--- /dev/null
+\input ../sgr.tex
+
+\prednaska{11}{Rovinné grafy}{}
+
+Rovinné grafy se objevují v~nejrùznìj¹ích praktických aplikacích teorie grafù,
+a~tak okolo nich vyrostlo znaèné mno¾ství algoritmù. I~kdy¾ existují výjimky,
+jako napøíklad ji¾ zmínìné hledání kostry rovinného grafu, vìt¹ina takových
+algoritmù pracuje s~konkrétním vnoøením grafu do~roviny (rovinným nakreslením).
+
+Proto se zamìøíme na~algoritmus, který zadaný graf buïto vnoøí do~roviny, nebo se
+zastaví s~tím, ¾e graf není rovinný. Tarjan ji¾ v~roce 1974 \cite{tarjan:planarity}
+ukázal, ¾e je to mo¾né provést v~lineárním èase, ale jeho algoritmus je ponìkud
+komplikovaný. Od~té doby se objevilo mnoho zjednodu¹ení, prozatím vrcholících
+algoritmem Boyera a Myrvoldové \cite{boyer:cutting}, který zde uká¾eme.
+
+Jakmile nìjaké rovinné nakreslení máme, lze z~nìj celkem snadno vytváøet
+rovinná nakreslení s~rùznými speciálními vlastnostmi. Za~zmínku stojí napøíklad
+Schnyderùv algoritmus \cite{schnyder:grid} generující v~lineárním èase nakreslení,
+v~nìm¾ v¹echny hrany jsou úseèky a vrcholy le¾í v~møí¾ových bodech møí¾ky $(n-2)\times (n-2)$,
+a~o~nìco jednodu¹¹í varianta \cite{chrobak:grid} do~møí¾ky $(2n-4)\times (n-2)$.
+
+\h{DFS a bloky}
+
+Pøipomeòme si nejprve nìkteré vlastnosti prohledávání do~hloubky (DFS) a jeho pou¾ití
+k~hledání komponent vrcholové 2-souvislosti {\I (blokù).}
+
+\s{Definice:} Prohledávání do~hloubky rozdìlí $E$ na~ètyøi druhy hran: {\I stromové} (po~nich¾
+DFS pro¹lo a rekurzivnì se zavolalo; vytváøejí {\I DFS strom} orientovaný z~koøene),
+{\I zpìtné} (vedou do~vrcholu na~cestì mezi prohledávaným vrcholem a koøenem,
+èili do~takového, který se nachází na~zásobníku), {\I dopøedné} vedou do~ji¾ zpracovaného
+vrcholu le¾ícího v~DFS stromu pod aktuálním vrcholem a zbývající {\I pøíèné} (z~tohoto vrcholu
+do~jiného podstromu).
+
+\s{Lemma:} Prohledáváme-li do~hloubky neorientovaný graf, nevzniknou ¾ádné dopøedné ani
+pøíèné hrany.\foot{Pro úplnost: v~orientovaném grafu mohou existovat dopøedné
+a také pøíèné vedoucí \uv{zprava doleva}, tedy døíve nav¹tívené komponenty.}
+
+\s{Lemma:} Relace \uv{Hrany $e$ a $f$ le¾í na~spoleèné kru¾nici} (znaèíme $e\sim f$) je ekvivalence. Její
+tøídy tvoøí maximální 2-souvislé podgrafy (bloky). Vrchol $v$ je artikulace právì tehdy,
+sousedí-li s~ním hrany z~více blokù.
+
+Pokud spustíme na~graf DFS, je pøirozené testovat, do~jakých blokù patøí stromové
+hrany sousedící s~právì prohledávaným vrcholem~$v$: stromová hrana $uv$, po~které jsme
+do~$v$ pøi¹li, a hrany $vw_1$ a¾ $vw_k$ vedoucí do~podstromù $T_1$ a¾ $T_k$ (zpìtné hrany
+jsou v¾dy ekvivalentní s~hranou $uv$). Pokud je $uv \sim vw_i$, musí existovat cesta
+z~podstromu $T_i$ do~vrcholu~$u$, která nepou¾ije právì testované hrany. Taková cesta
+ale mù¾e podstrom opustit pouze zpìtnou hranou (stromová je zakázaná a dopøedné ani pøíèné
+neexistují). Jinými slovy $uv\sim vw_i$ právì tehdy, kdy¾ existuje zpìtná hrana z~podstromu~$T_i$
+do~vrcholu $u$ nebo blí¾e ke~koøeni.
+
+Pokud nìkterá dvojice $vw_i$, $vw_j$ není ekvivalentní pøes hranu $uv$ (nebo pokud hrana $uv$
+ani neexistuje, co¾ se nám v~koøeni DFS stromu mù¾e stát), le¾í v~rùzných blocích, proto¾e
+$T_i$ a $T_j$ mohou být spojeny jen pøes své koøeny (pøíèné hrany neexistují). Ze~zpìtných
+hran tedy získáme kompletní strukturu blokù.
+
+Nyní si staèí rozmyslet, jak zpìtné hrany testovat efektivnì. K~tomu si zavedeme:
+
+\s{Definice:} Pro vrchol $v$ zavedeme:
+\itemize\ibull
+\:$\<Enter>(v)$ udává poøadí, v~nìm¾ prohledávání do~vrcholu~$v$ vstoupilo.
+\:$\<Ancestor>(v)$ je nejmen¹í z~\<Enter>ù vrcholù, do~nich¾ vede z~$v$ zpìtná hrana.
+\:$\<LowPoint>(v)$ je minimum z~\<Ancestor>ù vrcholù le¾ících v~podstromu pod~$v$.
+\endlist
+
+\s{Pozorování:} \<Enter>, \<Ancestor> i \<Lowpoint> v¹ech vrcholù lze spoèítat
+bìhem prohledávání, tedy také v~lineárním èase.
+
+\s{Lemma:}
+Stromové hrany $uv$ a $vw$ le¾í v~tomté¾ bloku (tedy $uv\sim vw$) právì
+tehdy, kdy¾ $\<LowPoint>(w) < \<Enter>(v)$. Vrchol~$v$ je artikulace právì
+tehdy, kdy¾ nìkterý z~jeho synù $w$ má $\<LowPoint>(w) \ge \<Enter>(v)$.
+
+\h{Postup kreslení}
+
+Graf budeme kreslit v~opaèném DFS-poøadí, tj. od~nejvìt¹ích \<Enter>ù k~nejmen¹ím,
+a v¾dy si budeme udr¾ovat blokovou strukturu ji¾ nakreslené èásti grafu uspoøádanou
+podle DFS stromu -- ka¾dý blok bude mít svùj koøen a (mimo nejvy¹¹ího bloku)
+bude zavì¹en pod artikulací le¾ící v~nadøazeném bloku. Aby se nám tato
+situace snadno reprezentovala, mù¾eme artikulace naklonovat a ka¾dý blok
+pak dostane jednu kopii artikulace.
+
+Také budeme vyu¾ívat toho, ¾e nakreslení ka¾dého bloku, který není
+most, je ohranièeno kru¾nicí, a mosty zdvojíme, aby to pro nì platilo
+také. Navíc libovolný blok spolu se v¹emi bloky le¾ícími pod~ním
+mù¾eme v~rovinì pøeklopit.
+
+V¹imnìme si, ¾e pokud vede z~nìjakého u¾ nakresleného vrcholu~$v$ je¹tì nenakreslená hrana,
+lze pokraèovat po~nenakreslených hranách a¾ do~koøene. V¹echny vrcholy, ke~kterým
+je¹tì bude potøeba nìco pøipojit (takovým budeme øíkat {\I externì aktivní} a za~chvíli
+to nadefinujeme preciznì), tedy musí le¾et v~té¾e stìnì dosud nakresleného
+podgrafu a bez újmy na~obecnosti si vybereme, ¾e to bude vnìj¹í stìna.
+
+Základním krokem algoritmu tedy bude roz¹íøit nakreslení o~nový vrchol~$v$,
+je-li v¹e v~DFS poøadí následující po~tomto vrcholu ji¾ nakresleno,
+a o~v¹echny s~ním incidentní hrany. Stromové hrany pùjdou nakreslit v¾dy,
+pøidáme je jako 2-cykly a a¾ se uká¾e, ¾e to nejsou mosty, pøipojíme
+je k~pøíslu¹nému bloku. Zpìtné hrany byly a¾ do~nedávna externì aktivní,
+tak¾e pøidání jedné zpìtné hrany nahradí cestu po~okraji bloku
+touto hranou (tím vytvoøí novou stìnu) a také mù¾e slouèit nìkolik
+blokù do~jednoho:
+
+\todo{Obrázek}
+
+Bude se nám hodit, ¾e èas potøebný na~tuto operaci je pøímo úmìrný poètu
+hran, které ubyly z~vnìj¹í stìny, co¾ je amortizovanì konstanta.
+
+Mù¾e se nám ale stát, ¾e zpìtná hrana zakryje nìjaký externì aktivní vrchol.
+Tehdy potøebujeme nìkteré bloky pøeklopit tak, aby externì aktivní vrcholy
+zùstaly venku. Potøebujeme tedy datové struktury, pomocí nich¾ bude mo¾né
+pøeklápìt efektivnì a co víc, také rychle poznat, kdy je pøeklápìní potøebné.
+
+\h{Externí aktivita}
+
+Pokud z~nìjakého vrcholu~$v$ bloku~$B$ vede dosud nenakreslená hrana, musí
+být tento vrchol na~vnìj¹í stìnì, tak¾e musí také zùstat na~vnìj¹í stìnì
+vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externí aktivitu
+nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto pøípady:
+
+\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externì aktivní} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
+hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je k~$w$ pøipojen externì aktivní
+blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol.
+
+Jinými slovy $w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud je $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+nebo pokud pro nìkterého ze~synù $x$ le¾ícího v~jiném bloku je $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(x)$.
+Ve~statickém grafu by staèilo testovat $\<LowPoint>(w)$, nám se ov¹em bloková
+struktura mìní, tak¾e musíme uva¾ovat bloky v~souèasném okam¾iku. Proto si zavademe:
+
+\s{Definice:} $\<SepBlockList>(w)$ je seznam v¹ech synù vrcholu~$w$, které v~daném
+okam¾iku le¾í v~jiných blocích ne¾~$w$, setøídìný vzestupnì podle $\<LowPoint>$ù.
+
+\s{Lemma:} Vrchol~$w$ je externì aktivní pøi zpracování vrcholu~$v$, pokud buïto $\<Ancestor>(w) < \<Enter>(v)$,
+nebo první prvek $x$ seznamu $\<SepBlockList>(w)$ má $\<LowPoint>(x) < \<Enter>(v)$. Navíc
+seznamy \<SepBlockList> je mo¾no udr¾ovat v~amortizovanì konstantním èase.
+
+\s{Dùkaz:} První èást plyne z~definice. V¹echny seznamy na~zaèátku bìhu algoritmu
+zkonstruujeme v~lineárním èase pøihrádkovým tøídìním a kdykoliv slouèíme blok
+s~koøenem~$x$ s~nadøazeným blokem, odstraníme $x$ ze~seznamu v~pøíslu¹né artikulaci.
+\qed
+
+\h{Reprezentace blokù a pøeklápìní}
+
+Pro ka¾dý blok si potøebujeme pamatovat vrcholy, které le¾í na~hranici
+(nìkteré z~nich jsou externì aktivní, ale to u¾ umíme poznat) a bloky,
+které jsou k~nim pøipojené. Dále je¹tì vnitøní strukturu bloku vèetnì
+uvnitø pøipojených dal¹ích blokù, ale jeliko¾ ¾ádné vnitøní vrcholy nejsou
+externì aktivní, vnitøek u¾ neovlivní dal¹í výpoèet a potøebujeme jej pouze
+pro vypsání výstupu.
+
+Pro na¹e úèely bude staèit zapamatovat si u~ka¾dého bloku, jestli je
+oproti nadøazenému bloku pøeklopen. Tuto informaci zapí¹eme do~koøene
+bloku. Ka¾dý vrchol na~hranici bloku pak bude obsahovat dva~ukazatele
+na~sousední vrcholy. Neumíme sice lokálnì poznat, který ukazatel odpovídá
+kterému smìru, ale kdy¾ se nìjakým smìrem vydáme, doká¾eme ho dodr¾et
+-- staèí si v¾dy vybrat ten ukazatel, který nás nezavede do~vrcholu,
+z~nìj¾ jsme právì pøi¹li.
+
+Ka¾dý vrchol bloku si také bude pamatovat seznam svých sousedù,
+podle orientace bloku buïto v~hodinkovém nebo opaèném poøadí.
+Chceme-li pøidat hranu, potøebujeme tedy znát abslolutní orientaci,
+ale to pùjde snadno, jeliko¾ hrany pøidáváme jen k~vrcholùm na~hranici
+a v¾dy k~nim po~hranici dojdeme z~koøene.
+
+K~pøeklopení bloku vèetnì v¹ech podøízených blokù tedy staèí invertovat
+bit v~koøeni, pokud chceme pøeklopit jen tento blok, invertujeme bity
+i v~koøenech v¹ech podøízených blokù, které najdeme obcházením hranice.
+
+Na~konci algoritmu spustíme post-processing, který v¹echny pøeklápìcí
+bity pøenese ve~smìru od~koøene k~potomkùm a urèí tak absolutní orientaci
+v¹ech seznamù.
+
+\h{Pøidávání vrcholu}
+
+\todo{Kostra algoritmu. ®ivé vrcholy a jejich nalezení.}
+
+\h{Pøidávání hran}
+
+\todo{Jak se obchází hranice a v~jakém poøadí se co zpracovává.}
+
+\h{Dùkaz korektnosti}
+
+\todo{Èasová slo¾itost se doká¾e snadno, ale na~korektnost je potøeba rozebírat hou¹» pøípadù.}
+
+\todo{Izolace Kuratowského podgrafù.}
+
+\references
+\bye
projects / ga.git / commitdiff