\prednaska{3}{Dinicùv algoritmus}{}
-Na~minulé pøedná¹ce jsme si~ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento
-algoritmus hledal maximální tok tak, ¾e zaèal s~tokem nulovým a~postupnì ho
-zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít {\I nenasycenou cestu,}
+V~minulé kapitole jsme ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento
+algoritmus hledá maximální tok tak, ¾e zaène s~tokem nulovým a~postupnì ho
+zvìt¹uje. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøebuje v~síti najít {\I nenasycenou cestu,}
tedy takovou, na~ní¾ mají v¹echny hrany kladnou rezervu. Podél takové cesty
-pak tok zvìt¹il.
+pak tok zlep¹í.
Ukázali jsme, ¾e tato cesta existuje právì tehdy, kdy¾ tok je¹tì není
-maximální. Také jsme dokázali, ¾e pro racionální kapacity je tento
+maximální. Také jsme dokázali, ¾e pro racionální kapacity je
algoritmus koneèný a v¾dy najde maximální tok. V~obecném pøípadì to
ov¹em mù¾e trvat velice dlouho.
-Nyní uká¾eme trochu slo¾itìj¹í, ale výraznì rychlej¹í algoritmus zalo¾ený
+Nyní uká¾eme trochu slo¾itìj¹í, ale výraznì rychlej¹í Dinicùv algoritmus zalo¾ený
na my¹lence nezlep¹ovat toky pomocí cest, ale rovnou pomocí tokù~\dots
\h{Sí» rezerv a zlep¹ující toky}
-\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R(S,f)=(V,E,z,s,r)$,
+\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R(S,f):=(V,E,z,s,r)$,
kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ pøi toku~$f$.
Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv konstruujeme pro konkrétní tok v~pùvodní síti.
f'(vu) &:= f(vu) - \delta \cr
f'(uv) &:= f(uv) + g(uv) - \delta \cr
}$$
-(Jinými slovy toté¾ jako pøi zlep¹ování toku ve~Fordovì-Fulkersonovì algoritmu.)
+(To je vlastnì toté¾ jako pøi zlep¹ování toku ve~Fordovì-Fulkersonovì algoritmu.)
{\I Proè je to tok:} Funkce~$f'$ jistì není na ¾ádné hranì záporná. Kapacity
také nepøekroèí: na hranì~$vu$ tok pouze sni¾ujeme, na hranì~$uv$ ho zvý¹íme jen
Je¹tì ovìøíme, ¾e $f'$~splòuje Kirchhoffùv zákon. Uká¾eme, ¾e pro ka¾dý vrchol~$v$
platí $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v)$, tak¾e pokud zákon platil pro $f$
-i~$g$, musí platit i pro~$f'$. V¹imneme si, ¾e za hranu~$uv$ na¹e konstrukce zvý¹í
+i~$g$, musí platit i pro~$f'$. Staèí si v¹imnout, ¾e za hranu~$uv$ na¹e konstrukce
zvý¹í $f^\Delta(u)$ o~$-g(uv)$ a~$f^\Delta(v)$ o~$g(uv)$. To je pøesnì tolik, èím
tato hrana pøispívá k~$g^\Delta(u)$ a~$g^\Delta(v)$. Pro hranu~$vu$, po které
neteklo nic, platí triviálnì toté¾.
tok pomocí nich zlep¹ovat, a¾ se dostane k~maximálnímu toku. Poèet potøebných iterací
pøitom bude záviset na tom, jak \uv{kvalitní} pomocné toky se¾ene -- na jednu stranu bychom
chtìli, aby byly podobné maximálnímu toku, na druhou stranu jejich výpoètem nechceme
-trávit pøíli¹ mnoho èasu. Vhodným kompromisem jsou blokující toky:
+trávit pøíli¹ mnoho èasu. Vhodným kompromisem jsou tzv. blokující toky:
-\s{Definice:} Tok~$f$ je {\I blokující}, jestli¾e pro~ka¾dou orientovanou
-cestu~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje hrana~$e \in P$, pro ní¾ $f(e) = c(e)$.
+\s{Definice:} Tok je {\I blokující}, jestli¾e na~ka¾dé orientované
+cestì ze~zdroje do~spotøebièe existuje alespoò jedna hrana, na ní¾ je
+tok roven kapacitì.
\s{Definice:} Sí» je {\I vrstevnatá (proèi¹tìná)}, pokud v¹echny její vrcholy
a~hrany le¾í na~nejkrat¹ích cestách ze~$z$ do~$s$. (Abychom vyhovìli na¹í definici
\figure{dinic-cistasit.eps}{Proèi¹tìná sí» rozdìlená do~vrstev}{0.4\hsize}
\algo{Dinic}
+\algin Sí» $(V,E,c,z,s)$.
\:$f \leftarrow \hbox{nulový tok.}$
\:Opakujeme:
\::Sestrojíme sí» rezerv~$R$ a~sma¾eme hrany s~nulovou rezervou.
\::$\ell \leftarrow$ délka nejkrat¹í cesty ze~$z$ do~$s$ v~$R$.
-\::Pokud $l = \infty$, zastavíme se~a vrátíme~$f$.
+\::Pokud $l = \infty$, zastavíme se~a vrátíme výsledek~$f$.
\::Proèistíme sí»~$R$.
\::$g \leftarrow \hbox{blokující tok v~$R$.}$
\::Zlep¹íme tok~$f$ pomocí~$g$.
+\algout Maximální tok~$f$.
\endalgo
\proc{Èi¹tìníSítì}
\:Rozdìlíme vrcholy do~vrstev podle vzdálenosti od~$z$.
-\:Odstraníme vrstvy za~$s$ (tedy vrcholy vzdálenìj¹í ne¾~$\ell$).
+\:Odstraníme vrstvy za~$s$ (tedy vrcholy ve~vzdálenosti vìt¹í ne¾~$\ell$).
\:Odstraníme hrany do~pøedchozích vrstev a hrany uvnitø vrstev.
-\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^{out}(v) = 0$:
-opakovanì pomocí fronty~$F$:
-\::$F \leftarrow \{ v\ne s \mid \deg^{out}(v) = 0 \}.$
+\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^-(v) = 0$:
+\::$F \leftarrow \{ v\ne s \mid \deg^+(v) = 0 \}.$ \cmt{fronta vrcholù ke~smazání}
\::Dokud $F\ne\emptyset$, opakujeme:
-\:::Vezmeme vrchol~$v$ z~$F$.
-\:::Sma¾eme~$v$ i v¹echny hrany, které do nìj vedou.
-\:::Pokud nìjakému vrcholu klesl $\deg^{out}$ na~0, pøidáme ho do~$F$.
+\:::Odebereme vrchol~$v$ z~$F$.
+\:::Sma¾eme ze sítì vrchol~$v$ i v¹echny hrany, které do nìj vedou.
+\:::Pokud nìjakému vrcholu klesl $\deg^+$ na~0, pøidáme ho do~$F$.
\endalgo
\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a~slepé ulièky.}{0.45\hsize}
-\s{Hledání blokujícího toku podrobnìji:}
+\s{Jak nalézt blokující tok:}
Zaèneme s~nulovým tokem~$g$ a budeme ho postupnì zlep¹ovat. Poka¾dé najdeme nìjakou
orientovanou cestu ze~zdroje do stoku -- to se ve~vrstevnaté síti dìlá snadno,
staèí vyrazit ze~zdroje a pak následovat libovolnou hranu. A¾ cestu najdeme,
\nobreak
\proc{BlokujícíTok}
+\algin Vrstevnatá sí»~$R$ s~rezervami~$r$.
\:$g \leftarrow$ nulový tok.
\:Dokud v~$R$ existuje orientovaná cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$, opakujeme:
\::$\varepsilon \leftarrow \min_{e \in P} \left(r(e) - g(e)\right)$.
\::Pro v¹echny $e \in P: g(e) \leftarrow g(e) + \varepsilon$.
-\::Pokud $g(e) = r(e)$, sma¾eme~$e$ z~$R$.
+\::Pokud pro kteroukoliv~$e$ nastalo $g(e) = r(e)$, sma¾eme~$e$ z~$R$.
\::Doèistíme sí» pomocí fronty.
+\algout Blokující tok~$g$.
\endalgo
\h{Analýza Dinicova algoritmu}
Nyní rozebereme èasovou slo¾itost. Rozdìlíme si k~tomu úèelu algoritmus
na {\I fáze} -- tak budeme øíkat jednotlivým prùchodùm vnìj¹ím cyklem.
-Také budeme pøedpokládat, ¾e graf na vstupu neobsahuje izolované vrcholy, tak¾e
+Také budeme pøedpokládat, ¾e sí» na vstupu neobsahuje izolované vrcholy, tak¾e
$\O(n+m) = \O(m)$.
\s{Lemma S (o~slo¾itosti fází):} Ka¾dá fáze trvá $\O(nm)$.
nejvý¹e jednou za~fázi.
Hledání blokujícího toku projde nejvý¹e~$m$ cest, proto¾e poka¾dé ze~sítì
-vypadne alespoò jedna hrana a u¾ se tam nevrátí. Nalezení cesty metodou
-\uv{rovnou za nosem} pøitom trvá $\O(n)$. Celkem tedy $\O(nm)$ plus èi¹tìní,
-které jsme ale u¾ zapoèítali.
+vypadne alespoò jedna hrana (ta, na ní¾ se v~kroku~3 nabývalo minimum)
+a u¾ se tam nevrátí. Nalezení cesty metodou \uv{rovnou za nosem} pøitom trvá
+$\O(n)$. Celkem tedy $\O(nm)$ plus èi¹tìní, které jsme ale u¾ zapoèítali.
Celá jedna fáze proto dobìhne v~èase $\O(m + m + nm) = \O(nm)$.
\qed
s~nulovou rezervou, ale je¹tì pøed proèi¹tìním. Nech» nejkrat¹í cesta
ze~$z$ do~$s$ v~$R_i$ je dlouhá~$\ell$.
-Jak se li¹í~$R_{i+1}$ od $R_i$? Pøedev¹ím z~ka¾dé cesty délky~$\ell$
-jsme smazali alespoò jednu hranu: ka¾dá taková cesta toti¾ byla blokujícím
+Jak se li¹í~$R_{i+1}$ od $R_i$? Pøedev¹ím jsme z~ka¾dé cesty délky~$\ell$
+smazali alespoò jednu hranu: ka¾dá taková cesta toti¾ byla blokujícím
tokem zablokována, tak¾e alespoò jedné její hranì klesla rezerva na nulu, èím¾
hrana vypadla. ®ádná z~pùvodních cest délky~$\ell$ tedy ji¾ v~$R_{i+1}$ neexistuje.
\figure{dinic-cestashranouzpet.eps}{Cesta u¾ívající novou zpìtnou hranu}{0.4\hsize}
-V¹echna dokázaná tvrzení mù¾eme shrnout do~následující vìty:
-
\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(n^2m)$.
\proof
Jeliko¾ ka¾dá cesta obsahuje nejvý¹e~$n$ vrcholù, z~lemmatu~C plyne,
¾e fází probìhne nejvý¹e~$n$. Ka¾dá fáze podle lemmatu~S trvá $\O(nm)$,
co¾ dává celkovou slo¾itost $\O(n^2m)$. Speciálnì se tedy algoritmus v¾dy zastaví, tak¾e podle
-lemmatu~K o~korektnosti vydá maximální tok.
+lemmatu~K vydá maximální tok.
\qed
-\ss{Pár poznámek na závìr:}
-
+\s{Poznámka:}
Na rozdíl od~Fordova-Fulkersonova algoritmu jsme tentokrát nikde nevy¾adovali
racionálnost kapacit -- odhad èasové slo¾itosti se o~kapacity vùbec neopírá.
Nezávisle jsme tedy dokázali, ¾e i v~sítích s~iracionálními kapacitami v¾dy
existuje alespoò jeden maximální tok.
-V~sítích s~malými celoèíselnými kapacitami se algoritmus chová daleko lépe,
+V~sítích s~malými celoèíselnými kapacitami se navíc algoritmus chová daleko lépe,
ne¾ øíká ná¹ odhad. Snadno se dá dokázat, ¾e pro jednotkové kapacity dobìhne
-v~èase $\O(nm)$ (stejnì jako Fordùv-Fulkersonùv). Uveïme bez dùkazu je¹tì
+v~èase $\O(mn)$ (stejnì jako Fordùv-Fulkersonùv). Uveïme bez dùkazu je¹tì
jeden silnìj¹í výsledek: v~síti vzniklé pøi hledání nejvìt¹ího párování
-algoritmem z~minulé pøedná¹ky je slo¾itost Dinicova algoritmu omezena $\O(\sqrt
-n \cdot m)$.
+algoritmem z~minulé kapitoly Dinicùv algoritmus pracuje v~èase $\O(\sqrt n \cdot m)$.
+
+\exercises
+
+\ex{Doka¾te, ¾e pro jednotkové kapacity Dinicùv algoritmus dobìhne v~èase $\O(mn)$.}
+
+\ex{Blokující tok lze také sestrojit pomocí prohledávání do~hloubky.
+Poka¾dé, kdy¾ projdeme hranou, pøepoèítáme prùbì¾né minimum. Pokud najdeme
+stok, vracíme se do~koøene a upravujeme tok na~hranách. Pokud narazíme na slepou ulièku,
+vrátíme se o~krok zpìt a sma¾eme hranu, po~ní¾ jsme pøi¹li. Doplòte detaily.}
-%% FIXME: Dinic pomocí DFS
+\endexercises
\bye
projects / ads2.git / commitdiff