-\input ../lecnotes.tex
+\input lecnotes.tex
\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}
\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to\bb R$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
-\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G), u\ne z,s.$$
+\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
\endlist
\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).
\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku a kapacity.}{4in}
-\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f)=\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)}.$$
+\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f)=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.
\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$ do $s$ v grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
-\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{(u,v)\in R}{c(u,v)}$.
+\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.
\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme $S$ sí». Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}.$$
\proof
Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.
-\>Pomocné znaèení: Jako $S(A,B)$ ({\I separátor}) znaèíme orientované hrany $(u,v)$, $u\in A$, $v\in B$. $f(A,B)=\sum_{(u,v)\in E,u\in A,v\in B}{f(u,v)}.$
+\>Pomocné znaèení: Jako $S(A,B)$ ({\I separátor}) znaèíme orientované hrany $uv$, $u\in A$, $v\in B$. $f(A,B)=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{f(uv)}.$
{\narrower
\par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.
\proof
Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
-$$\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=0\quad\forall u\in A,u\ne z,s.$$
-$$\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)=w(f)}.$$
+$$\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0\quad\forall u\in A \setminus \{z,s\}.$$
+$$\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=w(f)}.$$
\>Rovnice seèteme:
-$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}\right)}=w(f).$$
+$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=w(f).$$
\s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z~$A$ do $A$ jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany, které vedou dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran $A$ se \uv{po¾erou}.
\>Z toho plyne:
-$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(u,v)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(u,v)}=w(f).$$
+$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=w(f).$$
\qed
-\input ../lecnotes.tex
+\input lecnotes.tex
\prednaska{3}{Dinicùv algoritmus}{(zapsali Jakub Melka, Petr Musil)\foot{\rm s~díky Bernardovi Lidickému za obrázky}}
\s{Postup tvorby proèi¹tìné sítì podrobnìji:} prohledáním do~¹íøky vytvoøíme vrstvy $C_i$, zahodíme ty za~spotøebièem, ponecháme
pouze hrany mezi $C_i$ a $C_{i+1}$. Je¹tì musíme odstranit slepé ulièky -- cesty, které konèí v~$C_m : m < l$, proto¾e ty urèitì nejsou souèástí nejkrat¹í $z\rightarrow s$ cesty.
-Proèi¹tìní zvládneme v~lineárním èase $\O(n+m)$, v~pøípadì souvislého grafu pouze $\O(m)$.
+Proèi¹tìní zvládneme v~lineárním èase $\O(N+M)$, v~pøípadì souvislého grafu pouze $\O(M)$.
\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Pøíklad neproèi¹tìné sítì}{0.5\hsize}
\s{Definice:} {\I Fází} algoritmu oznaèíme jeden bìh cyklu -- kroky 3 a¾ 9.
-\>Provedeme podrobnou analýzu algoritmu z~hlediska slo¾itosti a uvidíme, ¾e má slo¾itost $\O(n^2m)$. Nejprve analyzujeme hledání
+\>Provedeme podrobnou analýzu algoritmu z~hlediska slo¾itosti a uvidíme, ¾e má slo¾itost $\O(N^2M)$. Nejprve analyzujeme hledání
blokujícího toku, pak se podíváme, kolik fází maximálnì mù¾e Dinicùv algoritmus mít.
\::Doèistíme sí» tím, ¾e odstraníme slepé ulièky, které mohly vzniknout smazáním hrany $e$.
\endalgo
-Pøi ka¾dém prùchodu se sma¾e v¾dy alespoò 1 hrana, tedy maximálnì $m$-krát provádíme $\O(n)$ -- právì tolik trvá nalezení cesty $P$, proto¾e délka cesty bude krat¹í nebo rovna $n$. Èi¹tìní pak maximálnì sma¾e celý graf, jedno mazání nás stojí konstantní èas, tedy celková slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m n)$.
+Pøi ka¾dém prùchodu se sma¾e v¾dy alespoò 1 hrana, tedy maximálnì $M$-krát provádíme $\O(N)$ -- právì tolik trvá nalezení cesty $P$, proto¾e délka cesty bude krat¹í nebo rovna $N$. Èi¹tìní pak maximálnì sma¾e celý graf, jedno mazání nás stojí konstantní èas, tedy celková slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(MN)$.
-Doká¾eme si, ¾e poèet fází je men¹í nebo roven $n$. Algoritmus se ukonèí, pokud $l>n$, proto¾e pak u¾ neexistuje nejkrat¹í $z\rightarrow s$ cesta, pro¹li jsme v¹echny vrcholy.
+Doká¾eme si, ¾e poèet fází je men¹í nebo roven $N$. Algoritmus se ukonèí, pokud $l>N$, proto¾e pak u¾ neexistuje nejkrat¹í $z\rightarrow s$ cesta, pro¹li jsme v¹echny vrcholy.
\s{Lemma:} Pøi ka¾dé fázi $l$ vzroste alespoò o~jedna.
\qeditem
\endlist
-\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(m n^2)$.
+\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(MN^2)$.
\proof
Slo¾itost plyne pøímo z~pøedchozího lemmatu a slo¾itosti algoritmu hledání blokujícího toku.
projects / ads2.git / commitdiff