\prednaska{10}{Suffixové stromy}{}
V~této kapitole popí¹eme jednu pozoruhodnou datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
-se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a tak je øe¹it v~lineárním èase.
+se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a øe¹it je tak v~lineárním èase.
\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
mno¾inu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvìt¹ili abecedu, ale to bude jasné,
a¾ pøedvedeme konkrétní konstrukce.}
-\:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta_R=\beta$)
--- postavíme spoleèný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha_R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
+\:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta^R=\beta$)
+-- postavíme spoleèný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha^R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
palindromického podslova a v¹imneme si, ¾e takové slovo je pro ka¾dý støed nejdel¹ím spoleèným
prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu pozpátku k~zaèátku,
-èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha_R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
+èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha^R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
listùm sestrojeného ST a jejich nejdel¹í spoleèný prefix je nejbli¾¹ím spoleèným pøedchùdcem
ve~stromu, tak¾e staèí pro strom vybudovat datovou strukturu pro spoleèné pøedchùdce
a s~její pomocí doká¾eme jeden støed prozkoumat v~konstantním èase.
\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma\$$ je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
[Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mù¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé, a naopak.]
-\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
+\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma\$$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
pro~$L_\sigma$ (získáme vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy, pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
i~vrchol, pøes který je~$B$ pøipojen ke~zbytku grafu. Proto externí aktivitu
nadefinujeme tak, aby pokrývala i tyto pøípady:
-\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externì aktivní} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
+\s{Definice:} Vrchol~$w$ je {\I externì aktivní,} pokud buïto z~$w$ vede zpìtná
hrana do~je¹tì nenakresleného vrcholu, nebo je pod~$w$ pøipojen externì aktivní
blok, èili blok obsahující alespoò jeden externì aktivní vrchol.
\uv{Hrrr na nì!} a kdy¾
to nevyjde (dostaneme se do slepé ulièky), kus ustoupíme a pøi ústupu èistíme sí»
odstraòováním slepé ulièky.
-\:U¾ pøi prohledáváni si rovnou udr¾ujeme minimum z rezerv a pøi zpáteèní cestì
+\:U¾ pøi prohledávání si rovnou udr¾ujeme minimum z rezerv a pøi zpáteèní cestì
opravujeme kapacity. Snadno zkombinujeme s~prohledáváním do~hloubky.
\:V prùbìhu výpoètu udr¾ujeme jen sí» rezerv a tok vypoèteme a¾ nakonec z rezerv a kapacit.
\:Kdy¾ budeme chtít hledat minimální øez, spustíme po~Dinicovu algoritmu je¹tì jednu iterací F-F
nerovnost plyne z~legálnosti uspoøádání.
Chceme ukázat, ¾e velikost na¹eho øezu~$C$ je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
-V¹imneme si, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
+V¹imneme si, ¾e $\vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Hrany mezi $v_i$ a $u_i$ jsou toti¾ navzájem
+rùzné a ka¾dá z~nich je souèástí øezu~$C$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
$$\eqalign{
\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \cr
&\geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
pro $R_1$ na $G_1$ a $T_2=((R_2,F_2),C_2)$ pro $R_2$ na $G_2$.
-Nyní vytvoøíme \PGHT{} pro pùvodní graf. Oznaème $r_1$ ten vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C(r_1)$,
+Nyní vytvoøíme \PGHT{} pro pùvodní graf. Oznaème $r_1$ ten vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C_1(r_1)$,
a~obdobnì $r_2$. Oba \PGHT{} $T_1$ a $T_2$ spojíme hranou $r_1r_2$, tak¾e \PGHT{} pro $G$
bude $T=((R_1 \cup R_2,F_1 \cup F_2 \cup {r_1r_2}),C)$. Tøídy rozkladu~$C$ zvolíme tak, ¾e pro $r\in R_1$ bude $C(r)=C_1(r)\setminus\{v_1\}$
a pro $r\in R_2$ bude $C(r)=C_2(r)\setminus\{v_2\}$ [odebrali jsme vrcholy $v_1$ a $v_2$ z~rozkladu~$C$].
a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
tím nevznikne.
-Poèet stromeèku klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
+Poèet stromeèkù klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
implementujeme lineárním prùchodem celého grafu, dostaneme slo¾itost $\O(m\log n)$.
Mimo to lze ka¾dou fázi výteènì paralelizovat.
Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
\s{Cvièení:}
-Naleznìte algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$.
+Naleznìte jednoduchý algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$
+nebo dokonce~$\O(m+nk)$.
\references
\bye
\s{Èasová slo¾itost:}
Slo¾itost první èásti je $\O(m\log\log n)$.
Poèet vrcholù se po~první èásti algoritmu sní¾í na~$n'\leq n/\log n$ a slo¾itost druhé èásti bude
-tedy nanejvý¹ $\O(m+n\log n'/\log n)=\O(m)$.
+tedy nanejvý¹ $\O(m+n'\log n'/\log n)=\O(m)$.
\h{Jarníkùv algoritmus s~omezením velikosti haldy}
\:®ádné dva sousední clustery nelze spojit.
\endlist
-\s{Vìta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Ka¾dá $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù. Existuje
+\s{Vìta:} (Frederickson \cite{frederickson91ambivalent}) Ka¾dá $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(\vert V(G)\vert /c)$ clusterù. Existuje
algoritmus, který jednu takovou najde v~lineárním èase.
\proof První èást rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
\s{Lemma:} LCA lze pøevést na~RMQ s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
èasem na~pøevod dotazu.
-\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ nav¹tívíme vrchol (v~inorderu),
+\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~vrcholu (a» ji¾ poprvé nebo se do~nìj vrátíme),
zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi libovolnou
náv¹tìvou~$x$ a libovolnou náv¹tìvou~$y$.
\qed
øíkat RMQ${\pm}1$ a budeme je umìt øe¹it ¹ikovnou dekompozicí.
\s{Dekompozice} pro RMQ${\pm}1$: Vstupní posloupnost rozdìlíme na~bloky velikosti $b=1/2\cdot \log n$,
-ka¾dý dotaz umíme rozdìlit na~èást týkající se celých blokù a maximálnì dva dotazy na~èásteèné bloky.
+ka¾dý dotaz umíme rozdìlit na~èást týkající se celých blokù a maximálnì dva dotazy na~èásti blokù.
V¹imneme si, ¾e aèkoliv blokù je mnoho, jejich mo¾ných typù (tj. posloupností klesání
a stoupání) je pouze $2^{b-1}\le\sqrt n$ a bloky tého¾ typu se li¹í pouze posunutím
i konstantní/lineární algoritmus pro obecné RMQ.
\s{Definice:} {\I Kartézský strom} pro posloupnost $a_1,\ldots,a_n$ je strom,
-jeho¾ koøenem je $a_j=\min_i a_i$, jeho levý podstrom je kartézský strom pro
-$a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý podstrom kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
+jeho¾ koøenem je minimum posloupnosti, tj. nìjaké $a_j=\min_i a_i$, jeho levý podstrom je
+kartézský strom pro $a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý podstrom kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
projects / ga.git / commitdiff