\input ../lecnotes.tex
\let\la\leftarrow
-\prednaska{4}{Aplikace DFS}{}
+\prednaska{4}{Aplikace DFS}{do pou¾itelné podoby dokopal Jan \uv{Moskyto} Matìjka}
-\h{Nejdel¹í cesta v ohodnoceném DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù)}
+\h{Detekce cyklù v orientovaném grafu}
+
+Algoritmus na vypsání {\I v¹ech} cyklù v grafu si neuká¾eme, nebo» tento
+problém je tì¾¹í, ne¾ se zdá. Mimo jiné proto, ¾e cyklù mù¾e být a¾
+exponenciálnì mnoho. Zde probíráme nalezení {\I nìjakého} cyklu v orientovaném
+grafu.
+
+\s{Definice:} $\<DFS>(G)$ znaèíme spu¹tìní DFS tak, aby pro¹el v¹echny vrcholy.
+
+Realizace pøedchozí definice je jednoduchá.
+\algo
+\:Dokud existuje nenav¹tívený vrchol $v$:
+\::Spustíme $\<DFS>(v)$.
+\endalgo
+
+\s{Lemma:} Cyklus je v grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $\<DFS>(G)$ oznaèí nìjakou
+hranu jako zpìtnou.
+
+\proof Buï $v_1,v_2,\dots,v_k,v_1$ cyklus v grafu $G$ a $v_1$ buï BÚNO vrchol s
+max. $\<out>(v_i)$. Pak jistì $\<out>(v_k) < \<out>(v_1)$. Jakého typu je hrana
+$(v_k,v_1)$?
+
+Uva¾me poøadí opou¹tìní vrcholù na rùzných typech hran $(x,y)$. Na
+stromové, dopøedné a pøíèné hranì platí $\<out>(x) > \<out>(y)$, na zpìtné
+$\<out>(x) < \<out>(y)$. Tedy $(v_k,v_1)$ musí být nutnì zpìtná.
+
+V opaèném smìru nalezneme pro zpìtnou hranu $(x,y)$ cestu z $y$ do $x$ po
+stromových hranách. \qed
+
+\s{Algoritmus:}
+\algo
+\algin Graf $G$
+\:Spustíme $\<DFS>(G)$ a pøi nalezení první zpìtné hrany $(u,v)$ zastavíme.
+\:Pokud jsme nalezli zpìtnou hranu:
+\::Vypí¹eme v¹echny vrcholy mezi $(u,v)$ ze zásobníku onoho DFS v opaèném poøadí.
+\:jinak
+\::Graf je acyklický.
+\endalgo
+
+\s{Èasová i pamì»ová slo¾itost} je $\O(m+n)$, nebo» se jedná o triviálnì upravené DFS.
+
+\h{Topologické uspoøádání DAGu (grafu bez orientovaných cyklù)}
+
+\s{Definice:} {\it Topologické uspoøádání} acyklického orientovaného grafu $G$ o $k$
+vrcholech je ohodnocení vrcholù èísly $1\dots k$ tak, ¾e $(u,v) \in E(G)
+\Rightarrow f(u) < f(v)$.
+
+\s{Pozorování:} Vhodné topologické uspoøádání nám dá napøíklad $\<out>$ z
+$\<DFS>(G^R)$. $G^R$~budi¾ graf $G$, ve kterém otoèíme orientace v¹ech hran.
+
+\h{Hledání mostù v neorientovaném grafu}
+
+\s{Definice:} Hrana $uv \in E(G)$ je {\I most}, pokud se jejím odebráním
+z~grafu $G$ zvý¹í poèet komponent souvislosti tohoto grafu.
+
+\s{Pozorování:} Hrana, která je v nìjakém cyklu, nemù¾e být mostem. Z cyklu
+toti¾ lze libovolnì odebrat jednu hranu a pøesto zùstane souvislý. V¹echny
+ostatní hrany naopak mosty jsou.
+
+Mù¾e být mostem jiná hrana ne¾ stromová? Zpìtné hrany nutnì tvoøí cyklus.
+Pøíèné a dopøedné se v neorientovaném DFS neobjeví.
+
+Hledáme tedy v¹echny stromové hrany, které nejsou v ¾ádném cyklu. Projdeme graf
+zase pomocí upraveného DFS.
+
+Kdy je hrana $uv$ v nìjakém cyklu? Kdy¾ existuje cesta $v\dots w$ (a nebo
+$v=w$), zpìtná hrana $wx$ a cesta $x\dots u$ (a nebo $x=u$).
+
+\smallskip
+\s{Algoritmus} bude je¹tì trochu více upravené DFS. Pro ka¾dý vrchol~$v$ si
+budeme kromì hloubky je¹tì pamatovat $z(v)$. To bude nejmen¹í \<in> vrcholu,
+do kterého se dá dostat po zpìtných hranách z~vrcholu $v$ nebo podstromu pod ním.
+
+\algo
+\:Vstoupíme do vrcholu $u$ jako DFS.
+\:$x \la $~minimum z $\<in>(v)$ pøes v¹echny zpìtné hrany $uv$
+\:$y \la $~minimum ze $z(w)$ pøes v¹echny stromové hrany $uw$
+\:$z(u) \la \min xy$
+\:Pokud $z(u) \ge \<in>(u)$,
+\::je jistì mostem hrana, po které jsme vstoupili do $u$.
+\endalgo
+
+\s{Èasová i pamì»ová slo¾itost} tohoto upraveného DFS jsou $\O(m+n)$.
+
+\qed
+
+\h{Nejdel¹í cesta v ohodnoceném DAGu}
\s{Definice:} Pro $u,v \in V$ bude $D(u,v)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $v$.
$D^R(u,v)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafu s otoèenými hranami.
$W_i = \{w_j\mid(w_j,w_i)\in E\}$.
\:Pro v¹echny vrcholy $w_i$ pøed $u$ ($\forall w_i: i<k$) nastavíme délku cesty $D(u,w_i)=-\infty$, pro $u$ pak $D(u,u)=0$.
\:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro ka¾dý z nich spoèítáme $D(u,w_i)$.
-$$D(u,w_i)=\max_{w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(u,w_j)+ e(w_i,w_j))$$
+$$D(u,w_i)=\max_{w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(u,w_j)+ e(w_j,w_i))$$
\algout $\left\{\strut D(u,w_i)\right\}$.
\endalgo
\s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání a pøedpoèet v $\O(n+m)$. Postupné poèítání $D(u,w)$ také v $\O(n+m)$, celkem $\O(n+m)$.
\endalgo
\s{Èasová a pamì»ová slo¾itost:} $\O(n+m)$
-%\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
-% MQ: Toto pozorování mì mate. Co tam má být doopravdy?
-
-%%%%%%
-%
-%\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
-%
-%\h{Hledání mostu}
-%
-%\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
-%
-%Jak to poznat o stromové?
-%
-%\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
-%
-%\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
-%
-%$\<low>(v) < \<in>(u)$
-%
-%$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
-%
-%\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
-%
-%%%%%%
-
\h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty silné souvislosti}
-\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv$ znamená, ¾e existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaènì.
+\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ taková, ¾e $uRv$ právì tehdy, kdy¾ existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a souèasnì z~$v$ do~$u$.
% WTF?
%\>{\I Pozorování:} Pokud $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.
-\s{Definice:} $G$ je silnì souvislý právì tehdy, kdy¾ $\forall (u,v) \in V(G): uRv$.
+\s{Definice:} $G$ je {\I silnì souvislý} právì tehdy, kdy¾ $\forall (u,v) \in V(G): uRv$.
+
+\s{Definice:} {\I Komponenty silné souvislosti} grafu $G$ jsou ekvivalenèní tøídy relace $R$.
-\s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G$ jsou tøídy ekvivalence relace $R$.
+\s{Poznámka:} Je $R$ vùbec ekvivalence? Ano, zkuste si v definici prohodit $u$ a $v$.
-\s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
+\s{Definice:} {\I Graf komponent} $C(G)$
$V(C(G))$: Komponenty silné souvislosti grafu $G$
\s{Lemma:} Graf komponent $C(G)$ ka¾dého grafu $G$ je DAG.
\proof
-Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují
-vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i,
-y_i)$ jsou hrany grafu~$G$.
+Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Podle definice grafu
+komponent tedy musí existovat vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k
+\in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i, y_i)$ jsou hrany grafu~$G$.
-V¹echny $C_i$ jsou silnì souvislé, tedy existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$
-v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor, nebo» v¹echny vrcholy
+V¹echny $C_i$ jsou silnì souvislé, tedy existuje cesta z~$y_{i-1} \pmod k$ do~$x_i$
+v~$C_i$. Slepíme nyní v¹echny tyhle cesty a hrany za sebe.
+{\catcode`\@\active\let@\rightarrow$$x_1@y_1@\dots@x_2@y_2@\dots@x_3@y_3@\dots\,\dots\,\dots@x_k@y_k@\dots@x_1$$}
+
+Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor, nebo» v¹echny vrcholy
v~cyklu musí le¾et v jedné komponentì souvislosti.
\qed
\smallskip
+\s{Definice:} {\it Zdroj} v grafu $G$ je takový vrchol, do kterého nevedou ¾ádné hrany
+
\s{Definice:} {\it Zdrojová komponenta} grafu $G$ je taková komponenta silné
souvislosti, která tvoøí zdroj v $C(G)$.
Pustíme-li $\<DFS>(G)$, pak vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í nutnì ve zdrojové
komponentì (laskavý ètenáø doká¾e samostatnì).
-\s{Tvrzeníèko:} Dále pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $$\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x).$$
+\s{Tvrzeníèko:} Pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $$\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x).$$
\proof
\itemize\ibull
\endlist
\qed
-\s{Algoritmus:}
+Vybereme si tedy vrchol $v_1$ ve zdrojové komponentì grafu $G$ (ten s maximálním $\<out>(v_1)$), spustíme
+$\<DFS>(v)$ v $G^R$ a v¹echny dosa¾ené vrcholy $w$ oznaèkujeme -- $\<komp>(w) \la v$.
+
+Nyní si vybereme vrchol $v_2$ ve zdrojové komponentì neoznaèkované èásti $G'$
+grafu $G$ (ten s maximálním $\<out>(v_2)$) \dots\ a algoritmus analogicky opakujeme, dokud
+existují neoznaèkované vrcholy.
+\s{Pozorování:} Neoznaèkovaná èást $G'$ grafu $G$ je prázdná, nebo má zdrojovou
+komponentu. Kdyby zdrojovou komponentu nemìla, tak nemá zdroj ani $C(G')$, tedy
+$C(G')$ buïto obsahuje cyklus (spor s definicí), nebo je prázdný.
+
+\goodbreak
+\s{Algoritmus:}
\algo
\algin Graf $G$
\:Sestrojíme $G^R$
-\:$Z$ prázdný zásobník, $\<komp>(*) \la$ ?
+\:$Z \la$ prázdný zásobník, $\<komp>(*) \la$ ?
\:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu jej vlo¾íme do $Z$. Máme tedy vrcholy v zásobníku setøídìné podle $\<out>(v)$.
\:Postupnì pro $v \in Z$:
\::Pokud $\<komp>(v)=~?$
-\:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholùm $w$ nastavíme $\<komp>(w) \la v$.
+\:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$ s omezením jen na vrcholy $w$, pro které $\<komp>(w) =~?$, v¹em nav¹tíveným vrcholùm $w$ nastavíme $\<komp>(w) \la v$.
\algout Pro ka¾dý vrchol $v$ vrátíme jeho komponentu $\<komp>(v)$.
\endalgo
-\h{Detekce cyklù v grafu}
-
-Algoritmus na vypsání {\I v¹ech} cyklù v grafu si neuká¾eme, nebo» tento
-problém je tì¾¹í, ne¾ se zdá. Zde probíráme nalezení {\I nìjakého} cyklu v grafu.
-
-\s{Lemma:} Cyklus je v grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $\<DFS>(G)$ oznaèí nìjakou
-hranu jako zpìtnou.
-
-\proof Nech» je v grafu $G$ cyklus $v_1,v_2,\dots,v_k,v_1$, nech» $\<DFS>(G)$ urèí
-nìjakou funkci $\<out>$. Nech» je oznaèení vrcholù takové, ¾e $\<out>(v_1)$ je
-maximální pøes celý cyklus. Pak jistì $\<out>(v_k) < \<out>(v_1)$.
-
-Nyní uva¾me poøadí opou¹tìní vrcholù na rùzných typech hran $(x,y)$. Na
-stromové, dopøedné a pøíèné hranì platí $\<out>(x) > \<out>(y)$, na zpìtné
-$\<out>(x) < \<out>(y)$. Tedy $(v_k,v_1)$ musí být nutnì zpìtná.
-
-Opaèná implikace je triviální.
-\qed
-
-Dùkaz nám sám dává zpùsob, jak najít cyklus v grafu.
-
-\s{Algoritmus:}
-\algo
-\algin Graf $G$
-\:$Z$ budi¾ prázdný zásobník.
-\:Spustíme $\<DFS>(G)$ a pøi nalezení první zpìtné hrany $(u,v)$ zastavíme.
-\:Postupnì pro v¹echny otevøené vrcholy $w$ v poøadí, ve kterém by se z~nich DFS vracelo
-\::vlo¾íme $w$ na zásobník $Z$
-\::Pokud $w = v$ (nalezli jsme konec zpìtné hrany)
-\:::ukonèíme cyklus
-\algout Obsah zásobníku $Z$ (nalezený cyklus).
-\endalgo
-
-\h{Hledání mostù v neorientovaném grafu}
-
-\s{Definice:} Hrana $uv \in E(G)$ je {\I most}, pokud se jejím odebráním
-z~grafu $G$ zvý¹í poèet komponent souvislosti tohoto grafu.
-
-\s{Pozorování:} Hrana, která je v nìjakém cyklu, nemù¾e být mostem. Z cyklu
-toti¾ lze libovolnì odebrat jednu hranu a pøesto zùstane souvislý. V¹echny
-ostatní hrany naopak mosty jsou.
-
-Mù¾e být mostem jiná hrana ne¾ stromová? Zpìtné hrany nutnì tvoøí cyklus.
-Pøíèné a dopøedné se v neorientovaném DFS neobjeví.
-
-Hledáme tedy v¹echny stromové hrany, které nejsou v ¾ádném cyklu. Projdeme graf
-zase pomocí upraveného DFS.
-
-Kdy je hrana $uv$ v nìjakém cyklu? Kdy¾ existuje cesta $v\dots w$ (a nebo
-$v=w$), zpìtná hrana $wx$ a cesta $x\dots u$ (a nebo $x=u$).
-
-\smallskip
-\s{Algoritmus} bude je¹tì trochu více upravené DFS. Pro ka¾dý vrchol~$v$ si
-budeme kromì hloubky je¹tì pamatovat $z(v)$. To bude nejmen¹í \<in> vrcholu,
-do kterého se dá dostat po zpìtných hranách z~vrcholu $v$ nebo podstromu pod ním.
-
-\algo
-\:Vstoupíme do vrcholu $u$ jako DFS.
-\:$x \la $~minimum z $\<in>(v)$ pøes v¹echny zpìtné hrany $uv$
-\:$y \la $~minimum ze $z(w)$ pøes v¹echny stromové hrany $uw$
-\:$z(u) \la \min xy$
-\:Pokud $z(u) \ge \<in>(u)$,
-\::je jistì mostem hrana, po které jsme vstoupili do $u$.
-\endalgo
-
-\qed
+\s{Èasová a pamì»ová slo¾itost} bude $\O(m+n)$, nebo» první DFS má $\O(m+n)$,
+ka¾dé dal¹í DFS se omezí jen na svoji komponentu silné souvislosti a souèet
+velikostí v¹ech komponent souvislosti je $\O(m+n)$.
\bye
projects / ads1.git / commitdiff