\prednaska{9}{Suffixové stromy}{}
-V~této kapitole popí¹eme jednu datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
+V~této kapitole popí¹eme jednu pozoruhodnou datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a tak je øe¹it v~lineárním èase.
\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
\figure{st-barbara.eps}{Suffixový strom pro slovo BARBARA}{0pt}
+Nyní jak je to s~konstrukcí suffixových stromù:
+
\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.
\proof Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
-vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách si staèí reprezentovat
+vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách staèí popsat
poèáteèní a koncovou pozicí v~$\sigma$.
\qed
\proof Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
\qed
-\s{Aplikace:} (co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST)
+\s{Aplikace} -- co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST:
+
+\nobreak
\numlist\ndotted
\:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. pøedzpracujeme si v~lineárním èase text a pak umíme pro libovolné
\:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta_R=\beta$)
-- postavíme spoleèný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha_R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
palindromického podslova a v¹imneme si, ¾e takové slovo je pro ka¾dý støed nejdel¹ím spoleèným
-prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu (pozpátku) k~zaèátku,
+prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu pozpátku k~zaèátku,
èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha_R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
listùm sestrojeného ST a jejich nejdel¹í spoleèný prefix je nejbli¾¹ím spoleèným pøedchùdcem
ve~stromu, tak¾e staèí pro strom vybudovat datovou strukturu pro spoleèné pøedchùdce
a s~její pomocí doká¾eme jeden støed prozkoumat v~konstantním èase.
-\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} -- jejím základem je lexikografické setøídìní v¹ech
+\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} \cite{burrows:bwt} -- jejím základem je lexikografické setøídìní v¹ech
rotací slova~$\sigma$, co¾ zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
-uøíznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a následným vypsáním listù v~poøadí dle~DFS.
+uøíznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a vypsáním novì vzniklých listù v~poøadí
+\uv{zleva doprava}.
\endlist
+\s{Cvièení:} Zkuste vymyslet co nejlep¹í algoritmy pro tyto problémy bez pou¾ití~ST.
+
\h{Suffix Array}
\>V~nìkterých pøípadech se hodí místo suffixového stromu pou¾ívat kompaktnìj¹í datové struktury.
-\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i:j]$ znaèit podslovo slo¾ené z~$i$-tého a¾ $j$-tého
-znaku slova~$\sigma$ (znaky èíslujeme od~$1$). Libovolnou z~mezí mù¾eme vynechat, proto
+\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i]$ znaèit jeho $i$-tý znak (èíslujeme od~jednièky),
+$\sigma[i:j]$ pak podslovo slo¾ené z~$i$-tého a¾ $j$-tého znaku. Libovolnou z~mezí mù¾eme vynechat, proto
$\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~zaèátku do~$j$.
Pokud $j<i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, tak¾e prázdný suffix mù¾eme
napøíklad zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert+1:{}].$
\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
-pro~$L_\sigma$ (to jsou vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy a pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
+pro~$L_\sigma$ (získáme vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy, pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
\qed
\h{Rekurzivní konstrukce}
-\>Tento algoritmus konstruuje pro slovo $\sigma$ délky~$n$ pole $A_\sigma$ a $L_\sigma$ v~èase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$,
+\>Tento algoritmus konstruuje pro slovo $\sigma$ délky~$n$ jeho suffix array a LCP array v~èase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$,
kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je èas potøebný pro setøídìní $n$ symbolù z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~pøedchozími
výsledky nám tedy dává lineární konstrukci ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.
\sigma_1[i] &:= \left<\sigma[3i+1],\sigma[3i+2],\sigma[3i+3]\right>\cr
\sigma_2[i] &:= \left<\sigma[3i+2],\sigma[3i+3],\sigma[3i+4]\right>\cr
}$$
-Slova $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
+V¹echna $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
si mírnì zneu¾ívat notaci a pou¾ívat symbol $\sigma_k$ i jejich pøepis do~abecedy pùvodní.
\:Zavoláme algoritmus rekurzivnì na slovo $\sigma_0\sigma_1$, èím¾ získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.
-\:Z~$A_{01}$ a $L_{01}$ vydìlíme $A_0=A_{\sigma_0}$, $A_1$, $L_0$ a $L_1$ a spoèítáme permutace inverzní k~$A_0$ a $A_1$.
+\:Z~$A_{01}$ a $L_{01}$ vydìlíme $A_0=A_{\sigma_0}$, $A_1$, $L_0$ a $L_1$. Také si pro ka¾dý prvek
+$A_i$ zapamatujeme, kde se v~$A_{01}$ vyskytoval.
-\:Dopoèítáme $A_2$: Jeliko¾ $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:{}] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$
+\:Dopoèítáme $A_2$: Jeliko¾ $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:\nobreak{}\nobreak] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$
a v¹echna $\sigma_0[i:{}]$ u¾ máme setøídìná, mù¾eme v¹echna $\sigma_2[i:{}]$ setøídit dvìma prùchody pøihrádkového tøídìní.
\:Dopoèítáme $L_2$: Stejným trikem jako $A_2$ -- pokud jsou první písmena rùzná, je spoleèný prefix prázdný, jinak
má délku $1+{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}]) = 1+\min_{i+1\le k< j+1} L_0[k]$. Minimum zvládneme pro ka¾dou
dvojici $i,j$ spoèítat v~konstantním èase pomocí datové struktury pro intervalová minima.
-\todo{Ta je a¾ v~následující kapitole.}
\:$A_0,A_1,A_2\buildrel merge\over\longrightarrow A$ -- sléváme tøi setøídìné posloupnosti,
tak¾e staèí umìt prvky libovolných dvou posloupností v~konstantním èase porovnat:
$$\eqalign{
-\sigma_0[i:{}] < \sigma_1[j:{}] &\equiv A_{01}^{-1}[i] < A_{01}^{-1}[\vert\sigma_0\vert+j]\cr
+\sigma_0[i:{}] < \sigma_1[j:{}] &~\hbox{podle zapamatovaných pozic v~$A_{01}$} \cr
\sigma_0[i:{}] < \sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma_0[k+1:{}]\cr
&\Leftrightarrow (\sigma[3i] < \sigma[3k+2]) \vee {} \cr&\hphantom{{}\Leftrightarrow{}} (\sigma[3i] = \sigma[3k+2] \wedge \sigma_1[i:{}] < \sigma_0[k+1:{}])\cr
\sigma_1[j:{}]<\sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3j+1]\,\sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}] < \cr&\hphantom{{}\equiv{}} \sigma[3k+2]\,\sigma[3k+3]\,\sigma_1[k+1:{}]
o~sebe postarají samy.
\:Pokud $\beta$ bylo vìtvící slovo, zùstane nadále vìtvící -- tedy vnitøní vrcholy ve~stromu zùstanou.
\:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol), pak se $\beta a$ buïto
-vyskytuje v~$\sigma$ a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova a strom není nutné
+vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova a strom není nutné
upravovat, nebo se v~$\sigma$ nevyskytuje a tehdy pro nìj musíme zalo¾it novou odboèku
a nový list s~otevøenou hranou.
\endlist
\s{Lemma:} Suffix $\beta$ je zralý $\Leftrightarrow$ $\vert\alpha(\sigma)a\vert \ge \vert\beta a\vert > \vert\alpha(\sigma a)\vert$.
\proof Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
-musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, èemu¾ odpovídá druhá nerovnost.
+musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, a~tomu odpovídá druhá nerovnost.
\qed
-\s{Idea Algoritmu:} Udr¾uji si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontroluji, zda $\alpha a$ je
-stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidám vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátím
-zleva o~znak a testuji dál.
+\s{Idea algoritmu:} Udr¾ujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontrolujeme, zda $\alpha a$ je
+stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidáme vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátíme
+zleva o~znak a testujeme dál.
-\s{Analýza:} Úprav stromu provedu $\O(1)$ amortizovanì (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí,
+\s{Analýza:} Úprav stromu provedeme $\O(1)$ amortizovanì (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí,
ka¾dé pøidání znaku ho~prodlou¾í o~znak, tak¾e v¹ech zkrácení je $\O(\vert\sigma\vert)$). Staèí
-tedy ukázat, jak provést úpravu v~(amortizovanì) konstantním èase, k~èemu¾ se nám bude hodit:
+tedy ukázat, jak provést úpravu v~(amortizovanì) konstantním èase, k~èemu¾ potøebujeme
+$\alpha$ reprezentovat ¹ikovnì a také si udr¾ovat pomocné informace (zpìtné hrany),
+abychom umìli rychle zkracovat.
\s{Definice:} {\I Referenèní pár} je dvojice $(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol
stromu a $\tau$ libovolné slovo. Tento pár popisuje slovo $\pi\tau$. Referenèní
pøípadì se \<back> pro vnitøní vrcholy chová daleko jednodu¹eji (a~na ¾ádné
jiné ho potøebovat nebudeme): pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, musí to být
vìtvící podslovo, a~tím pádem ka¾dé jeho zkrácení zleva musí být také vìtvící
-podslovo. Tedy $\<back>(\pi)$ dá~$\pi$ bez prvního znaku, co¾ se nám
+podslovo. Tedy $\<back>(\pi)$ dá~$\pi$ bez prvního znaku, a~to se nám
bude hodit pøi zkracování suffixù.
\s{Algoritmus podrobnìji:} (Doplnili jsme detaily do~pøedchozího algoritmu.)
\:Pokud $\alpha a$ u¾ je pøítomen, zbývá pøidat $a$ k~$\alpha$ a zastavit se:
\::$\tau := \tau a$.
\::Kanonikalizace stejnì jako v~bodech 12--13.\foot{Dokonce jednodu¹¹í, proto¾e projdeme nejvý¹e jednu hranu.}
+\:Dopoèítáme zpìtné hrany (viz ní¾e).
\:Výstup: $\alpha=\alpha(\sigma a)$ coby kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
a jeho funkce \<back>.
\endalgo
\s{Èasová slo¾itost:}
Kanonikalizace pracuje v~amortizovanì konstantním èase, proto¾e ka¾dá její iterace
-zkrátí~$\tau$ a za~celou dobu bìhu algoritmu se~$\tau$ prodlou¾í jen jednou, a~to o~jeden znak.
+zkrátí~$\tau$ a za~ka¾dé spu¹tìní algoritmu se~$\tau$ prodlou¾í jen jednou, a~to o~jeden znak.
Prùchodù hlavním cyklem je, jak u¾ víme, amortizovanì konstantní poèet a ka¾dý prùchod
zvládneme v~konstantním èase.
-Je¹tì jsme ale zapomnìli nastavovat novým vrcholùm jejich \<back>. To potøebujeme
+Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholùm jejich \<back>. To potøebujeme
jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje)
a v¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
a zpìtná hrana z~nìj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, co¾ je
projects / ga.git / commitdiff