\prednaska{4}{Gomory-Hu Trees}{zapsal Milan Straka}
-\h{Gomory-Hu Trees}
+Cílem této kapitoly je vytvoøit datovou strukturu, která po urèitém
+pøedzpracování doká¾e rychle konstruovat pro libovolnou dvojici vrcholù v~grafu
+minimální øez, který ji oddìluje.
-Cílem této pøedná¹ky bylo vytvoøit datovou strukturu, která po urèitém
-pøedzpracování doká¾e rychle konstruovat minimální øezy pro libovolnou
-dvojici vrcholù v~grafu.
-
-Zatím umíme nalézt minimální \st-øez pro zadanou dvojici vrcholù v~èase
-$\tau=\O(n^{2/3}m)$. Nalézt minimální \st-øez pro ka¾dou dvojici vrcholù
+Zatím umíme nalézt minimální \st-øez pro zadanou dvojici vrcholù v~neorientovaném
+grafu v~èase $\tau=\O(n^{2/3}m)$ pro~jednotkové kapacity, $\O(n^2m)$ pro obecné.
+Nalézt minimální \st-øez pro ka¾dou dvojici vrcholù
bychom tedy dokázali v~èase $\O(n^2\tau)$. Tento výsledek budeme
chtít zlep¹it.
\s{Znaèení:} Máme\li{} graf $(V,E)$ a $U\subseteq V$, $\d(U)$ znaèí hrany vedoucí
-mezi $U$ a $V\setminus U$. Formálnì tedy $\d(U)=E \cap (U \times (V \setminus U))$.
-Kapacitu øezu $W$ budeme znaèit $c(W)$ a $r(s,t)$ budeme znaèit kapacitu nejmen¹ího \st-øezu.
+mezi $U$ a $\overline U$, formálnì tedy $\d(U)=E \cap ((U \times \overline U) \cup (\overline U \times U))$.
+Kapacitu øezu $\d(W)$ budeme znaèit $c(W)$ a $r(s,t)$ bude kapacita nejmen¹ího \st-øezu.
\s{Pozorování:} Minimální øez rozdìluje graf jen na~dvì komponenty (v¹imnìte si, ¾e pro
separátory nic takového neplatí) a ka¾dý minimální øez je tím pádem v¾dy mo¾né zapsat jako $\d(W)$
pro nìjakou mno¾inu $W\subset V$.
+\h{Gomory-Hu Tree}
+
\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný ohodnocený graf $G=(V,E)$
je strom $T=(V,F)$ takový,\nobreak{}\ \nobreak{}¾e $$\forall st \in F: \d(K_1)=\d(K_2)\hbox{ je minimální \st-øez, kde
$K_1$ a $K_2$ jsou komponenty $T\setminus st$}.$$
\s{Dal¹í znaèení:} Pro $e\in F$ budeme øezem $\d(e)$ oznaèovat øez $\d(K_1)=\d(K_2)$ a $r(e)$ bude jeho kapacita.
-K~èemu takový \GHT{} je (existuje-li)? To nám poví následující
+\>K~èemu takový \GHT{} je (existuje-li)? To nám poví následující
\th{Vìta (o~vyu¾ití \GHT):} Buï $T=(V,F)$ \GHT{} pro graf $G=(V,E)$ a mìjme dva vrcholy $s$ a $t$. Dále
nech» $P$ je cesta v~$T$ mezi vrcholy $s$ a $t$ a $e$ je hrana na cestì $P$ s~minimálním $r(e)$.
Pak $\d(e)$ je minimální \st-øez.
-\proof Nejprve si doká¾eme jedno drobné
+\proof Nejprve si doká¾eme jedno drobné
{\advance\leftskip by 2em
\th{Lemmátko:} Pro ka¾dou trojici vrcholù $x,y,z$ platí, ¾e $r(x,z) \ge \min(r(x,y),r(y,z))$.
\centerline{\epsfysize=1.5cm\epsfbox{4-ght-rez.eps}}
\noindent Vrchol $y$ musí být v~jedné z~komponent, BÚNO v~komponentì s~$x$. Pak ale $r(y,z) \le c(W)$,
-proto¾e $W$ je také $yz$-øez. Tedy $\min(r(x,y),r(y,z)) \le r(x,z)$.\qed
+proto¾e $\d(W)$ je také $yz$-øez. Tedy $\min(r(x,y),r(y,z)) \le r(x,z)$.\qed
}
\noindent Zpìt k~dùkazu vìty:
Chceme dokázat, ¾e $\d(e)$ je minimální \st-øez. To, ¾e je to nìjaký øez, plyne z~definice \GHT.
-Minimalitu doká¾eme indukcí podle délky cesty $P$.\itemize\ibull
+Minimalitu doká¾eme indukcí podle délky cesty $P$:
+\itemize\ibull
\:$\vert\,P\,\vert = 1$: Hrana $e$ je v~tomto pøípadì pøímo $st$, tak¾e i minimalita plyne z~definice \GHT.
\:$\vert\,P\,\vert > 1$: Cesta $P$ spojuje vrcholy $s$ a $t$, její první hrana je $sx$.
Na¹e právì dokázané lemmátko øíká, ¾e $r(s,t) \ge \min (r(s,x),r(x,t))$.
[To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.]
\proof Nech» je $\d(X)$ minimální $uv$-øez.
-BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e $s$ je v~$U$ a $t$ není v~$U$, $u$ je v~$X$ a $v$ není v~$X$ a $s$ je v~$X$.
-Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme vrcholy pøeznaèit.
+BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e $s\in U$ a $t\not\in U$, $u\in X$ a $v\not\in X$ a $s\in X$.
+Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme vrcholy pøeznaèit nebo nìkterou z~mno¾in nahradit jejím doplòkem.
}
Nyní mohou nastat dva pøípady:\numlist\nalpha
\vbox to 0pt{\vskip -1cm\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
{\advance\hsize by -14em
-\:$t$ není prvek $X$.\par
-Doká¾eme dvì nerovnosti. Nerovnost $$\eqalignno{c(\d(U \cup X)) &\ge c(\d(U))&(1)}$$
+\:$t\not\in X$.\par
+Doká¾eme dvì nerovnosti. Nerovnost $$\eqalignno{c(U \cup X) &\ge c(U)&(1)}$$
platí proto, ¾e $U \cup X$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez. Dal¹í
-$$\eqalignno{c(\d(U \cap X)) + c(\d(U \cup X)) &\le c(\d(U)) + c(\d(X))&(2)}$$
+$$\eqalignno{\d(U \cap X) + c(U \cup X) &\le c(U) + c(X)&(2)}$$
doká¾eme \uv{rozborem pøípadù}.
}
Mno¾inu vrcholù si disjunktnì rozdìlíme na $X\setminus U$, $X \cap U$, $U \setminus X$ a $\<ostatní>$.
-Ka¾dý z~øezù v~nerovnosti $(2)$ se skládá z~hran mezi tìmito skupinami vrcholù.
+Ka¾dý z~øezù v~nerovnosti $(2)$ se skládá z~hran mezi tìmito skupinami vrcholù.
Vytvoøíme tedy tabulku hran mezi ètyømi oznaèenými skupinami vrcholù a ka¾dému
øezu z~$(2)$ oznaèíme jemu odpovídající hrany. Proto¾e je graf neorientovaný,
staèí nám jen horní trojúhelník tabulky.
a navíc hrany mezi $U\setminus X$ a $X \setminus U$ poèítáme jenom vpravo. Nerovnost
$(2)$ tedy platí.
-Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme $$c(\d(U \cap X)) \le c(\d(X)),$$
+Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme $$c(U \cap X) \le c(X),$$
co¾ spolu s~obrázkem dokazuje, ¾e $\d(U \cap X)$ je také minimální $uv$-øez.
\vbox to 0pt{\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-b.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
{\advance\hsize by -14em\itemcount=1
-\:$t$ je prvek $X$.\par
-Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Nerovnost $$\eqalignno{c(\d(X \setminus U)) &\ge c(\d(U))&(3)}$$
+\:$t\in X$.\par
+Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Nerovnost $$\eqalignno{c(X \setminus U) &\ge c(U)&(3)}$$
platí proto, ¾e $X \setminus U$ je nìjaký \st-øez, zatímco $U$ je minimální \st-øez. Dal¹í
-$$\eqalignno{c(\d(U \setminus X)) + c(\d(X \setminus U)) &\le c(\d(U)) + c(\d(X))&(4)}$$
+$$\eqalignno{c(U \setminus X) + c(X \setminus U) &\le c(U) + c(X)&(4)}$$
doká¾eme opìt \uv{rozborem pøípadù}.
}
\<ostatní>&&&&\hbox{---}\cr
}$$
-Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme
-$$c(\d(U \setminus X)) \le c(\d(X)),$$
+Stejnì jako v~pøedchozím pøípadì nerovnost $(4)$ platí. Odeètením $(4)$ a $(3)$ získáme
+$$c(U \setminus X) \le c(X),$$
z~èeho¾ opìt dostaneme, ¾e $\d(U \setminus X)$ je také minimální $uv$-øez.
\endlist
\qed
\bigskip
-Nyní se koneènì dostáváme ke konstrukci \GHT{}. Abychom mohli pou¾ívat
+\>Nyní se koneènì dostáváme ke konstrukci \GHT{}. Abychom mohli pou¾ívat
indukci, zavedeme si trochu obecnìj¹í \GHT{}.
\s{Definice:} Mìjme neorientovaný graf $(V,E)$. {\I Èásteèný Gomory-Hu Tree} (alias \PGHT{}) pro $R \subseteq V$ je $((R,F),C)$,
\endlist
-\th{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
+\th{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
existuje \PGHT{}.
\proof Doká¾eme indukcí podle velikosti mno¾iny $R$.\itemize\ibull
\:$\vert R \vert = 1$: \PGHT{} má jediný vrchol $r\in R$ a $C(r)=V$.
-\:$\vert R \vert > 1$: Najdeme dvojici vrcholù $s,t\in R$ takové, ¾e jejich minimální \st-øez $\d(W)$
-je ze v¹ech mo¾ných minimálních \st-øezù nejmen¹í. Nyní vytvoøíme graf $G_1$ z~grafu $G$ zkontrahováním
+\:$\vert R \vert > 1$: Najdeme dvojici vrcholù $s,t\in R$ takovou, ¾e jejich minimální \st-øez $\d(W)$
+je nejmen¹í mo¾ný. Nyní vytvoøíme graf $G_1$ z~grafu $G$ zkontrahováním
v¹ech vrcholù $w\in W$ do jednoho vrcholu, který oznaèíme $v_1$, a vytvoøíme graf $G_2$ z~$G$ zkontrahováním
-v¹ech vrcholù $w\in V\setminus W$ do jednoho vrcholu $v_2$.
-
-\medskip
-\centerline{\epsfysize=2cm\epsfbox{4-ght-g1g2.eps}}
-
-[Proè to dìláme \uv{tak slo¾itì} a pøidáváme do $G_1$ vrchol $v_1$? Mì osobnì to dlouho pøi¹lo zbyteèné.
+v¹ech vrcholù $w\in \overline W$ do jednoho vrcholu $v_2$.\foot{
+Proè to dìláme \uv{tak slo¾itì} a pøidáváme do $G_1$ vrchol $v_1$? Na první pohled to pøeci vypadá zbyteènì.
Problém je v~tom, ¾e i kdy¾ dle HTL le¾í v¹echny minimální øezy oddìlující vrcholy z~$W$ v~mno¾inì vrcholù
-$W$, \<hrany> tìchto øezù celé ve $W$ le¾et nemusí. K~tìmto øezùm toti¾ patøí i hrany, které
+$W$, \<hrany> tìchto øezù celé v~podgrafu indukovaném~$W$ le¾et nemusí. K~tìmto øezùm toti¾ patøí i hrany, které
mají ve $W$ jenom jeden konec. Proto jsme do $G_1$ pøidali $v_1$, vedou do nìj v¹echny zajímavé
hrany, které mají ve $W$ jeden konec. Tím {\I zajímavé} myslíme to, ¾e z~ka¾dého vrcholu $w\in W$ vede
-do $v_1$ \<nejlevnìj¹í> hrana, která z~nìj vedla do mno¾iny $V\setminus W$, pøípadnì ¾ádná, pokud
-do této mno¾iny ¾ádná hrana nevedla.]
+do $v_1$ \<nejlevnìj¹í> hrana, která z~nìj vedla do mno¾iny $V\setminus W$, pøípadnì ¾ádná, pokud
+do této mno¾iny ¾ádná hrana nevedla.}
+
+\medskip
+\centerline{\epsfysize=2cm\epsfbox{4-ght-g1g2.eps}}
-Dále vytvoøíme mno¾iny vrcholù $R_1=R \cap (V\setminus W)$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukèního
-pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
-pro $R_1$ na $G_1$ a $T_2=((R_2,F_2),C_2)$ pro $R_2$ na $G_2$.
+Dále vytvoøíme mno¾iny vrcholù $R_1=R \cap \overbrace W$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukèního
+pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$
+pro $R_1$ na $G_1$ a $T_2=((R_2,F_2),C_2)$ pro $R_2$ na $G_2$.
-Nyní vytvoøíme \PGHT{} pro pùvodní graf. Oznaème $r_1$ vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C(r_1)$,
+Nyní vytvoøíme \PGHT{} pro pùvodní graf. Oznaème $r_1$ ten vrchol $R_1$, pro který je $v_1 \in C(r_1)$,
obdobnì $r_2$. Oba \PGHT{} $T_1$ a $T_2$ spojíme hranou $r_1r_2$, tak¾e \PGHT{} pro $G$
je $T=((R_1 \cup R_2,F_1 \cup F_2 \cup {r_1r_2}),C)$, pøièem¾ pro $r\in R_1$ je $C(r)=C_1(r)\setminus\{v_1\}$
a pro $r\in R_2$ je $C(r)=C_2(r)\setminus\{v_2\}$ [odebrali jsme vrcholy $v_1$ a $v_2$ z~rozkladu $C$].
Chceme ukázat, ¾e tento $T$ je opravdu \PGHT. $C$ je urèitì rozklad v¹ech vrcholù a ka¾dé
$r\in C(r)$ z~indukèního pøedpokladu, tak¾e podmínka $1.$ je splnìna. Co se týèe podmínky $2.$, tak\itemize\ibull
-\:pro hranu $r1r2$ je $\d(W)$ urèitì minimální $r_2r_2$-øez, proto¾e øez mezi \rr\ to
-je a byl ze v¹ech mo¾ných minimálních øezù na $R$ nejmen¹í,
+\:pro hranu \rr\ je $\d(W)$ urèitì minimální \rr-øez, proto¾e øez mezi $s$ a $t$ je souèasnì
+i \rr-øezem a je ze v¹ech mo¾ných minimálních øezù na $R$ nejmen¹í,
\:pro hranu $e\ne r_1r_2$ je $\d(e)$ z~indukce minimální øez na jednom z~grafù $G_1$, $G_2$.
Tento øez také pøesnì odpovídá øezu v~grafu $G$, proto¾e v~$G_1$ i v~$G_2$ jsme poèítali
s~hranami vedoucími do $v_1$, $v_2$ a proto¾e jsme \PGHT{} napojili pøes vrcholy,
\endlist
\qed
-Nyní víme, ¾e \GHT{} existují, a také víme, jak by se daly konstruovat. Nicménì nalezení
+Nyní víme, ¾e \GHT{} existují, a také víme, jak by se daly konstruovat. Nicménì nalezení
vrcholù $s,t$ tak, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný, je èasovì nároèné.
Proto si poslední vìtu je¹tì o~nìco vylep¹íme.
takové, aby byl minimální \st-øez nejmen¹í mo¾ný. Staèí zvolit \<libovolné> vrcholy $s,t\in R$
a nalézt minimální øez $\d(W)$.
-\proof Nejprve si uvìdomme, proè jsme v~pøedchozím dùkazu potøebovali, aby byl $W$ nejmen¹í ze v¹ech
+\proof Nejprve si uvìdomme, proè jsme v~pøedchozím dùkazu potøebovali, aby byl $\d(W)$ nejmen¹í ze v¹ech
mo¾ných \st-øezù. Bylo to jenom proto, ¾e jsme jím v~\PGHT{} nakonec separovali vrcholy $r_1$ a $r_2$
a potøebovali jsme záruku, aby byl $\d(W)$ opravdu minimální \rr-øez. Nyní musíme ukázat,
¾e námi nalezený \st-øez $\d(W)$ je také minimálním \rr-øezem.
Podívejme se nyní na \PGHT{} $T_1$ a naleznìme v~nìm nejlevnìj¹í hranu $e$ na cestì spojující $s$ a $r_1$.
Tato hrana definuje øez $\d(U)$, co¾ je minimální $sr_1$-øez. Proto¾e $\d(X)$ je $sr_1$-øez,
-$c(\d(U)) \le c(\d(X)) < c(\d(W))$. Teï si staèí uvìdomit, ¾e $v_1\in C(r_1)$, tak¾e $\d(U)$
+je $c(U) \le c(X) < c(W)$. Teï si staèí uvìdomit, ¾e $v_1\in C(r_1)$, tak¾e $\d(U)$
separuje nejenom $s$ a $r_1$, ale také $s$ a $v_1$. Tím pádem ale separuje také $s$ a $t$.
-To je spor, proto¾e $c(\d(U)) < c(\d(W))$ a pøitom $\d(W)$ mìl být minimální.
+To je spor, proto¾e $c(U) < c(W)$, a pøitom $\d(W)$ mìl být minimální.
\qed
Teï u¾ doká¾eme \GHT{} konstruovat efektivnì -- v~ka¾dém kroku vybereme dva vrcholy $s$ a $t$,
-nalezneme v~èase $\O(\tau)$ minimální \st-øez, a výsledné komponenty s~pøidanými $v_1,v_2$
-zpracujeme rekurzivnì. Celou výstavbu tedy zvládneme v~èase $\O(n\tau)=\O(n^{5/3}m)$.
-Nalézt minimální \st-øezy pro v¹echny dvojice pak doká¾eme v~èase $\O(n^2)$, pøípadnì
-v~èase $\O(n^2\log n)$ (zále¾í na zpùsobu hledání nejlevnìj¹í hrany v~\GHT).
+nalezneme v~èase $\O(\tau)$ minimální \st-øez a výsledné komponenty s~pøidanými $v_1,v_2$
+zpracujeme rekurzivnì. Celou výstavbu tedy zvládneme v~èase $\O(n\tau)$, èili $\O(n^{5/3}m)$
+pro neohodnocené grafy.
\bye
projects / ga.git / commitdiff