vrchol~$v$ je (jediná) cesta z~$u$ do~$v$ v~tomto stromu jednou z~nejkrat¹ích
cest z~$u$ do~$v$ v~grafy~$G$.
-\>{\bo Pozorování:} Strom nejkrat¹ích cest v¾dy existuje.
+\s{Pozorování:} Strom nejkrat¹ích cest v¾dy existuje.
\proof
Nech» $u=v_1,\ldots,v_n$ jsou v¹echny vrcholy grafu~$G$. Indukcí budeme
ale mù¾eme dokázat nìkolik zajímavých tvrzení, která na~konkrétním zpùsobu
výbìru nezávisejí.
-\>\s{Vìta:} Spustíme-li meta-algoritmus na graf bez záporných cyklù, pak:
+\s{Vìta:} Spustíme-li meta-algoritmus na graf bez záporných cyklù, pak:
\numlist\nparen
\:Ohodnocení $h(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu -- doká¾eme indukcí podle poètu krokù algoritmu.
\>Meta-algoritmus tedy pro libovolnou implementaci kroku~4 spoèítá správné vzdálenosti.
\qed
-\>\s{Cvièení:}
+\s{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Nech» do algoritmu doplníme udr¾ování pøedchùdcù tak, ¾e v~kroku~9
pøenastavíme pøedchùdce vrcholu~$w$ na vrchol~$u$. Doka¾te, ¾e pøedchùdci
udr¾ujeme ve~frontì (v¾dy relaxujeme vrchol na poèátku fronty, novì otevírané
zaøazujeme na~konec. Co toto pravidlo zpùsobí?
-\>\s{Vìta:} Èasová slo¾itost algoritmu~BFM je $\O(nm)$.
+\s{Vìta:} Èasová slo¾itost algoritmu~BFM je $\O(nm)$.
\proof
Bìh algoritmu rozdìlíme na~fáze. Nultá fáze sestává z~vlo¾ení vrcholu~$u$
fáze probìhne v~èase $\O(m)$.
\qed
-\>\s{Cvièení:}
+\s{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Uka¾te, ¾e asymptoticky stejné èasové slo¾itosti by dosáhl algoritmus,
který by vrcholy oèísloval $v_1,\ldots,v_n$ a opakovanì by je v~tomto
pro výbìr vrcholu navr¾ené Dijkstrou. To øíká, ¾e v¾dy relaxujeme ten z~otevøených
vrcholù, jeho¾ ohodnocení je nejmen¹í.
-\>\s{Vìta:} Dijkstrùv algoritmus uzavírá vrcholy v~poøadí podle neklesající
+\s{Vìta:} Dijkstrùv algoritmus uzavírá vrcholy v~poøadí podle neklesající
vzdálenosti od~$u$ a ka¾dý dosa¾itelný vrchol uzavøe právì jednou.
\proof
$\O(\log n)$ [v¹e amortizovanì]. Dijkstrùv algoritmus tedy dobìhne v~èase $\O(m + n\log n)$.
To je lineární pro grafy s~hustotou $\Omega(\log n)$.
\:{\I Monotónní haldy} -- mù¾eme pou¾ít nìjakou jinou haldu, která vyu¾ívá toho,
- ¾e posloupnost odebíraných prvkù neklesající. Pro celá èísla na~RAMu to mù¾e
- být napøíklad Thorupova halda (REF) se slo¾itostí $\O(\log\log n)$ na~\<ExtractMin>
+ ¾e posloupnost odebíraných prvkù neklesající. Pro celá èísla na~\hbox{RAMu} to mù¾e
+ být napøíklad Thorupova halda \cite{thorup:queue} se slo¾itostí $\O(\log\log n)$ u~operace \<ExtractMin>
a $\O(1)$ u~ostatních operací. Dijkstra tedy bì¾í v~$\O(m + n\log\log n)$.
\:{\I Datové struktury pro omezené universum} -- prozkoumáme vzápìtí.
\endlist
-\>\s{Cvièení:}
+\s{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Najdìte pøíklad nìjakého grafu se zápornými hranami (ale bez záporných cyklù),
na~kterém Dijkstrùv algoritmus sel¾e.
\:Rozmyslete si, ¾e pokud nevyu¾ijeme nìjaké speciální vlastnosti èísel (celoèíselnost,
omezený rozsah), je mez $\O(m+n\log n)$ nejlep¹í mo¾ná, proto¾e Dijkstrovým algoritmem
- mù¾eme tøídit $n$-tici èísel. Thorup dokonce dokázal (REF), ¾e z~ka¾dého tøídícího algoritmu
- se slo¾itostí $nT(n)$ mù¾eme odvodit monotónní haldu se slo¾itostí mazání $\O(T(n))$.
+ mù¾eme tøídit $n$-tici èísel. Thorup dokonce dokázal \cite{thorup:equiv}, ¾e z~ka¾dého tøídícího algoritmu
+ se slo¾itostí $nT(n)$ mù¾eme odvodit haldu se slo¾itostí mazání $\O(T(n))$.
\:Jsou-li délky hran celoèíselné, mù¾eme se na Dijkstrùv algoritmus dívat i takto:
Pøedstavme si, ¾e ka¾dou hranu nahradíme cestou tvoøenou hranami jednotkové délky
a na vzniklý neohodnocený graf spustíme prohledávání do~¹íøky. To samozøejmì vydá
\h{HOT Queue -- kombinace pøihrádek s~haldou}
-Goldberg a Cherkassky (REF) si v¹imli, ¾e ve~víceúrovòových pøihrádkových strukturách
+Cherkassky, Goldberg a Silverstein \cite{cherkassky:hotq} si v¹imli, ¾e ve~víceúrovòových pøihrádkových strukturách
platíme pøíli¹ mnoho za~úrovnì, ve~kterých se za~dobu jejich existence objeví jen malé
mno¾ství prvkù. Navrhli tedy ukládat prvky z~\uv{malých} úrovní do~spoleèné haldy.
Výsledné struktuøe se øíká HOT (Heap-on-Top) Queue. My si pøedvedeme její upravenou
Promìnnou~$\mu$ necháme ukazovat na~místo, kde jsme se pøi hledání minima v~pøihrádkách
zastavili. Souèasné globální minimum struktury tedy mù¾e být ni¾¹í, kdy¾ se minimum
zrovna nachází v~haldì, ale stále je zaruèeno, ¾e pøed~$\mu$ se ji¾ nenachází ¾ádná
-neprázdná pøihradka.
+neprázdná pøihrádka.
Operace budou fungovat takto:
\>\<Insert>:
\algo
-\:Spoèítáme, do~které úrovnì~$i$ ma prvek padnout.
+\:Spoèítáme, do~které úrovnì~$i$ má prvek padnout.
\:Pokud je poèítadlo této úrovnì men¹í ne¾~$K$, zvý¹íme ho, vlo¾íme prvek do~haldy a skoèíme.
\:Nebyly-li je¹tì pro tuto úroveò zalo¾eny pøihrádky, vyrobíme je (prázdné).
\:Vlo¾íme prvek do~pøíslu¹né pøihrádky.
a ostatní operace v~èase amortizovanì konstantním. Pou¾ijeme-li tuto strukturu
v~Dijkstrovì algoritmu, spoète vzdálenosti v~èase $\O(m + n\sqrt{\log L})$.
-%\references
+\h{Dinicùv algoritmus}
+
+Zajímavé vylep¹ení Dijkstrova algoritmu navrhl Dinic (REF). V¹iml si, ¾e pokud
+je ka¾dá hrana dlouhá alespoò~$\delta$, pak platí, ¾e mù¾eme uzavírat nejen
+vrchol s~minimálním ohodnocením~$\mu$, ale i v¹echny ostatní s~ohodnocením
+men¹ím ne¾ $\mu+\delta$.
+
+Pro takto upravený Dijkstrùv algoritmus bude stále platit, ¾e pøi uzavírání
+vrcholu odpovídá ohodnocení skuteèné vzdálenosti, tak¾e uzavøené vrcholy ji¾
+nejsou znovu otevírány.
+
+O~monotonii vzdáleností jsme sice pøi¹li, ale v~pøihrádkové struktuøe nebo
+haldì mù¾eme klíèe nahradit hodnotami $h'(v) := \lfloor h(v)/\delta \rfloor$.
+Tyto hodnoty se toti¾ chovají monotónnì a vrcholy se stejným $h'(v)$ mù¾eme
+libovolnì zamìòovat.
+
+Libovolnou z~popsaných pøihrádkových struktur tedy mù¾eme pou¾ít, pouze
+v~rozboru èasové slo¾itosti nahradíme~$L$ výrazem $L/\delta$. Tento pøístup
+pøitom funguje i pro neceloèíselné kapacity, pouze potøebujeme mít pøedem
+k~dispozici netriviální dolní odhad na~délky v¹ech hran.
+
+\s{Cvièení:} Navrhnìte úpravu tohoto algoritmu, která nepotøebuje~$\delta$ znát pøedem.
+
+\h{Potenciály}
+
+Vidìli jsme, ¾e v~grafech s~nezápornými délkami hran se nejkrat¹í cesty
+hledají daleko rychleji. Nabízí se nalézt nìjakou transformaci, která by
+dovedla délky upravit tak, aby byly nejkrat¹í cesty zachovány (samozøejmì
+ne jejich délky, ale alespoò to, které cesty jsou nejkrat¹í). Nabízí se
+následující fyzikální inspirace:
+
+\s{Definice:} {\I Potenciál} budeme øíkat libovolné funkci $\psi: V\rightarrow {\bb R}$.
+Pro ka¾dý potenciál zavedeme {\I redukované délky} $\ell_\psi(u,v) := \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v)$.
+Potenciálu budeme øíkat {\I pøípustný,} pokud ¾ádná hrana nemá zápornou redukovanou délku.
+
+\s{Pozorování:} Pro redukovanou délku libovolné cesty~$P$ z~$u$ do~$v$ platí: $\ell_\psi(P) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v)$.
+
+\proof
+Nech» cesta~$P$ prochází pøes vrcholy $u=w_1,\ldots,w_k=v$. Potom:
+$$
+\ell_\psi(P) = \sum_i \ell_\psi(w_i,w_{i+1}) = \sum_i \left( \ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_i) - \psi(w_{i+1}) \right).
+$$
+Tato suma je ov¹em teleskopická, tak¾e z~ní zbude:
+$$
+\sum_i\ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_1) - \psi(w_k),
+$$
+co¾ je rovno $\ell(P) + \psi(u) - \psi(v)$.
+\qed
+
+\s{Dùsledek:} Potenciálovou redukcí se tedy délky v¹ech cest mezi~$u$ a~$v$
+zmìní o~tuté¾ konstantu, tak¾e struktura nejkrat¹ích cest zùstane nezmìnìna.
+
+Zbývá pøijít na~to, kde si obstarat nìjaký pøípustný potenciál. Pøidejme do~grafu
+nový vrchol~$z$, pøiveïme z~nìj hranu nulové délky do~v¹ech ostatních vrcholù
+a~oznaème~$\psi(v)$ vzdálenost ze~$z$ do~$v$ v~tomto grafu. Aby byl tento potenciál
+pøípustný, musí pro ka¾dou hranu $uv$ platit $\ell_\psi(u,v) = \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v) \ge 0$.
+Tuto nerovnost mù¾eme upravit na $\ell(u,v) + d(z,u) - d(z,v) \ge 0$, èili
+$d(z,u) + \ell(u,v) \ge d(z,v)$, co¾ je ale obyèejná trojúhelníková nerovnost
+pro vzdálenost v~grafu, která jistì platí.
+
+Jedním výpoètem nejkrat¹ích cest v~grafu se zápornými hranami (tøeba algoritmem BFM)
+tedy doká¾eme spoèítat potenciál, který nám pomù¾e k~redukci v¹ech hran na~nezáporné
+délky. To nám samozøejmì nepomù¾e, chceme-li jednorázovì hledat nejkrat¹í cestu,
+ale mù¾e nám to výraznì zjednodu¹it dal¹í, slo¾itìj¹í práci s~grafem. Jak uvidíme
+v~pøí¹tí kapitole, mù¾eme tak napøíklad nalézt vzdálenosti mezi v¹emi dvojicemi
+vrcholù v~èase $\O(nm + n^2\log n)$.
+
+Na~závìr tohoto oddílu doká¾eme jedno pomocné tvrzení o~potenciálech, které
+nám pomù¾e v~konstrukci algoritmù typu \ppsp:
+
+\s{Lemma:} Pokud $f$ a~$g$ jsou pøípustné potenciály, pak jsou jimi i:
+\numlist\ndotted
+\:Konvexní kombinace $f$ a~$g$, tedy $\alpha f + \beta g$ pro libovolné $\alpha,\beta\ge 0, \alpha+\beta=1$,
+\:$\min(f,g)$,
+\:$\max(f,g)$.
+\endlist
+
+\proof Buï $uv$ hrana. Potom z~definice pøípustnosti platí $\ell(u,v) \ge f(v) - f(u)$ a $\ell(u,v) \ge g(v) - g(u)$.
+Jednotlivé èásti tvrzení doká¾eme takto:
+\numlist\ndotted
+\:Pokud obì strany nerovnosti pro~$f$ vynásobíme konstantou~$\alpha$, u~nerovnosti pro~$g$
+ konstantou~$\beta$ a obì nerovnosti seèteme, dostaneme:
+ $$
+ (\alpha+\beta) \cdot \ell(u,v) \ge (\alpha f(v) + \beta g(v)) - (\alpha f(u) + \beta g(u)),
+ $$
+ co¾ je pøesnì po¾adovaná nerovnost pro pøípustnost funkce $\alpha f+\beta g$.
+\:Oznaème $h := \min(f,g)$. Nech» bez újmy na obecnosti $f(u)\le g(u)$. Pokud také platí $f(v)\le g(v)$,
+ shoduje se minimum s~funkcí~$f$ a není co dokazovat. V~opaèném pøípadì je $h(u) = f(u)$, $h(v) = g(v)$.
+ Tehdy si staèí v¹imnout, ¾e $h(v) - h(u) = g(v) - f(u) < f(v) - f(u) \le \ell(u,v)$, tak¾e
+ potenciál~$h$ je pøípustný.
+\:Doká¾eme analogicky.
+\qeditem
+\endlist
+
+\h{Algoritmy pro problém typu \ppsp}
+
+Zamìøme se nyní na~pøípad, kdy chceme hledat nejkrat¹í cesty mezi zadanou dvojicí
+vrcholù $u$,~$v$. Obvykle se to øe¹í pomocí algoritmu typu \sssp{} (SSSP) a v~obecném
+pøípadì ani není lep¹í øe¹ení známo. Existuje ov¹em velké mno¾ství heuristik, kterými
+lze ve~vìt¹inì aplikací hledání cest zrychlit. Nìkteré z~nich si pøedvedeme a omezíme
+se pøitom na pøípady s~nezápornými délkami.
+
+\references
\bye
projects / ga.git / commitdiff