Drobne upravy dukazu Dijkstry.

diff --git a/10-cesty/10-cesty.tex b/10-cesty/10-cesty.tex
index 54bdd802b71e04042c6529671e4a374365db970f..805de671f8c08ae4cefb1aa43774b02cd1c20175 100644 (file)
--- a/10-cesty/10-cesty.tex
+++ b/10-cesty/10-cesty.tex
@@ -139,10 +139,14 @@ Nyn
 
 Uká¾eme si trik pro ohodnocené hrany: hranu délky $l$
 podrozdìlíme na $l$ hran délky 1 a pak spustíme BFS. Algoritmus pobì¾í s èasovou
-slo¾itostí $O((m+n)l_{max})$. To není zrovna moc výhodné, a proto si uká¾eme tzv. {\I Budíkovou taktiku }:
+slo¾itostí $O((m+n)l_{max})$. To není zrovna moc výhodné, a proto si uká¾eme tzv. {\I Budíkovou taktiku}:
+
+Místo toho, abychom ka¾dou hranu podrozdìlovali, si budeme pro ka¾dý vrchol pamatovat \uv{èas budíku} $b$.
 Èasem $b(v)$ budíku vrcholu~$v$ rozumíme èas, kdy se do tohoto vrcholu vlna dostane, kdy¾ se bude ¹íøit po
 dosud známých hranách. Na zaèátku nastavíme $\forall v \in V: b(v) = l(s,v)$ a pokud pøi bìhu
 algoritmu objevíme hranu, která nám umo¾ní dostat se do $v$ rychleji, tak hodnotu $b(v)$ zmìníme.
+Algoritmus pak bude pracovat tak, ¾e bude spát, dokud nezazvoní nìjaký budík (co¾ znamená, ¾e
+jsme dorazili do nìjakého vrcholu).
 
 Tato taktika nás pøivede k Dijkstrovu algoritmu, kde se ze dvoustavového $z(v)$ stane tøístavové
 $z(v)) \in \{{\bf{N}}, {\bf{V}}, {\bf{H}}\}$, kde {\bf{N}} znamená nevidìn, {\bf{V}} vidìn a {\bf{H}} hotov. Podle hodnoty $z(v)$ se
@@ -168,7 +172,14 @@ pak $D(v)$ rovn
 najde nejkrat¹í cesty v èase $\O(n^2)$.
 
 \proof
-na pøí¹tí pøedná¹ce
+V prùbìhu algoritmu se maximálnì $n$-krát hledá vrchol $v$ s minimálním $D(v)$,
+maximálnì $m$-krát se pøenastavuje $D(v)$. Pokud bude struktura $D$ ulo¾ena jako
+pole (hledání minima v $\O(n)$, zmìna hodnoty $\O(1)$), bude celková
+èasová slo¾itost Dijkstrova algoritmu $\O(n^2 + m) = \O(n^2)$. Fakt, ¾e se algoritmus
+zastaví je evidentní, proto¾e se stav ¾ádného vrcholu nevrací z {\bf{H}} do {\bf{V}}. 
+
+Úplný dùkaz správnosti a èasové slo¾itosti i pro hrany ohodnocené reálnými èísly
+bude na pøí¹tí pøedná¹ce.
 \qed
 
 Nahlédnìme nyní, zda by vedlo k~vylep¹ení èasové slo¾itosti, kdybychom pøi~implementaci