\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
-Nejprve si nadefinujme operaci {\I Degree Split,} která dostane jako vstup libovolný
-graf $G=(V,E)$ se v¹emi vrcholy sudého stupnì a sudým poètem hran, a~rozdìlí
-ho na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$, v~nich¾ bude pro ka¾dý
-vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$.
-Speciálnì $2k$-regulární graf o~sudém poètu vrcholù tedy rozdìlí na~dva $k$-regulární
-grafy. Tuto operaci mù¾eme snadno provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf rozdìlíme
-na~komponenty, v~ka¾dé nalezneme eulerovský tah a jeho sudé hrany dáme do~$G_1$
-a liché do~$G_2$.
-
-To nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
+Nejprve si nadefinujme operaci {\I ¹tìpení grafu,} která zadaný graf $G=(V,E)$
+se v¹emi vrcholy sudého stupnì a sudým poètem hran v~ka¾dé komponentì souvilosti
+rozlo¾í na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$,
+v~nich¾ bude pro ka¾dý vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm
+deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$. Tuto operaci mù¾eme snadno
+provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf rozdìlíme na~komponenty, v~ka¾dé
+nalezneme eulerovský tah a jeho hrany budeme pøidávat støídavì do~$G_1$ a do~$G_2$.
+
+©tìpení nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta).}
-Staèí provést Degree Split na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy, na~libovolný jeden z~nich
-aplikovat dal¹í Degree Split atd., a¾ se dostaneme k~$1$-regulárnímu grafu, který
-je perfektním párováním v~$G$.\foot{Grafy, které budeme splitovat, mají v¾dy sudý
-poèet hran, jeliko¾ buïto jsou alespoò 4-regulární, nebo jsou to disjunktní sjednocení
-sudých kru¾nic.}
-To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase,
-jeliko¾ velikosti grafù, které splitujeme, exponenciálnì klesají. Také bychom
-mohli rekurzivnì zpracovávat obì komponenty a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat
-ke~kompletní 1-faktorizaci zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní
-perfektní párování a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}
+Komponenty takového grafu mají urèitì sudý poèet hran, tak¾e jej mù¾eme
+roz¹tìpit na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy. Libovolný jeden z~nich pak opìt roz¹tìpíme
+atd., a¾ dostaneme $1$-regulární graf, který je perfektním párováním v~$G$.
+To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase, jeliko¾ velikosti grafù, které
+¹tìpíme, exponenciálnì klesají. Také bychom mohli rekurzivnì zpracovávat obì
+èásti a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat ke~kompletní 1-faktorizaci
+zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní perfektní párování
+a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}
Pokud zadaný graf nebude $2^t$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
-doplníme na $2^t$-regulární a pak si pøi splitech budeme vybírat ten podgraf,
+doplníme na $2^t$-regulární a pak si pøi ¹tìpeních budeme vybírat ten podgraf,
do~kterého padlo ménì nových hran, a uká¾eme, ¾e nakonec v¹echny zmizí.
Abychom graf pøíli¹ nezvìt¹ili, budeme se sna¾it místo pøidávání úplnì nových
hran pouze zvy¹ovat násobnost hran existujících. Pro ka¾dou hranu $e$ si tedy
budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
-{\I Degree Split grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$
+{\I ©tìpení grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$
s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$ i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2
\rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude graf bez násobností, v~nìm¾ mají
-v¹echny vrcholy sudý stupeò, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní Degree Split
+v¹echny vrcholy sudý stupeò, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní ¹tìpící algoritmus
a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.
Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Obì jeho partity jsou stejnì velké,
V¹imnìte si, ¾e $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (vèetnì násobností) bude ménì ne¾ $2^t$.
Takto získáme $2^t$-regulární graf, jeho¾ reprezentace bude lineárnì velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
-Degree Split a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
+¹tìpení a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
a jeliko¾ se~v~ka¾dém kroku zbavíme alespoò poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat ¾ádnou takovou hranu
a navíc nebude obsahovat ani násobné hrany, tak¾e bude podgrafem zadaného grafu, jak potøebujeme.
projects / ga.git / commitdiff