APSP: Kapitola prejmenovana na "Transitivni uzavery", prepsan uvod

diff --git a/14-floyd/14-floyd.tex b/14-floyd/14-floyd.tex
index 8703134f0d9824d37ba41d3105377897ab235399..31809d26ccd8d70579a263f0b01384a4f870dbba 100644 (file)
--- a/14-floyd/14-floyd.tex
+++ b/14-floyd/14-floyd.tex
@@ -1,21 +1,27 @@
 \input ../sgr.tex
 
-\prednaska{13}{Nejkrat¹í cesty: Maticové metody}{}
+\prednaska{14}{Transitivní uzávìry}{}
 
 V~pøedchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkrat¹ích
-cest z~daného poèáteèního vrcholu. Nyní se zamìøíme na výpoèet celé
-metriky grafu, tedy matice vzdáleností, která pro ka¾dou dvojici vrcholù
-obsahuje délku nejkrat¹í cesty mezi nimi.
-
-Jeden zpùsob se ihned nabízí: postupnì spustit Dijkstrùv algoritmus pro v¹echny
-mo¾né volby poèáteèního vrcholu, pøípadnì se pøed tím je¹tì zbavit záporných
-hran pomocí potenciálù. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$.
-To je pro øídké grafy nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát
-pomalej¹í, ne¾ je velikost výstupu.
-
-Je-li graf hustý pracují obvykle rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích, zejména
+cest z~daného poèáteèního vrcholu. Nyní se zamìøíme na pøípady, kdy nás
+zajímají vzdálenosti, pøípadnì pouhá dosa¾itelnost, mezi v¹emi dvojicemi
+vrcholù.
+
+Výstupem takového algoritmu bude {\I matice vzdáleností} (pøípadnì
+{\I matice dosa¾itelnosti}). Na ni se také mu¾eme dívat jako na {\I transitivní
+uzávìr} zadaného grafu -- to je graf na~té¾e mno¾inì vrcholù, jeho¾ hrany
+odpovídají nejkrat¹ím cestám v~grafu pùvodním.
+
+Jeden zpùsob, jak transitivní uzávìr spoèítat, se ihned nabízí: postupnì
+spustit Dijkstrùv algoritmus pro v¹echny mo¾né volby poèáteèního vrcholu,
+pøípadnì se pøed tím je¹tì zbavit záporných hran pomocí potenciálù. Tak
+dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$. To je pro øídké grafy
+nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát pomalej¹í, ne¾ je velikost
+výstupu.
+
+Je-li graf hustý, pracují obvykle rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích, zejména
 na jejich násobení. Nìkolik algoritmù tohoto druhu si nyní pøedvedeme,
-a to jak pro výpoèet vzdáleností, tak pro dosa¾itelnost (transitivní uzávìr).
+a to jak pro výpoèet vzdáleností, tak pro dosa¾itelnost.
 
 Graf na vstupu bude v¾dy zadán maticí délek hran -- to je matice $n\times n$,
 její¾ øádky i sloupce jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází
@@ -241,7 +247,7 @@ celou 
 
 Pøedchozí pøevod je ov¹em trochu marnotratný. ©ikovným pou¾itím metody Rozdìl a panuj
 mù¾eme èasovou slo¾itost je¹tì sní¾it. Postup pøedvedeme pro dosa¾itelnost: na vstupu
-tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávìr~$A^*$
+tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávìr~$A^*$.
 (matice dosa¾itelnosti). V¹echny souèiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.
 
 Vrcholy grafu rozdìlíme na dvì mno¾iny $X$ a~$Y$ pøibli¾nì stejné velikosti,
@@ -289,7 +295,7 @@ kde $\mu(k)$ zna
 matic $k\times k$. Jeliko¾ jistì platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
 má tato rekurence podle kuchaøkové vìty øe¹ení $t(n) = \mu(n)$.
 
-Ukázali jsme tedy, ¾e výpoèet transitivního uzávìru je nejvý¹e stejnì
+Ukázali jsme tedy, ¾e výpoèet matice dosa¾itelnosti je nejvý¹e stejnì
 nároèný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- mù¾eme ho proto provést
 v~èase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje pøímoèarý pøevod v~opaèném smìru,
 tak¾e oba problémy jsou asymptoticky stejnì tì¾ké.