\h{Aproximace problému obchodního cestujícího}
-\s{Problém: Obchodní cestující}
-
-\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
-je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R }^+_0$.
-
-\>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (obsahující v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
-(podle ohodnocení).
-
-Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ sama existence
-hamiltonovské kru¾nice je NP-úplná. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
-¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
-w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
-aproximaèního algoritmu implikovala ${\rm P=NP }$.
-
-\>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
-
-Existuje pìkný algoritmus, který najde hamiltonovskou kru¾nici o délce $\leq
-2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
-Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
-nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnnì mù¾eme
-pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
-podmínky podle definice splnìny.
-
-Najdeme nejmen¹í kostru grafu a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní -- kostru
-zakoøeníme a projdeme jako strom do hloubky, pøièem¾ se zastavíme a¾ v koøeni po projití
-v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
-nìkteré vrcholy i hrany vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se.
-Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
-rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
-hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
-(jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
-Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
-Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
-sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
-vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
-nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
-máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
-hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.
-
-Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
-grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
-jako minimální kostra $T$. Tedy optimální hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
-ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
-dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
-dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
-algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
-od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
-$1{,}5$-aproximace. Ve~nìkterých metrických prostorech (tøeba v euklidovské
-rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
-libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
-po algoritmu chceme, tím déle to bude trvat.}
-
-\>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}
-
-Zde se budeme naopak sna¾it ukázat, ¾e ¾ádný polynomiální aproximaèní
-algoritmus neexistuje.
+V~{\I problému obchodního cestujícího} je zadán neorientovaný graf~$G$, jeho¾
+hrany jsou ohodnoceny délkami~$\ell: E(G) \rightarrow {\bb R}^+_0$. V~tomto
+grafu chceme nalézt nejkrat¹í z~hamiltonovských kru¾nic, tedy tìch, které nav¹tíví
+v¹echny vrcholy.
+
+Není pøekvapivé, ¾e tento problém je tì¾ký -- u¾ sama existence hamiltonovské
+kru¾nice je \NP-úplná. Uká¾eme ov¹em, ¾e pokud je graf úplný a platí v~nìm trojúhelníková
+nerovnost (tj. $\ell(x,z) \le \ell(x,y) + \ell(y,z)$ pro v¹echny trojice vrcholù $x,y,z$),
+mù¾eme problém obchodního cestujícího 2-aproximovat, tedy najít v~polynomiálním
+èase kru¾nici, která je pøinejhor¹ím dvakrát del¹í ne¾ ta optimální.
+
+Grafy s~trojúhelníkovou nerovností pøitom nejsou nijak neobvyklé -- odpovídají
+toti¾ v¹em koneèným metrickým prostorùm.
+
+Algoritmus bude snadný: Najdeme nejmen¹í kostru a obchodnímu cestujícímu poradíme,
+a» jde po~ní. To mù¾eme popsat napøíklad tak, ¾e kostru zakoøeníme, prohledáme ji
+do hloubky a zaznamenáme, jak jsme procházeli hranami. Ka¾dou hranou kostry tedy
+projdeme dvakrát -- jednou dolù, podruhé nahoru. Tím v¹ak nedostaneme kru¾nici,
+nýbr¾ jen nìjaký uzavøený sled, proto¾e vrcholy nav¹tìvujeme vícekrát. Sled tedy
+upravíme tak, ¾e kdykoliv se dostává do ji¾ nav¹tíveného vrcholu, pøeskoèí ho
+a pøesune se a¾ do nejbli¾¹ího dal¹ího nenav¹tíveného. Tím ze sledu vytvoøíme
+hamiltonovskou kru¾nici a jeliko¾ v~grafu platí trojúhelníková nerovnost,
+celková délka nevzrostla. (Poøadí vrcholù na kru¾nici mù¾eme získat také tak,
+¾e bìhem prohledávání budeme vypisovat vrcholy v~preorderu. Rozmyslete si,
+¾e je toté¾.)
+
+\s{Vìta:} Nalezená kru¾nice není del¹í ne¾ dvojnásobek optima.
+
+\proof
+Oznaème $T$ délku minimální kostry, $A$ délku kru¾nice vydané na¹ím algoritmem
+a $O$ (optimum) délku nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice. Z~toho, jak jsme kru¾nici
+vytvoøili, víme, ¾e $A\le 2T$. Platí ov¹em také $T\le O$, jeliko¾ z~ka¾dé
+hamiltonovské kru¾nice vznikne vynecháním hrany kostra a ta nemù¾e být men¹í
+ne¾ minimální kostra. Slo¾ením obou nerovností získáme $A\le 2T\le 2O$.
+\qed
+
+Sestrojili jsme tedy 2-aproximaèní algoritmus pro problém obchodního cestujícího.
+Dodejme je¹tì, ¾e trochu slo¾itìj¹ím trikem lze tento problém $1.5$-aproximovat
+a ¾e v~nìkterých metrických prostorech (tøeba v~euklidovské rovinì) lze v~polynomiálním
+èase najít $(1+\varepsilon)$-aproximaci pro libovolné $\varepsilon>0$. Ov¹em èím
+men¹í~$\varepsilon$, tím déle algoritmus pobì¾í.
+
+Bez trojúhelníkové nerovnosti ov¹em ná¹ problém aproximovat vùbec nejde:
\s{Vìta:} Pokud pro~libovolné~$\varepsilon>0$ existuje polynomiální
-$(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~problém obchodního cestujícího bez~trojúhelníkové nerovnosti, tak ${\rm P = NP }$.
-
-\proof Uká¾eme, ¾e v~takovém pøípadì doká¾eme v~polynomiálním èase zjistit,
-zda v grafu existuje hamiltonovská kru¾nice.
-
-Dostali jsme graf~$G$, ve~kterém hledáme hamiltonovskou kru¾nici. Doplníme
-$G$ na~úplný graf~$G'$ a~váhy hran~$G'$ nastavíme takto:
-\itemize\ibull
-\: $w(e) = 1$, kdy¾ $e \in E(G)$
-\: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
-\endlist
-
-Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
-je ka¾dá hrana z nalezené hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
-nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou $c$, která vy¾ene
-souèet poznatelnì vysoko). Pokud existuje hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
-z~hran, které byly
-pùvodnì v~$G$, pak optimální øe¹ení bude mít váhu~$n$, jinak bude urèitì
-minimálnì $n-1+c$. Kdy¾ máme aproximaèní algoritmus s~pomìrem~$1+\varepsilon$,
-musí tedy být
-$$
-\eqalign{
-(1+\varepsilon)\cdot n &< n-1+c \cr
-\varepsilon n+1 &< c
-}
-$$
-Kdyby takový algoritmus existoval, máme polynomiální algoritmus
-na~hamiltonovskou kru¾nici.
+$(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~problém obchodního cestujícího
+bez~trojúhelníkové nerovnosti, pak je $\P = \NP$.
+
+\proof Uká¾eme, ¾e pomocí takového aproximaèního algoritmu doká¾eme v~polynomiálním
+èase zjistit, zda v grafu existuje hamiltonovská kru¾nice, co¾ je \NP-úplný problém.
+
+Dostali jsme graf~$G$, ve~kterém hledáme hamiltonovskou kru¾nici (zkrácenì HK).
+Doplníme $G$ na~úplný graf~$G'$. Délky v¹ech pùvodních hran nastavíme na~1, novým
+hranám pøisoudíme délku~$c$ pro nìjakou vhodnì zvolenou konstantu~$c\gg 1$.
+
+V~grafu~$G'$ jistì alespoò jedna HK existuje. Z~ka¾dé HK v~$G$ se stala
+HK v~$G'$ o~délce pøesnì~$n$. V¹echny ostatní HK v~$G'$ obsahují alespoò
+jednu hranu, která nepochází z~$G$, tak¾e mají délku alespoò $n-1+c$.
+
+Nastavíme konstantu~$c$ tak, aby i pøes zkreslení zpùsobené aproximací
+bylo podle odpovìdi algoritmu poznat, zda nìjaká kru¾nice délky~$n$ existuje.
+Potøebujeme, aby platilo $(1+\varepsilon)\cdot n < n-1+c$, tedy staèí zvolit
+$c$ vìt¹í ne¾ $\varepsilon n + 1$.
+
+Pøidali jsme tedy polynomiálnì mnoho hran s~polynomiálnì velkým ohodnocením,
+tak¾e graf~$G'$ je polynomiálnì velký vzhledem ke~$G$ a ná¹ algoritmus rozhoduje
+existenci HK v~polynomiálním èase.
\qed
-\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
-platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
-mít váhu 1, neexistující váhu 2.
+\s{Poznámka:} Podobnì mù¾eme dokázat, ¾e pokud $\P\ne\NP$, neexistuje ani
+pseudopolynomiální algoritmus. Staèí pùvodním hranám pøiøadit váhu~1 a novým váhu~2.
\h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
stejná mno¾ina pøedmìtù jako u~zadání pùvodního.
Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky
-nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu
+nìjak zaokrouhlit. Optimální øe¹ení nové úlohy pak sice nemusí odpovídat optimálnímu
øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
\s{Základní my¹lenka:}
\def\cmax{c_{\rm max}}
Oznaèíme si $\cmax$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < \cmax$
-a zobrazíme interval cen $[0, \cmax]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
-$M/\cmax$).
+a zobrazíme interval cen $[0, \cmax]$ na $\{0, \ldots, M \}$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme pomìrem
+$M/\cmax$ a zaokrouhlíme).
Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $\cmax/M$ (prvky z intervalu
$[i\cdot \cmax/M,(i+1)\cdot \cmax/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
tedy zmìnili o~nejvý¹e $\cmax/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù pak
-nejvý¹e o~$n\cdot \cmax/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
-pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $\<OPT>\ge \cmax$,
-tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot \<OPT>/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
-$\varepsilon\cdot \<OPT>$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.\foot{Pøipomìòme, ¾e toto je¹tì není dùkaz, nebo» velkoryse pøehlí¾íme chyby dané zaokrouhlováním. Dùkaz provedeme ní¾e.}
+nejvý¹e o~$n\cdot \cmax/M$. Navíc odstraníme-li ze vstupu
+pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $c^* \ge \cmax$,
+tak¾e chyba na¹í aproximace nepøesáhne $n\cdot c^*/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
+$\varepsilon\cdot c^*$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.
+
+Na~této my¹lence \uv{kvantování cen} je zalo¾en následující algoritmus.
\s{Algoritmus:}
\algo
\:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
\:Spoèítáme $\cmax=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
-\:Kvantujeme ceny: $\forall i: \hat{c}_i \leftarrow \lfloor c_i \cdot M/\cmax \rfloor$.
+\:Kvantujeme ceny: Pro $i=1,\ldots,n$ polo¾íme $\hat{c}_i \= \lfloor c_i \cdot M/\cmax \rfloor$.
\:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$
a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu.
\:Vybereme stejné pøedmìty, jaké pou¾ilo optimální øe¹ení kvantovaného zadání.
se souètem cen $\hat{C}\le nM = \O(n^2/\varepsilon)$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
Zbývá dokázat, ¾e výsledek na¹eho algoritmu má opravdu relativní chybu nejvý¹e~$\varepsilon$.
-Nech» pùvodní úloha má nìjaké optimální øe¹ení~$P$ s~cenou $c(P)$. Rozmysleme
-si, jakou cenu $\hat{c}(P)$ bude tato mno¾ina pøedmìtù mít v~nakvantovaném zadání:
+Oznaème~$P$ mno¾inu pøedmìtù pou¾itých v~optimálním øe¹ení pùvodní úlohy a $c(P)$
+cenu tohoto øe¹ení. Podobnì~$Q$ bude mno¾ina pøedmìtù v~optimálním øe¹ení
+nakvantované úlohy a $\hat{c}(Q)$ jeho hodnota v~nakvantovaných cenách. Potøebujeme
+odhadnout ohodnocení mno¾iny~$Q$ v~pùvodních cenách, tedy $c(Q)$, a~srovnat
+ho s~$c(P)$.
+
+Nejprve uká¾eme, jakou cenu má optimální øe¹ení~$P$ pùvodní úlohy
+v~nakvantovaných cenách:
$$
\eqalign{
\hat{c}(P) &= \sum_{i\in P} \hat{c}_i =
-\sum_i \left\lfloor c_i\cdot {M\over \cmax} \right\rfloor \ge
-\sum_i \left( c_i\cdot {M\over \cmax} - 1 \right) \ge \cr
+\sum_{i\in P} \left\lfloor c_i\cdot {M\over \cmax} \right\rfloor \ge
+\sum_{i\in P} \left( c_i\cdot {M\over \cmax} - 1 \right) \ge \cr
&\ge
-\biggl(\sum_i c_i \cdot {M\over \cmax}\biggr) - n =
+\left(\sum_{i\in P} c_i \cdot {M\over \cmax}\right) - n =
c(P) \cdot {M\over \cmax} - n.
}
$$
$$
\eqalign{
c(Q) &= \sum_{i\in Q} c_i \ge
-\sum_i \hat{c}_i \cdot {\cmax\over M} =
-\biggl(\sum_i \hat{c}_i\biggr) \cdot {\cmax\over M} \ge
+\sum_{i\in Q} \hat{c}_i \cdot {\cmax\over M} =
+\left(\sum_i \hat{c}_i\right) \cdot {\cmax\over M} =
+\hat{c}(Q) \cdot {\cmax\over M} \ge
\hat{c}(P) \cdot {\cmax\over M}.
}
$$
-Poslední nerovnost platí proto, ¾e $\sum_{i\in Q} \hat{c}_i$ je optimální øe¹ení
-kvantované úlohy, zatímco $\sum_{i\in P} \hat{c}_i$ je nìjaké dal¹í øe¹ení té¾e úlohy,
-které nemù¾e být lep¹í.%
+Poslední nerovnost platí proto, ¾e $\hat{c}(Q)$ je optimální øe¹ení kvantované úlohy,
+zatímco $\hat{c}(P)$ je nìjaké dal¹í øe¹ení té¾e úlohy, které nemù¾e být lep¹í.%
\foot{Zde nás zachraòuje, ¾e aèkoliv u~obou úloh le¾í optimum obecnì jinde, obì mají
stejnou mno¾inu {\I pøípustných øe¹ení,} tedy tìch, která se vejdou do batohu. Kdybychom
místo cen kvantovali hmotnosti, nebyla by to pravda a algoritmus by nefungoval.}
Teï u¾ staèí slo¾it obì nerovnosti a dosadit za~$M$:
$$
\eqalign{
-c(Q) &\ge \biggl( { c(P) \cdot M\over \cmax} - n\biggr) \cdot {\cmax\over M} \ge
+c(Q) &\ge \left( { c(P) \cdot M\over \cmax} - n\right) \cdot {\cmax\over M} \ge
c(P) - {n\cdot \cmax\over n / \varepsilon} \ge c(P) - \varepsilon \cmax \ge \cr
&\ge c(P) - \varepsilon c(P) = (1-\varepsilon)\cdot c(P).
}
$$
-Algoritmus tedy v¾dy vydá øe¹ení, které je nejvý¹e $(1-\varepsilon)$-krát hor¹í ne¾ optimum,
-a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
-{\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
-V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
-schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
-Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
-$1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není. Shròme, co jsme zjistili, do následující vìty:
+Dokázali jsme tedy tuto vìtu:
\s{Vìta:}
Existuje algoritmus, který pro ka¾dé $\varepsilon > 0$ nalezne
{\I $(1 - \varepsilon)$-aproximaci} problému batohu s $n$ pøedmìty v èase
$\O(n^3/\varepsilon)$.
+Dodejme je¹tì, ¾e algoritmùm, které dovedou pro ka¾dé $\varepsilon > 0$ najít
+v~polynomiálním èase $(1-\varepsilon)$-aproximaci optimálního øe¹ení, øíkáme
+{\I polynomiální aproximaèní schémata} (PTAS -- Polynomial-Time Approximation Scheme).
+V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
+schéma je {\I plnì polynomiální} (FPTAS -- Fully Polynomial-Time Approximation Scheme).
+
\bye
projects / ads2.git / commitdiff