--- /dev/null
+\input ../lecnotes.tex
+
+\prednaska{11}{Nekrat¹í cesty podruhé}{(zapsali Du¹an Renát a Radek Tupec)}
+
+Na~této pøedná¹ce budeme studovat problém hledání nejkrat¹ích cest
+v~grafech ohodnocených reálnými èísly.
+
+\s{Situace:} Máme orientovany graf~$G$ a funkce $l : E(G) \rightarrow {\bb R}$
+pøiøazující hranám jejich ohodnocení (délky). Pro vrcholy $u,v\in V(G)$ budeme
+chtít spoèítat jejich vzdálenost $d(u,v)$, co¾ bude délka nejkrat¹í cesty z~$u$
+do~$v$ nebo $\infty$, pokud ¾ádná cesta neexistuje.
+
+Aby se vzdálenosti chovaly \uv{rozumnì} (tj. jako metrika), budeme chtít, aby platily
+následující vlastnosti:
+
+\itemize\ibull
+\:$d(u, u) = 0$,
+\:$d(u, v) \leq d(u, w) + d(w, v)$ (trojúhelníková nerovnost).
+\endlist
+
+To nemusí obecnì platit (kazí nám to záporné cykly), proto budeme studovat
+pouze grafy, v~nich¾ záporné cykly neexistují. Pak u¾ budou obì vlastnosti
+splnìny, jak plyne napøíklad z~následujícího lemmatu:
+
+\s{Lemma:}
+V~grafu bez záporných cyklù existuje ke~ka¾dému nejkrat¹ímu sledu z~$u$ do~$v$ stejnì dlouhá $uv$-cesta.
+
+\proof
+Máme-li nejkrat¹í $uv$-sled, který není cestou, opakuje se v~nìm nìjaký vrchol $w \in V(G)$.
+Délka cyklu $l(c) \geq 0 \Rightarrow l(u\dots v\dots w) \leq l(pùvodní sled)$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu, tedy platí trojúhelníková nerovnost.
+\qed
+
+Opakování: Dijkstrùv algoritmus
+\itemize\ibull
+\:$D(v)$ \dots doèasná vzdálenost z $s$ do $v$
+\:Znaèky $Z(v)$ \itemize\ibull
+\::Nevidìn
+\::Vidìn
+\::Hotov
+\endlist
+\endlist
+
+%druha strana zapisku
+\algo
+\:$D(*) \leftarrow +\infty , D(s) \leftarrow 0$
+\:$Z(*) \leftarrow Neviden, Z(s) \leftarrow V$
+\:while $\exists v : Z(v) = V$
+\::vybereme $v : Z(v) = V, D(v) = min$
+\::$Z(v) = H$
+\::for $\forall w : (v, w) \in E(G)$
+\:::$D(w) \leftarrow min( D(w), D(w) + l(v, w))$
+\::if $Z(w) = N \Rightarrow Z(w) \leftarrow V$
+\endalgo
+
+\s{Vìta:} Pokud $G$ je nezápornì ohodnocený graf, pak se Dijkstrùv algoritmus zastaví a vydá $\forall v : D(v) = d(s, v)$ (tedy správné hodnoty).
+
+\proof Následující posloupností lemmat.\qed
+
+\s{Lemma 1:} Pokud $v_0,\dots,v_k$ je nejkrat¹í $v_0v_k$-cesta, pak $v_0,\dots,v_{k-1}$ je nejkrat¹í $v_0v_{k-1}$-cesta.
+
+\proof
+Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme $v_0,\dots,v_{k-1}$ vymìnit za~krat¹í cestu, a~tím
+získat krat¹í $v_0v_k$-cestu.
+\qed
+
+\s{Lemma 2:} Algoritmus se zastaví po $\leq n$ prùchodech cyklem.
+
+\proof
+Zøejmé z~toho, ¾e ka¾dý vrchol uzavøeme nejvý¹e jednou.
+\qed
+
+\s{Lemma 3:} Po zastavení jsou hotovy právì vrcholy dosa¾itelné z $s$.
+
+\proof
+Viz minulá pøedná¹ka.
+\qed
+
+\s{Lemma 4:} $D(v)$ uzavíraných vrcholù tvoøí neklesající posloupnost.
+
+\proof
+V okam¾iku, kdy uzavíráme $v$ platí $\forall w \notin H : D(w) \geq D(v)$, pøípadnì pøepoèítáme $D(w)$ na $D(v) - l(v, w) \geq D(v)$.
+\qed
+
+\s{Lemma 5:} Pokud $v \in H$, pak $D(v)$ se u¾ nezmìní.
+
+\proof
+Indukcí podle bìhu algoritmu.
+\qed
+
+\s{Lemma 6:} Pro $\forall v D(v)$ je délka nejkrat¹í $sv$-cesty, její¾ vnitøní vrcholy le¾í v¹echny v $H$.
+
+\proof
+\itemize\ibull
+\:po 1. prùchodu OK
+\:uzavíráme-li dal¹í vrchol $v$:
+\itemize\relax
+\:a) $D(w)$ pro $w \in H$
+Podle Lemma 5 se $D(w)$ nemìní. Musíme nahlédnout, ¾e se opravdu zmìnit nemá.
+\:b) $D(w)$ pro $w \notin H$
+$D(w) = min{D(v) + l(v, w)}$
+\endlist
+\endlist
+\qed
+
+Existuje pomalej¹í algoritmus pro grafy se zápornými hranami bez záporných cyklù.
+\s{Bellman-Fordùv algoritmus}
+\algo
+\:$D(*) \leftarrow \infty, D(s) \leftarrow 0$
+\:Opakuji
+\::Pro $\forall v \in V$
+\:::$prozkoumej(v)$
+\:::(koukne se, jestli nejde vylep¹it cestu¨
+\:::do sousedù $v$)
+\:dokud se nìjaké $D(\dots)$ mìní
+\endalgo
+
+\s{Lemma 1:} Pokud $D(v) < \infty$, pak existuje sled z $s$ do $v$ délky $D(v)$.
+(speciálnì z toho plyne $\forall v D(v) \geq d(s,v)$)
+
+\s{Lemma 2:} $\forall v D(v)$ nikdy neroste.
+\s{Lemma 3:} Po $k$ fázích je $\forall v D(v) \leq$ délka nejkrat¹ího $sv$-sledu o $\leq k$ hranách.
+%ctvrta stranka
+\proof
+Indukcí\dots pro $k \geq 0$ OK
+Indukèní krok: Dobìhla $k-1$ fáze, pou¹tíme $k$-tou
+
+\qed
+\s{Vìta:} Pro graf bez záporných cyklù se Bellman-Fordùv algoritmus zastaví po nejvý¹e $m$ fázích a vydá $D(v) = d(s, v)$ pro v¹echna $v$. (zøejmé z lemmat)
+
+\s{Lemma 4:} Pokud v grafu existuje záporný cyklus dosa¾itelný z $s$, algoritmus se nezastaví. (Zajímavý test na to, zda graf obsahuje záporný cyklus.)
+
+Èasová slo¾itost Bellman-Fordova algoritmu : $O(n*m)$
+
+\s{Floyd-Warshallùv algoritmus}
+$G$ je graf se záporným ohodnocením hran, bez záporných cyklù
+$D_{i,j}^k$ = délka nejkrat¹í cesty z $v_i$ do $v_j$ pøes $v_1 \dots v_k$
+%pozorovani
+$D_{ij}^0 = l(v_i, v_j)$, $D_{ii}^0 = 0$
+$D_{ij}^n = d(v_i, v_j)$ - skuteèná vzdálenost v grafu
+\algo
+\:$D_{i,j} \rightarrow l(v_i, v_j), D_{i,i} \rightarrow 0 \forall i, j$
+\:for $k = 1$ to n
+\::for $i = 1$ to n
+\:::for $j = 1$ to n
+\::::$D_{i,j} = min(D_{i,j}, D_{i,k} + D_{k,j})$
+\endalgo
+
+\s{Vìta:} Floyd-Warshallùv algoritmus spoèítá $D_{i,j} = d(v_i, v_j)$ v èase $O(n^3)$.
+
+\>Shrnutí:
+
+\s{$s \rightarrow *$}
+Dijkstrùv algoritmus $O(n^2)$
+\dots s haldou $O((n+m)\log m)$
+\dots s regulární haldou $O(n + m*log n)$
+\dots s Fibbonaciho haldou $O(n*log n + m)$
+Bellman-Ford $O(n*m)$
+
+\s{$* \rightarrow *$}
+Floyd-Warshall $O(n^3)$
+
+\bye
projects / ads1.git / commitdiff