\prednaska{11}{Vyhledávací stromy}{}
-Pøedstavme si následující problém: cheme si udr¾ovat urèitá setøídìná data, napøíklad slovník. Polo¾kami jsou uspoøádané dvojice (klíè, hodnota). Klíèe jsou unikátní a jsou to prvky nìjakého lineárnì uspoøádaného universa.
+Pøedstavme si následující problém: potøebujeme si udr¾ovat urèitá setøídìná data, napøíklad slovník. Polo¾kami jsou uspoøádané dvojice (klíè, hodnota). Klíèe jsou unikátní a jsou to prvky nìjakého lineárnì uspoøádaného universa. Hodnoty mohou být libovolné.
Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace:
\itemize\ibull
-\:{\it Insert} vlo¾it novou polo¾ku
-\:{\it Delete} smazat polo¾ku
-\:{\it Find} najít polo¾ku
-\:{\it Max $\&$ Min} vybrat polo¾ku s~nejvìt¹ím, resp. nejmen¹ím klíèem
-\:{\it Pred $\&$ Succ} vybrat polo¾ku s~klíèem o~jedna men¹ím, resp. vìt¹ím
+\:{\it Insert} -- vlo¾it novou polo¾ku
+\:{\it Delete} -- smazat polo¾ku
+\:{\it Find} -- najít polo¾ku
+\:{\it Max $\&$ Min} -- vybrat polo¾ku s~nejvìt¹ím, resp. nejmen¹ím klíèem
+\:{\it Pred $\&$ Succ} -- vybrat polo¾ku s~klíèem nejbli¾¹ím men¹ím, resp. vìt¹ím
\endlist
-Jak by vypadalo nejjednodu¹¹í øe¹ení? Staticky bychom data mohli udr¾ovat v~setøídìném poli. Takové pole se vyrobí v~èase $\Theta(n \cdot log{n})$. Operace {\it Find} by trvala $\Theta(log{n})$ (vyhladávali bychom samozøejmì binárnì). Ale problém by nastal s~operacemi {\it Insert} a {\it Delete}, které by se takto implementovat nedaly, nebo by trvaly hodnì dlouho (napø. v~pøípadì {\it Insert} bychom museli celé pole pøestavìt).
+Jak by vypadalo nejjednodu¹¹í øe¹ení? Staticky bychom data mohli udr¾ovat v~setøídìném poli. Takové pole se vyrobí v~èase $\Theta(n \cdot \log{n})$. Operace {\it Find} by trvala $\Theta(\log{n})$ (vyhledávali bychom samozøejmì binárnì). Ale problém by nastal s~operacemi {\it Insert} a {\it Delete}, které by se takto implementovat nedaly, nebo by trvaly hodnì dlouho (napø. v~pøípadì {\it Insertu} bychom museli celé pole pøestavìt).
\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat binárním vyhledávacím stromem.
\s{Definice:} Pro vrchol $v$ znaèíme:
\itemize\ibull
-\:$l(v)$ a $p(v)$ levý a pravý syn vrcholu $v$
-\:$L(v)$ a $P(v)$ levý a pravý podstrom vrcholu $v$
-\:$S(v)$ pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$
-\:$h(v)$ hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
+\:$l(v)$ a $p(v)$ -- levý a pravý syn vrcholu $v$
+\:$L(v)$ a $P(v)$ -- levý a pravý podstrom vrcholu $v$
+\:$S(v)$ -- pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$
+\:$h(v)$ -- hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
\endlist
-\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací, pokud v~ka¾dém vrcholu je ulo¾ena dvojice (klíè, hodnota) [ztoto¾níme vrchol s~klíèem] a pro v¹echny vrcholy platí: $\forall u \in L(v) : u < v $ $\&$ $ \forall u \in P(v) : u > v$.
+\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací, pokud v~ka¾dém vrcholu je ulo¾ena dvojice (klíè, hodnota) [ztoto¾níme vrchol s~klíèem] a pro v¹echny vrcholy platí: $\left ( \forall u \in L(v) : u < v \right ) $ $ \&$ $ \left ( \forall u \in P(v) : u > v \right )$.
\s{Pøíklady binárních vyhledávacích stromù:}
\algo
\:Pokud $v = \emptyset \Rightarrow$ vrátíme $\emptyset$.
\:Pokud $v = x \Rightarrow$ vrátíme $v$.
-\:Pokud $v < x \Rightarrow$ vrátíme $Find(p(v),x)$.
-\:Pokud $v > x \Rightarrow$ vrátíme $Find(l(v),x)$.
+\:Pokud $v < x \Rightarrow$ vrátíme $\<Find>(p(v),x)$.
+\:Pokud $v > x \Rightarrow$ vrátíme $\<Find>(l(v),x)$.
\endalgo
{\bo Insert$(v,x)$:}
\algo
\:Pokud $v$ je list $\Rightarrow$ jednodu¹e list utrhneme.
\:Pokud $v$ má jednoho syna $\Rightarrow$ vrchol \uv{vyøízneme}.
-\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list a ten utrhneme.
+\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list, a ten utrhneme.
\endalgo
\s{Poznámka:} Pokud má vrchol $v$ pøi operaci {\it Delete} oba syny, je vlo¾ení minima z $P(v)$ ekvivalentní s~vlo¾ením maxima z $L(v)$.
\treepic{3}
\break
-Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být $\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo $\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval\dots
+Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být $\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo $\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval \dots
\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy}
\s{Definice:} {\I Dokonalá vyvá¾enost:} Strom je dokonale vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $.
-Takto definovaný binární strom bude mít urèitì logaritmickou hloubku. Jak takový strom ale konstruovat? To se nám podaøí buï staticky a nebo na~nìm budou operace dra¾¹í ne¾ $\Theta(\log{n})$.
+Takto definovaný binární strom bude mít urèitì logaritmickou hloubku. Jak takový strom ale konstruovat? To se nám podaøí buï staticky, nebo na~nìm budou operace dra¾¹í ne¾ $\Theta(\log{n})$.
-\s{Statická konstrukce dokonale vyvá¾eného BVS:} Vybereme medián posloupnosti a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole.
+\s{Statická konstrukce dokonale vyvá¾eného BVS:} Vybereme prostøední prvek ze setøídìného pole (tedy medián posloupnosti) a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole. Celá konstrukce tedy trvá $\O(n)$.
Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal také efektivnì udr¾ovat. Zkusíme proto slab¹í podmínku:
\s{Definice:} {\I Hloubková vyvá¾enost:} Strom je hloubkovì vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $.
-Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} a platí o~nich následující lemma:
+Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} (objeviteli je ru¹tí matematikové G. M. Adelson-Velsky a E. M. Landis, podle nich jsou také pojmenovány) a platí o~nich následující lemma:
\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $.
A_k &= 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2}. \cr
}$$
-Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o~hloubce $k - 1$ a $k - 2$.
+Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o~hloubkách $k - 1$ a $k - 2$.
+
+Vidíme tedy, ¾e $A_n = F_{n + 2} - 1$. (Mù¾eme dokázat napø. indukcí.)
+Teï nám ji¾ staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste exponenciálnì S výhodou mù¾eme vyu¾ít toho, ¾e na první pøedná¹ce jsme si ji¾ dokázali, ¾e Fibonacciho èísla rostou exponenciálnì. Nicménì pro zapomnìtlivé mù¾eme dùkaz ve struènosti zopakovat:
Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $.
První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí:
projects / ads1.git / commitdiff