan, van Leeuwen \cite{tarjan84setunion})
+Posloupnost $m$~operací \<Union> a \<Find> provedená na~prázdné struktuøe s~$n$ vrcholy
+trvá $\O(n + m\alpha(m,n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
+\foot{Je známo \cite{fredman:cellprobe}, ¾e asymptoticky lep¹í slo¾itosti nelze dosáhnout,
+a~to ani v~modelu silnìj¹ím ne¾ RAM. Námi uvádìný algoritmus si témìø vystaèí
+s~Pointer Machine, jen porovnávání rankù z~tohoto modelu vyboèuje. Slo¾itost
+operací v~nejhor¹ím pøípadì je obecnì hor¹í, je znám dolní odhad $\Omega(\log n/\log\log n)$;
+více viz Alstrup \cite{alstrup:worstuf}.}
-\s{Vìta:} (Tarjan, van Leeuwen \cite{tarjan84setunion}) Kombinace Union by rank a Path compression vede k~amortizované
-slo¾itosti obou operací $\O(\alpha(n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
-\foot{Existuje varianta tohoto algoritmu, která dosahuje stejné slo¾itosti i v~nejhor¹ím
-pøípadì; té¾ je známo, ¾e asymptoticky lep¹í slo¾itosti nelze dosáhnout.}
+Dùkaz této vìty neuvádíme, jeliko¾ je technicky dosti nároèný. Místo toho podobnou
+metodou uká¾eme trochu slab¹í výsledek s~iterovaným logaritmem:
-Dùkaz této vìty neuvádíme, jeliko¾ je technicky dosti nároèný, ale naznaèíme alespoò,
-¾e amortizovaná èasová slo¾itost je omezena iterovaným logaritmem, konkrétnì ¾e
-ve~struktuøe s~$n$ prvky trvá provedení $\ell$~operací Union a Find $\O((n+\ell)\cdot\log^* n)$.
+\s{Vìta':} Ve~struktuøe s~$n$ prvky trvá provedení posloupnosti $m$~operací
+\<Union> a \<Find> $\O((n+m)\cdot\log^* n)$.
\def\up{\mathop{\uparrow}}
Funkce $2\up k$ je tedy $k$-krát iterovaná mocnina dvojky a $\log^*$ je funkce
k~této funkci inverzní.
-Vrcholy ve~struktuøe si nyní rozdìlíme podle jejich rankù (vrchol, který ji¾ není
-koøenem, si pamatuje svùj poslední rank z~doby, kdy je¹tì koøenem byl):
+Vrcholy ve~struktuøe si nyní rozdìlíme podle jejich rankù:
$k$-tá skupina bude tvoøena tìmi vrcholy, jejich¾ rank je od~$2\up (k-1)+1$ do~$2\up k$. Vrcholy jsou
tedy rozdìleny do~$1+\log^*\log n$ skupin. Odhadnìme nyní shora poèet vrcholù v~$k$-té
-skupinì, vyu¾ívajíce toho, ¾e vrcholù s~rankem~$r$ je nejvý¹e~$n/2^r$:
+skupinì.
+
+\s{Invariant~S:} V~$k$-té skupinì le¾í nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù.
+
+\proof
+Nejprve uká¾eme, ¾e vrcholù s~rankem~$r$ je nejvý¹e $n/2^r$. Kdybychom nekomprimovali
+cesty, snadno to plyne z~invariantù~C a~R: ka¾dému vrcholu ranku~$r$ pøiøadíme v¹ech
+jeho alespoò $2^r$ potomkù. Jeliko¾ ranky na cestách smìrem ke~koøeni rostou, ¾ádného
+potomka jsme nemohli pøiøadit více vrcholùm. Komprese cest ov¹em nemù¾e invariant
+poru¹it, proto¾e nemìní ranky ani rozhodnutí, jak probìhne který \<Union>.
+
+Teï u¾ staèí odhad $n/2^r$ seèíst pøes v¹echny ranky ve~skupinì:
$$
{n \over 2^{2\up(k-1)+1}} + {n \over 2^{2\up(k-1)+2}} + \cdots + {n \over 2^{2\up k}} \le
{n \over 2^{2\up(k-1)}} \cdot \sum_{i=1}^\infty {1 \over 2^i} =
{n \over 2^{2\up(k-1)}} \cdot 1 =
{n \over 2\up k}.
$$
+\qed
-Operace Union a Find potøebují nekonstantní èas pouze na~vystoupání ze~zadaného vrcholu~$v$ do~koøene stromu
-a tento èas je pøímo úmìrný poètu hran na~cestì z~$v$ do~koøene. Tato cesta je následnì rozpojena a v¹echny
-vrcholy le¾ící na~ní jsou pøepojeny pøímo pod~koøen stromu. Hrany cesty, které spojují vrcholy z~rùzných
-skupin (takových je jistì $\O(\log^* n)$), naúètujeme právì provádìné operaci, tak¾e
-jimi celkem strávíme èas $\O(\ell\log^*n)$. Zbylé hrany budeme poèítat pøes celou dobu bìhu
-algoritmu a úètovat je vrcholùm.
-
-Uva¾me vrchol~$v$ v~$k$-té skupinì, který ji¾ není koøenem stromu. Hrana z~$v$ do~jeho rodièe
-bude úètována vrcholu~$v$ pouze tehdy, le¾í-li rodiè také v~$k$-té skupinì. Jen¾e
-ranky vrcholù na~cestì z~libovolného vrcholu do~koøene ostøe rostou, tak¾e pøi ka¾dém pøepojení
-rank rodièe vrcholu~$v$ vzroste, a~proto po~$2\up k$ pøepojeních bude rodiè vrcholu~$v$ v~$(k+1)$-ní
-nebo vy¹¹í skupinì. Ka¾dému vrcholu v~$k$-té skupinì tedy úètujeme nejvý¹e $2\up k$ pøepojení
-a jeliko¾, jak u¾ víme, jeho skupina obsahuje nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù, naúètujeme
-celé skupinì èas $\O(n)$ a v¹em skupinám dohromady $\O(n\log^* n)$.
+\>{\sl Dùkaz vìty:}
+Operace \<Union> a \<Find> potøebují nekonstantní èas pouze na~vystoupání
+po~cestì ze~zadaného vrcholu~$v$ do~koøene stromu. Èas strávený na~této cestì
+je pøímo úmìrný poètu hran cesty. Celá cesta je pøitom rozpojena a v¹echny
+vrcholy le¾ící na~ní jsou pøepojeny pøímo pod~koøen stromu.
+
+Hrany cesty, které spojují vrcholy z~rùzných skupin (takových je $\O(\log^* n)$),
+naúètujeme právì provádìné operaci. Celkem jimi tedy strávíme èas $\O(\ell\log^*n)$.
+Zbylé hrany budeme poèítat pøes celou dobu bìhu algoritmu a úètovat je vrcholùm.
+
+Uva¾me vrchol~$v$ v~$k$-té skupinì, jeho¾ rodiè le¾í také v~$k$-té skupinì.
+Jeliko¾ hrany na cestách do~koøene ostøe rostou, ka¾dým pøepojením vrcholu~$v$ rank jeho
+rodièe vzroste. Proto po nejvý¹e $2\up k$ pøepojeních se bude rodiè vrcholu~$v$ nacházet
+v~nìkteré z~vy¹¹ích skupin. Jeliko¾ rank vrcholu~$v$ se u¾ nikdy nezmìní, bude hrana z~$v$
+do~jeho otce ji¾ nav¾dy hranou mezi skupinami. Ka¾dému vrcholu v~$k$-té skupinì tedy naúètujeme
+nejvý¹e $2\up k$ pøepojení a jeliko¾, jak u¾ víme, jeho skupina obsahuje nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù,
+naúètujeme celé skupinì èas $\O(n)$ a v¹em skupinám dohromady $\O(n\log^* n)$.
+\qed
\h{Union-Find s~pøedem známými Uniony}
Popí¹eme algoritmus,
který po~poèáteèním pøedzpracování v~èase $\O(n)$ zvládne \<Union> i \<Find> v~amortizovanì
-konstantním èase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných Alstrupem v~\cite{alstrup97optimal}
-a \cite{alstrup98marked}.
+konstantním èase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných Alstrupem \cite{alstrup97optimal,alstrup98marked}.
\s{Definice:} {\I (Microtree/Macrotree dekompozice)} Pro zakoøenìný strom $T$ o~$n$ vrcholech
definujeme:
vyskytovat dlouhé cesty. Pomù¾eme si snadno: ka¾dou cestu si budeme pamatovat zvlá¹» a ve~stromu
ji nahradíme hranou, která bude vlo¾ena právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
-\s{Pøíklad:} Následující obrázek ukazuje dekompozici nìkolika stromù za~pøepokladu,
+\s{Pøíklad:} Následující obrázek ukazuje dekompozici nìkolika stromù za~pøedpokladu,
¾e $\log n=4$. Vrcholy mikrostromù jsou èerné, makrostromu bílé. Spojovací hrany kreslíme teèkovanì,
hrany komprimovaných cest tuènì.
Operace uvnitø úsekù pracují v~èase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestì v~$\O(\log l)$
amortizovanì, ale za~dobu ¾ivota struktury je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, tak¾e celkovì zaberou lineární èas.
-\s{Cestová komprese:} Operace na~mikro/makro-stromech budeme následujícím zpùsobem
+\s{Komprese cest:} Operace na~mikro/makro-stromech budeme následujícím zpùsobem
pøevádìt na~operace s~jejich cestovì komprimovanými podobami a na~operace s~cestovými strukturami:
\>$\<Union>(x,y)$:
projects / ga.git / commitdiff