\input lecnotes.tex
-\prednaska{8}{Problém minimální (nejkrat¹í) kostry}{}
+\prednaska{8}{Problém minimální kostry}{}
\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s~ohodnocením hran {\I váhami} $w: E(G) \rightarrow \bb R$,
chceme najít kostru $T$ s minimálním ohodnocením $w(T):=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.
\s{Navíc pøedpokládáme:} (bez újmy na~obecnosti)
\itemize\ibull
\:Graf $G$ je souvislý (jinak ho nejprve rozlo¾íme na komponenty).
-\:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$ ($w$ je prostá).
+\:Váhy hran jsou navzájem rùzné
\endlist
Nyní si uká¾eme tøi algoritmy pro hledání minimální kostry, konkrétnì se jedná
je to kostra. Zbývá nám u¾ jen dokázat, ¾e nalezená kostra je minimální. K~tomu pomu¾e následující lemma:
{\narrower
+\smallskip
\s{Definice:} {\I Øez} v~grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists A\subset V$ :
$F=\left\{\left\{u,v\right\}\in E:u\in A, v\notin A \right\}$.
-\s{Lemma (øezové):} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v
-grafu $G$ a $f$ je nejlehèí hrana v øezu $F$, pak pro ka¾dou minimální kostru
-$T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.
+\s{Lemma (øezové):} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v~grafu $G$ a $f$
+je nejlehèí hrana v øezu $F$, pak pro ka¾dou minimální kostru~$T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.
\proof
-Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
+Sporem: Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
Cesta musí øez alespoò jednou pøekroèit. Proto existuje $e\in P \cap F$ a navíc víme, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
Tento graf je rovnì¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
-hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$.
+hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$, co¾ je spor s minimalitou~$F$.
\qed
+\smallskip
}
\>V~dùkazu korektnosti Jarníkova algoritmu toto lemma vyu¾ijeme tak, ¾e si v¹imneme, ¾e hrany mezi
\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením má pravì jednu minimální kostru. Minimální kostra je
-jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran.
+jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran podle vah (na~konkrétních hodnotách vah nezále¾í).
\s{Implementace:}
\itemize\ibull
prùchodu hlavním cyklem pak procházíme v¹echna~$D(v)$ (to v¾dy trvá $\O(n)$) a pøi pøidání vrcholu do~$T$ kontrolujeme
okolní~$D(w)$ pro $vw\in E$ a pøípadnì je sni¾ujeme (za~ka¾dou hranu~$\O(1)$). Èasovou slo¾itost tím celkovì
zlep¹íme na~$\O(n^2+m)=\O(n^2)$.
-\:S pou¾itím haldy: $D(v)$ ukladáme do haldy. Potom provedeme nanejvý¹ $n$ krát ExtractMin, nanejvý¹ $n$ krát Insert a nanejvý¹ $m$ krát Decrease. Pro binární haldu to má èasovú slo¾itos» $\O(m \log(n))$.
+\:S pou¾itím haldy: $D(v)$ ukládáme do haldy. Potom provedeme nanejvý¹ $n$-krát {\I ExtractMin}, nanejvý¹ $n$-krát {\I Insert} a nanejvý¹ $m$-krát {\I Decrease}. Pro binární haldu to má èasovou slo¾itost $\O(m \log n)$. V¹imnìte si, ¾e Jarníkùv algoritmus s $D(v)$ je velmi podobný Dijkstrovu algoritmu pro nejkrat¹í cesty. Rozbor slo¾itosti pro rùzné typy hald proto také dopadne stejnì.
\endlist
\h{Borùvkùv algoritmus}
\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo
-\s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
+\s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lfloor \log_2 n\right\rfloor$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
\proof
V¹imnìme si nejprve, ¾e po~$k$ iteracích mají v¹echny komponenty grafu~$F$ minimálnì $2^k$ vrcholù.
-indukcí -- na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
+To nahlédneme indukcí -- na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
ka¾dá s~alespoò jednou sousední, tak¾e se velikosti komponent minimálnì zdvojnásobí.
-Proto nejpozdìji po~$\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích u¾~velikost komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus
-se zastaví.
+Proto nejpozdìji po~$\left\lfloor \log_2 n\right\rfloor$ iteracích u¾~velikost ka¾dé komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus se zastaví, tak¾e komponenta mù¾e být jen jedna.
Hrany mezi ka¾dou komponentou a~zbytkem grafu tvoøí øez, tak¾e podle øezového
lemmatu v¹echny hrany pøidané do~$F$ musí být souèástí (jednoznaènì
urèené) minimální kostry. Graf $F\subseteq G$ je tedy v¾dy les a a¾ se
-algoritmus zastaví, bude roven minimální kostøe.
+algoritmus zastaví, bude tento les roven minimální kostøe.
\qed
\s{Implementace:}
\:Inicializace pøímoèará.
\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. Pro ka¾dý vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
\:Pro ka¾dou hranu zjistíme, do které komponenty patøí, a pro ka¾dou komponentu
-si uchováme nejlehèí hranu.
+si uchováváme nejlehèí hranu.
\endlist
\>Takto doká¾eme ka¾dou iteraci provést v~èase $\O(m)$ a celý algoritmus dobìhne v~$\O(m\log n)$.
\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
-\:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby: $w(e_1)<...<w(e_m)$.
+\:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby platilo $w(e_1)<...<w(e_m)$.
\:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
\:Pro $i=1$ do $m$:
\::Pokud $F+e_i$ je acyklický, provedeme $F\leftarrow F+e_i$.
\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Setøídìní v èase $\O(m\log m)=\O(m\log n)$.
-\:Pak potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
+\:Potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
urèit, jestli právì zpracovávaná hrana vytvoøí kru¾nici. Potøebujeme tedy strukturu
pro udr¾ování komponent souvislosti, které se $m$-krát zeptáme, zda dva vrcholy
le¾í v~té¾e komponentì (tomu budeme øíkat operace \<Find>), a~$(n-1)$-krát spojíme
vrcholy. \<Find> zvládneme v~èase $\O(1)$, ale \<Union> bude stát $\O(n)$. Celý
algoritmus pak pobì¾í v~èase $\O(m\log n+ m + n^2) = \O(m\log n+n^2)$.
-\s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentou si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
--- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje velikost
-komponenty.
-%Hloubku podstromu? Zaøazujeme mìlèí pod hlub¹í, ne nutnì men¹í pod vìt¹í.
-%Myslím, ¾e s hloubkami to funguje lépe, ovìøit.
+\s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentu si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
+-- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje hloubku stromu.
Operace \<Find> vystoupá z~obou vrcholù ke~koøeni a koøeny porovná. \<Union>
-rovnì¾ najde koøeny a pøipojí koøen men¹í komponenty pod koøen té vìt¹í. Obojí
+rovnì¾ najde koøeny a pøipojí koøen mìlèí komponenty pod koøen té hlub¹í
+(pokud jsou obì stejnì hluboké, vybere si libovolnì). Obojí
zvládneme v~èase lineárním v~hloubce stromu a jak si uká¾eme, tato hloubka je
v¾dy nejvý¹e logaritmická, a proto celý Kruskalùv algoritmus pobì¾í v~èase
$\O(m\log n + m\log n + n\log n) = \O(m\log n)$.\foot{%
bychom neupotøebili,
jeliko¾ by nás stejnì brzdilo tøídìní, a analýza slo¾itosti by byla \dots\ inu, slo¾itìj¹í.}
-% V originále je jen "strom hloubky..." a to pøece pro obecný (napø.
-% zdegenerovaný) strom neplatí.
-
-% Mimochodem, zde se u¾ mluví o spojování podle hloubky, tak¾e to nahoøe je asi
-% vá¾nì chyba
\s{Lemma:} \<Union-Find> strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.
\proof
projects / ads1.git / commitdiff