DFS: Nova verze od Paliho

diff --git a/4-dfs/4-dfs.tex b/4-dfs/4-dfs.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..0cb8e0a
--- /dev/null
+++ b/4-dfs/4-dfs.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+\input ../lecnotes.tex
+
+\prednaska{4}{Aplikace DFS}{}
+
+\h{Nejdel¹í cesta v DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù):}
+
+\s{Definice:} Pro $w \in V$ bude $D(w)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $w$. $D^R(w)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafù s hranami opaène.
+
+\s{Algoritmus:}
+
+\algo
+\algin Graf $G$
+\:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$
+\:Pro ka¾dé $w_i$ pøed $u$ nastavíme $D(w_i)=-\inf$ a $D(u)=0$
+\:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro $\forall w_i$ spoèítáme $D(w_i)$
+\::$D(w_i)=\max_{\forall w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(w_j)) + 1$
+\algout Vrátime $D(v)$
+\endalgo
+
+\s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání v $O(n+m)$. Poèítání indukcí $D(w)$ také v $O(n+m)$.
+
+\s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ $e$ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.
+
+\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
+
+%%%%%%
+%
+%\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
+%
+%\h{Hledání mostu}
+%
+%\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
+%
+%Jak to poznat o stromové?
+%
+%\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
+%
+%\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
+%
+%$\<low>(v) < \<in>(u)$
+%
+%$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
+%
+%\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
+%
+%%%%%%
+
+\h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty souvislosti}
+
+\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaène.
+
+\>{\I Pozorování:} Ak $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.
+
+\s{Definice:} $G$ je silnì souvislý $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in V(G) : uRv$.
+
+{\narrower
+\s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G \Longleftrightarrow$ ekvivalence tøídy relace $R$ je
+DAG - ka¾dý vrchol ve své komponente.
+}
+
+\s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
+
+$V(C(G))$: Komponenty (silne souvislého) grafu $G$
+
+$(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Longleftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2  \in C_2 : (v_1, v_2) \in E(G)$
+
+\smallskip
+
+\s{Lemma:} $\forall (G) : C(G)$ je DAG.
+
+\proof
+Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i, y_i)$ jsou hrany grafu~$G$. V¹echny $C_i$ jsou silne souvislé, teda existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$ v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor.
+\qed
+
+\smallskip
+
+\s{Trik:}
+
+1. Uva¾ujme graf $G^R$ ($G$ s hranami opaène)
+
+~~~Pokud $v$ le¾í ve zdrojové komponente grafu $G$, pak DFS(v) v $G^R$ projde právì komponenty G.
+
+2. Vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í ve zdrojové komponente.
+
+2*. Pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x)$.
+
+\proof
+2*:
+\itemize\ibull
+\:a.) DFS vstoupí nedøíve do $C_1$ : Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
+\:b.) nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
+\endlist
+\qed
+
+\s{Algoritmus:}
+
+\algo
+\algin Graf $G$
+\:Sestrojíme $G^R$
+\:$S \in \emptyset$ seznam, $\<komp>(*) \Rightarrow$ ?
+\:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu ho pøidáme na zaèátek $S$.
+\:Postupòe pro $v \in S$:
+\::Pokud $\<komp>(v)=~?$
+\:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholom $w$ nastavíme $\<komp>(w) \Rightarrow v$.
+\algout Pro ka¾dý vrchol $v$, jeho komponentu $\<komp>(v)$.
+\endalgo
+
+\bye

diff --git a/4-dfs/Makefile b/4-dfs/Makefile
new file mode 100644 (file)
index 0000000..412cacb
--- /dev/null
+++ b/4-dfs/Makefile
@@ -0,0 +1,3 @@
+P=4-dfs
+
+include ../Makerules