\prednaska{2}{Toky v sítích}{}
-\s{První motivaèní úloha:} {\I Rozvod èajovodu do~v¹ech uèeben.}
-\smallskip
+\h{Motivaèní úlohy}
Pøedstavme si, ¾e~by v~budovì fakulty na~Malé Stranì existoval èajovod, který
-by rozvádìl èaj do~ka¾dé uèebny. Znázornìme si to orientovaným grafem, kde by
-jeden významný vrchol pøedstavoval èajovar a~druhý uèebnu, ve~které sedíme.
-Hrany mezi vrcholy by pøedstavovaly vìtvící se trubky, které mají èaj rozvádìt.
-Jak rozvést co nejefektivnìji dostatek èaje do~dané uèebny?
+by rozvádìl èaj do~ka¾dé uèebny. Znázornìme si to orientovaným grafem, v~nìm¾
+jeden významný vrchol pøedstavuje èajovar a~druhý uèebnu, ve~které sedíme.
+Hrany mezi vrcholy pak pøedstavují vìtvící se trubky, které mají èaj rozvádìt.
+Jak dopravit co nejvíce èaje do~dané uèebny?
\figure{toky01.eps}{Èajovod}{2in}
-\s{Druhá motivaèní úloha:} {\I Pøenos dat.}
-\smallskip
-
Jiným pøíkladem mù¾e být poèítaèová sí» na~pøenos dat, která se sestává z~pøenosových linek
spojených pomocí routerù. Data se sice obvykle pøená¹ejí po~paketech, ale to
mù¾eme pøi dne¹ních rychlostech pøenosu zanedbat a pova¾ovat data za spojitá.
Jak pøená¹et data mezi dvìma poèítaèi v~síti co nejrychleji?
+\h{Toky v~sítích}
+
\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,z,s,c)$, pro ní¾ platí:
\itemize\ibull
\:$(V,E)$ je orientovaný graf.
\:$c:E\to{\bb R}_{0}^{+}$ je {\I kapacita} hran.
\:$z,s \in V$ jsou dva vrcholy grafu, kterým øíkáme {\I zdroj} a~{\I stok} (spotøebiè).
-\:Graf je symetrický, tedy $\forall u,v \in V: uv \in E \Leftrightarrow vu \in E$ (tuto podmínku si~mù¾eme zvolit bez~újmy na~obecnosti, nebo» v¾dy mù¾eme do~grafu pøidat hranu, která v~nìm je¹tì nebyla, a~dát jí nulovou kapacitu).
-\endlist
-
-\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{2.5in}
-
-\s{Konvence:} Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme hranu z~vrcholu~$u$ do vrcholu~$v$
+\:Graf je symetrický, tedy $\forall u,v \in V: uv \in E \Leftrightarrow vu \in E$\foot{%
+Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme hranu z~vrcholu~$u$ do vrcholu~$v$
znaèit $uv$ namísto formálnìj¹ího, ale ménì pøehledného $(u,v)$. Podobnì pro neorientovaný
-pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.
+pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.}
+(tuto podmínku si~mù¾eme zvolit bez~újmy na~obecnosti, nebo» v¾dy mù¾eme
+do~grafu pøidat hranu, která v~nìm je¹tì nebyla, a~dát jí nulovou kapacitu).
+
+\endlist
\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E \to {\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e~platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $\forall e \in E : f(e)\le c(e)$.
-\:Kirchhoffùv zákon: $$\forall v \in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f(vu)}.$$ Neboli pro~ka¾dý vrchol kromì zdroje a~stoku platí, ¾e~to, co do~nìj pøitéká, je stejnì velké jako to, co z~nìj odtéká (\uv{sí» tìsní}).
+\:{\I Kirchhoffùv zákon:}
+$$\forall v \in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f(vu)}.$$
+Neboli pro~ka¾dý vrchol kromì zdroje a~stoku platí, ¾e~to, co do~nìj pøitéká,
+je stejnì velké jako to, co z~nìj odtéká (\uv{sí» tìsní}).
\endlist
+\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{2.5in}
+
+%% \figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}
+
\s{Definice:} Pro libovolnou funkci $f:E \to {\bb R}$ se nám bude hodit následující znaèení:
\itemize\ibull
-\:$f^+(v) = \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}$ (celkový pøítok do vrcholu)
-\:$f^-(v) = \sum_{u: vu \in E}{f(vu)}$ (celkový odtok)
-\:$f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)$ (pøebytek ve~vrcholu)
+\:$f^+(v) = \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}$ (celkový {\I pøítok} do vrcholu)
+\:$f^-(v) = \sum_{u: vu \in E}{f(vu)}$ (celkový {\I odtok} z~vrcholu)
+\:$f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)$ ({\I pøebytek} ve~vrcholu)
\endlist
\>(Kirchhoffùv zákon pak øíká prostì to, ¾e $f^\Delta(v)=0$ pro v¹echna $v\ne z,s$.)
-\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}
-
\s{Pozorování:} Nìjaký tok v¾dy existuje. V libovolné síti mù¾eme v¾dy zvolit
konstantnì nulovou funkci (po~¾ádné hranì nic nepoteèe). To je korektní tok,
ale sotva u¾iteèný. Budeme chtít najít tok, který pøepraví co nejvíce tekutiny
ze~zdroje do~spotøebièe.
\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ budeme znaèit $\vert f\vert$ a polo¾íme ji
-rovnou rozdílu souètu velikostí toku na~hranách vedoucích do~$s$ a~souètu velikostí
-toku na~hranách vedoucích z~$s$. Neboli $\vert f\vert:=f^\Delta(s).$
+rovnu souètu velikostí toku na hranách vedoucích do spotøebièe minus souèet
+velikostí tokù na~hranách ze~spotøebièe ven. V~na¹í terminologii je to tedy
+pøebytek ve~spotøebièi: $\vert f\vert:=f^\Delta(s).$
\s{Pozorování:} Jeliko¾ sí» tìsní, mìlo by být jedno, zda velikost toku mìøíme
u~spotøebièe nebo u~zdroje. Vskutku, krátkým výpoètem ovìøíme, ¾e tomu tak je:
e,f \in F : e \cap f = \emptyset$. {\I Velikostí} párování myslíme poèet jeho
hran.
-\s{Øe¹ení:}
-Mìjme bipartitní graf $G = (V,E)$. V~nìm hledáme nejvìt¹í párování. Sestrojme
-si~sí» takovou, ¾e~vezmeme vrcholy $V$ grafu $G$ a~pøidáme k~nim dva speciální
-vrcholy $z$ (zdroj) a~$s$ (stok) a~ze~zdroje pøidáme hrany do~v¹ech vrcholù
-levé partity a~ze~v¹ech vrcholù pravé partity povedeme hrany do~stoku. V¹echny
-kapacity nastavme na~1. Hrany bipartitního grafu zorientujme z levé partity do
-pravé. Nyní staèí jen na~tuto sí» spustit Fordùv-Fulkersonùv algoritmus (nebo
-libovolný jiný algoritmus, který najde maximální celoèíselný tok) a~a¾~dobìhne,
-tak prohlásit hrany s~tokem 1 za~maximální párování.
-
-\figure{toky04.eps}{Hledání maximálního párování v~bipartitním grafu.}{2in}
-
-Existuje toti¾ bijekce mezi párováním a~celoèíselnými toky, je¾ zachovává
-velikost. Z ka¾dého celoèíselného toku na~vý¹e zmínìném grafu (viz obrázek) lze sestrojit
-párování o~stejné velikosti (velikost toku zde odpovídá poètu hran bipartitního
-grafu, po~kterých poteèe 1) a~naopak. Dùle¾ité je uvìdomit si, ¾e~definice toku
-(omezení toku kapacitou a~Kirchhoffovy zákony) nám zaruèují, ¾e~hrany
-s~nenulovým tokem (tedy jednièkovým) budou tvoøit párování (nestane se, ¾e~by
-dvì hrany zaèínaly nebo konèily ve~stejném vrcholu, nebo» by se~nutnì poru¹ila
-jedna ze~dvou podmínek definice toku). Potom i~maximální tok bude odpovídat
-maximálnímu párování a~naopak.
-
-V~bipartitním grafu najdeme maximální párování v~èase $\O(n \cdot (m+n))$.
-Fordùv-Fulkersonùv algoritmus stráví jednou iterací èas $\O(m+n)$
-(za~prohledání do~¹íøky) a~pøi~jednotkových kapacitách bude iterací
-nejvý¹e~$n$, proto¾e ka¾dou se~tok zvìt¹í alespoò o~1 a v¹echny toky jsou
-omezené øezem kolem zdroje, který má kapacitu nejvý¹e~$n$. Výsledná èasová
-slo¾itost hledání maximálního párování bude tedy $\O(n \cdot (m+n))$.
+Chceme-li v~daném bipartitním grafu $(V,E)$ nalézt nejmen¹í párování,
+pøetvoøíme jej nejprve na sí» $(V',E',c,z,s)$ takto:
+
+\itemize\ibull
+\:Nalezneme partity grafu, budeme jim øíkat {\I levá} a {\I pravá.}
+\:Pøidáme zdroj~$z$ a vedeme z~nìj hrany do v¹ech vrcholù levé partity.
+\:Pøidáme spotøebiè~$s$ a vedeme do nìj hrany ze~v¹ech vrcholù pravé partity.
+\:Hrany zadaného grafu zorientujeme zleva doprava.
+\:V¹em hranám nastavíme jednotkovou kapacitu.
+\endlist
+
+\figure{toky04.eps}{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitním grafu.}{2in}
+
+\>Nyní v~této síti najdeme maximální celoèíselný tok. Jeliko¾ v¹echny hrany
+mají kapacitu~1, musí po ka¾dé hranì téci buï~0 nebo~1. Do~výsledného párování
+dáme právì ty hrany pùvodního grafu, po~kterých teèe~1.
+
+Dostaneme opravdu párování? Kdybychom nedostali, znamenalo by to, ¾e nìjaké
+dvì hrany mají spoleèný vrchol. Ov¹em kdyby se setkaly ve~vrcholu v~pravé
+partitì, pøitekly by do tohoto vrcholu alespoò 2 jednotky toku a ty by nemìly
+kam odtéci. Analogicky pokud by se setkaly nalevo, musely by z~vrcholu odtéci
+alespoò 2 jednotky, ale ty se tam nemají kudy dostat.
+
+Zbývá nahlédnout, ¾e párování je nejvìt¹í mo¾né. K~tomu si staèí v¹imnout,
+¾e z~toku vytvoøíme párování o~tolika hranách, kolik je velikost toku, a naopak
+z~ka¾dého párování umíme vytvoøit celoèíselný tok odpovídající velikosti.
+Jinými slovy nalezli jsme bijekci mezi mno¾inou v¹ech celoèíselných tokù
+a mno¾inou v¹ech párování a tato bijekce zachovává velikost. Nejvìt¹í
+tok tedy musí odpovídat nejvìt¹ímu párování.
+
+Snadno tak získáme následující vìtu:
+
+\s{Vìta:} Nejvìt¹í párování v~bipartitním grafu lze nalézt v~èase $\O(mn)$.
+
+\proof
+Pøedvedená konstrukce vytvoøí z~grafu sí» o~$n'=n+2$ vrcholech a~$m'=m+2n$
+hranách a spotøebuje na to èas $\O(m'+n')$. Pak nalezneme maximální celoèíselný
+tok Fordovým-Fulkersonovým algoritmem, co¾ trvá $\O(m'n')$. Nakonec tok v~lineárním
+èase pøelo¾íme na~párování. V¹e dohromady trvá $\O(m'n') = \O(mn)$.
+\qed
\bye
projects / ads2.git / commitdiff