\input lecnotes.tex
\prednaska{8}{Fourierova transformace}{(K.Jakubec, M.Polák a G.Ocsovszky)}
-Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- jednodu¹e vezmeme koeficienty prvního polynomu a ka¾dým z nich pøenásobím v¹echny koeficienty toho druhého. Pokud øád prvního polynomu je $n$ a druhého $m$, tak èasová slo¾itost nám vyjde nìco jako $\O(mn)$. To není a¾ tak ¹patné, v nejhor¹ím pøípadì se dostaneme na $\O(n^{2})$ (pokud $m = n$). Na první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme v¾dy vynásobit \uv{ka¾dej s ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat mù¾e, ale k~tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast Fourier Transform}.
+Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- vezmeme koeficienty prvního polynomu a vynásobíme ka¾dý se v¹emi koeficienty druhého polynomu a pøíslu¹nì u toho vynásobíme i exponenty (stejnì jako to dìláme, kdy¾ násobíme polynomy na papíøe). Pokud stupeò prvního polynomu je $n$ a druhého $m$, tak èasová slo¾itost nám vyjde $\O(mn)$. To není a¾ tak ¹patné, v nejhor¹ím pøípadì se dostaneme na $\O(n^{2})$ (pokud $m = n$). Na první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme v¾dy vynásobit \uv{ka¾dý s ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat mù¾e, ale k tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast Fourier Transform}.
\ss{Trochu algebry na zaèátek:}
-\>Libovolný polynom $P$ øádu $n$ mù¾eme být reprezentován dvìma rùznými zpùsoby:
+\>Libovolný polynom $P$ stupnì $n$ mù¾e být reprezentován dvìma rùznými zpùsoby:
\itemize\ibull
\:svými koeficienty, èili èísly $a_{0}, a_{1}, \ldots ,a_{n}$, nebo
-\:svými hodnotami v $n + 1$ rùzných bodech $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$, èili èísly $P(x_{0}),$ $P(x_{1}),$ $\ldots , P(x_{n})$.
+\:svými hodnotami v $n$ rùzných bodech $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$, èili èísly $P(x_{0}),$ $P(x_{1}),$ $\ldots , P(x_{n})$.
\endlist
-\>Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a $B$ øádu $n$ a body $x_{0}, \ldots, x_{k}$, pak platí $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots, n+1.$ Toto èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení. Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty a ne hodnotami v bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algorimtus (tj. rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému algoritmu) na pøevod polynomu z~jedné reprezentace do druhé a zase zpìt.
+\ss{Konvence}
+\>Celé polynomy oznaèujeme velkými písmeny, jednotlivé èleny polynomù pak pøíslu¹nými malými písmeny. (Pø.: Polynom $W$ stupnì $n$ má èleny $w_{1}, w_{2},\ldots, w_{n}$.)
-Dále bychom si mìli uvìdomit, ¾e stupeò na¹eho výsledného polynomu $C$ bude $\leq 2n+1$ (kde $n$ je stupnìm výchozích polynomù). To snad netøeba nijak vysvìtlovat, ka¾dý si to snadno ovìøí, jen dodáme, ¾e pokud chceme polynom $C$ reprezentovat pomocí jeho hodnot v bodech, musíme vzít $2n + 2$ bodù. Tímto konèí malá algebraická vsuvka.
+\>Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a $B$ stupnì $n$ a body $x_{0}, \ldots, x_{k}$, pak platí $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots, n.$ Toto èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení. Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty a ne hodnotami v bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algorimtus (tj. rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému algoritmu) na pøevod polynomu z jedné reprezentace do druhé a zase zpìt.
+
+Dále bychom si mìli uvìdomit, ¾e stupeò na¹eho výsledného polynomu $C$ bude $\leq 2n$ (kde $n$ je stupeò výchozích polynomù). To snad netøeba nijak vysvìtlovat, ka¾dý si to snadno ovìøí, jen dodáme, ¾e pokud chceme polynom $C$ reprezentovat pomocí jeho hodnot v bodech, musíme vzít alespoò $2n$ bodù. Tímto konèí malá algebraická vsuvka.
\s{Idea, jak by mìl algoritmus pracovat:}
\algo
-\:Vybereme $2n + 2$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{2n+1}$.
-\:V~tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a $B$.
+\:Vybereme $2n$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{2n}$.
+\:V tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a $B$.
\:Nyní ji¾ v lineárním èase získáme polynom $C$ (viz vý¹e).
-\:Inverznì pøevedeme hodnoty polynomu $C$ v $2n+2$ bodech na jeho koeficienty.
+\:Inverznì pøevedeme hodnoty polynomu $C$ v $2n$ bodech na jeho koeficienty.
\endalgo
-\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v~lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n+2$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n+1$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n+2$ násobení).
-
-Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o~komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o~trochu struènìji.
+\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n$ násobení).
-\ss{Vyhodnocení polynomu metodou rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
-Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{i}$ shodují s~druhými mocninami $-x_{i}$.
+Celý trik spoèívá v chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o trochu struènìji.
-Polynom $P$ rozlo¾íme na dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty, druhá s~lichými:
+\ss{ Vyhodnocení polynomu metodou Rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
+Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{j}$ shodují s druhými mocninami $-x_{j}$.
+Polynom $P$ rozlo¾íme na dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty, druhá s lichými:
$P(x) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n-2}x^{n-2} + p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n-1}x^{n-1}$
$S(x^{2}) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n - 2}x^{n - 2}$,
$L(x^{2}) = p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n - 1}x^{n - 1}$
\>Tak¾e obecnì $P(x) = S(x^{2}) + xL(x^{2})$ a $P(-x) = S(x^{2}) - xL(x^{2})$.
-Jinak øeèeno, vyhodnocování $P(x)$ v $n$ bodech se nám smrskne na vyhodnocení $S(x)$ a $L(x)$ (oba mají polovièní stupeò ne¾ $P(x)$) v $n/2$ bodech (proto¾e $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).
+Jinak øeèeno, vyhodnocování $P$ v $n$ bodech se nám smrskne na vyhodnocení $S(x)$ a $L(x)$ (oba jsou polynomy stupnì $n/2$ a vyhodcujeme je nyní v $x^{2}$) v $n/2$ bodech (proto¾e $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).
\s{Pøíklad:}
$3 + 4x + 6x^{2} + 2x^{3} + x^{4} + 10x^{5} = (3 + 6x^{2} + x^{4}) + x(4 + 2x^{2} + 10x^{4})$.
-Teï nám ov¹em vyvstane problém s oním párováním -- druhá mocina pøece nemù¾e být záporná a tím pádem u¾ v~druhé úrovni rekurze body spárované nebudou. Z~tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti mohou. Jako $x_{0}, \ldots , x_{n-1} $ si zvolíme $n$-tou komplexní odmocninu z~jedné. Máme $n$ $n$-tých odmocnin z jednièky, rovnomìrnì rozesetých po jednotkové kru¾nici, BÚNO $n=2^{k}, k \in N$ (jinak viz slajdy Martina Mare¹e). Jednotlivé odmociny vypadají takto: $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1} $, kde $\omega = e^{2 \pi i/ n}$.
+Teï nám ov¹em vyvstane problém s oním párováním -- druhá mocina pøece nemù¾e být záporná a tím pádem u¾ v druhé úrovni rekurze body spárované nebudou. Z tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti mohou. Jako $x_{0}, \ldots , x_{n-1} $ si zvolíme $n$-tou primitvní odmocninu z jedné (oznaèíme si ji jako $\omega$). Máme $n$ $n$-tých primitivních odmocnin z jednièky, rovnomìrnì rozesetých po jednotkové kru¾nici, BÚNO $n=2^{k}, k \in N$ (jinak viz slajdy Martina Mare¹e). Jednotlivé odmociny vypadají takto: $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1} $, kde $\omega = e^{2 \pi i/ n}$.
\s{Dvì poznámky:}
\itemize\ibull
-\:$n$-té odmocniny z~jednièky jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$,
-\:umocníme-li v¹echny na druhou, vznikne nám $n/2$ $n/2$-tých odmocnin z~jedné, které jsou i nadále spárované.
+\:primitivní $n$-té odmocniny z jednièky jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$,
+\:umocníme-li v¹echny na druhou, vznikne nám $n/2$ $n/2$-tých odmocnin z jedné, které jsou i nadále spárované.
\endlist
\ss{Tak a teï koneènì ten slavný algoritmus:}
\>FFT($P$, $ \omega$)
-\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$, a $\omega$, $n-$tá odmocina z~jedné.
+\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$, a $\omega$, $n-$tá odmocina z jedné.
\>{\sl Výstup:} Hodnoty polynomu v~bodech $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1}$, èili èísla $P(1), P(\omega), P(\omega^{2}),$ $\ldots , P(\omega^{n - 1})$.
\algo
\:Pokud $n = 1$, vra» $P_{0}$ a konec.
-\:Jinak rozdìl $P$ na sudé a liché koeficienty a zarekurzi se do FFT($S$, $\omega^{2}$) a FFT($L$, $\omega^{2}$).
+\:Jinak rozdìl $P$ na sudé a liché koeficienty rekurzivnì zavolej FFT($S$, $\omega^{2}$) a FFT($L$, $\omega^{2}$).
\:Pro $j = 0, \ldots , n - 1$ spoèítej: $P(\omega^{j}) = S(\omega^{2j}) + \omega^{j} \cdot L(\omega^{2j})$.
\endalgo
\s{Èasová slo¾itost:}
-\>$T(n)=2T({n \over 2} ) + \O(n) \Rightarrow$ slo¾itost $\O(n \log n)$, stejnì jako MergeSort.
+\>$T(n)=2T(n/2) + \O(n) \Rightarrow$ slo¾itost $\O(n \log n)$, stejnì jako MergeSort.
-Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v~námi zadaných bodech. Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu. Tedy nìjaký inverzní algoitmus.
-Definujeme si algoritmus DFT, která vyu¾ívá maticovou reprezentaci a s~jeho¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
+Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v rùzných bodech .
+Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu.
+Tedy nìjaký inverzní algoritmus. Definujeme si DFT - diskrétní Fourierovu transformaci, která vyu¾ívá
+ maticovou reprezentaci a s její¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
\s{Definice:}
-\>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
-je funkce $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $y=f(x) \equiv \forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{jk}$.
+>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
+je funkce $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $y=f(x) \equiv \forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{k}$.
\s{Poznámka:}
-Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì $\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega x ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
+Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì
+$\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega . x ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
\s{Jak najít inverzní matici?} Víme, ¾e $\Omega =\Omega ^{T}$ proto¾e $\omega ^{jk} = \omega ^{kj}$.
\ss{Lemma:}
+\quad $\Omega _{j} \cdot \Omega _{k} = \left\{
+{\displaystyle 0 \ldots j\neq k}\atop
+{\displaystyle 1 \ldots j=k}
+\right.$.
+
+\s{Dùkaz:}
\proof Souèin
-$$\Omega _{j} \Omega _{k} = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} \Omega _{jl} \overline{\Omega _{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \overline{\omega ^{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \omega ^{-kl} = \sum \limits _{l} \omega ^{(j-k)l } = \sum \limits ^{n-1}_{l} (\omega^{j-k}) ^{l}, $$
+$$\Omega _{j} \Omega _{k} = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} \Omega _{jl} \overline{\Omega _{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \overline{\omega ^{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \omega ^{-kl} = \sum \limits _{l} \omega ^{(j-k)l } = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} (\omega^{j-k}) ^{l}, $$
proto¾e $ \overline{\omega^{kl}} = \overline{\omega} ^{kl} = {({1 \over \omega} )}^{kl} = \omega ^{-kl}$.
\endlist
\qed
-\>A nyní slibované a u¾ i dokázané lemma:
-\s{Lemma:} \quad $\Omega _{j} \cdot \Omega _{k} = \left\{
-{\displaystyle 0 \ldots j\neq k}\atop
-{\displaystyle 1 \ldots j=k}
-\right.$.
\s{Dùsledek:} \quad $\Omega \cdot \overline{\Omega} = nE$.
\>Na¹li jsme inverzi:
-$\Omega({1 \over n} \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot \overline{\Omega} = E$, \quad
-$\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n} {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
+$\Omega({1 \over n} \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot \overline{\Omega} = E$, \quad
+$\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n} {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
kde $\omega^{-1}$ je $\overline{\omega}$.
-\>Ná¹ algoritmus poèítá tedy i inverzní transformaci, pouze místo $\omega_n$ pou¾ijeme $\overline{\omega_n}$ a vydìlíme $n$. Co¾ je skvìlé -- staèí znát pouze jeden algoritmus u~kterého staèí v~jednom pøípadì pou¾ít jinou matici a vydìlit $n$.
+\>Ná¹ algoritmus poèítá tedy i inverzní transformaci, pouze místo $\omega_n$ pou¾ijeme komplexnì zdru¾ené
+ $\overline{\omega_n}$ a matici vynásobíme $(1/n)$. Co¾ je skvìlé --
+ staèí znát pouze jeden algoritmus u~kterého staèí v~jednom pøípadì pou¾ít transformovanou matici a vydìlit $n$.
\s{Vìta:} Pro $n= 2^k$ lze DFT na ${\bb C}^n$ spoèítat v~èase $\O(n \log n)$ a DFT$^{-1}$ takté¾.
\itemize\ibull
\:Zpracování signálu -- rozklad na siny a cosiny o~rùzných frekvencích $\Rightarrow$ spektrální rozklad.
-\:JPEG.
+\:komprese dat -- napøíklad formát JPEG.
\:Násobení dlouhých èísel v èase $\O(n \log n)$.
\endlist
+\s{Hardwareová implementace FFT -- takzvaná motýlková m:}
\figure{img.eps}{Pøíklad prùbìhu algoritmu na vstupu velikosti 8}{3in}
-\>To je schéma zapojení kombinaèního obvodu (tzv. \uv{motýlek}).
+\>Obrázek ukazuje zapojení kombinaèního obvodu pro DFT pro vstup velikosti 8. Èíslo $\log n$ znaèí poèet hladin, tj. u nás $\log 8 = 3$ hladiny.
+
+\>Základem je kombinaèní obvod tzv. motýlek. (Na obrázku znázornìn dvìma èarami, pøekøí¾enými v jejich støedech). Co motýlek dìlá? Podívejme se na následující obrázek.
+
+\figure{img2.eps}{Kombinaèní obvod tzv. motýlek}{3in}
+
+\>vstup jsou komplexní èísla $x_1$ a $x_2$ a výstup komplexní èísla $y_1$ a $y_2$
+\>$y_1 = x_1 + \omega^j \cdot x_2$
+\>$y_2 = x_1 - \omega^j \cdot x_2$
+
+\>kde index $j$ znaèí
+
+\>V¹imìme si poøadí vstupních hodnot(koeficientù). Èísla jsou v binarním tvaru 0-7 pøeètená pozpátku.
\s{Z toho:}
\itemize\ibull
\:Kombinaèní obvod pro DFT
- s~$\O(\log n)$ hladinami
- a $\O(n)$ hradly na hladinì.
+s~$\O(\log n)$ hladinami
+a $\O(n)$ hradly na hladinì.
\:Nerekurzivní algoritmus (postupujeme zleva) v~èase $\O(n \log n)$.
- Èísla vstupu jsou èísla v~binárním tvaru pøeètená pozpátku.
+
\endlist
--- /dev/null
+%!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2\r
+%%Creator: Xara X\r
+%%For: (Unregistered user) (Unregistered company)\r
+%%Title: (Butterfly.xar *)\r
+%%CreationDate: (06/01/08) (05:22 PM)\r
+%%BoundingBox: 13 24 98 56\r
+%%HiResBoundingBox: 13.749 24.341 97.251 55.160\r
+%%AWColourTable\r
+%%+h (Red) 0.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Orange-Red) 15.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Orange) 30.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Orange-Yellow) 45.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Yellow) 60.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Yellow-Chartreuse) 75.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Chartreuse) 90.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Chartreuse-Green) 105.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Green) 120.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Green-SpringGreen) 135.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Spring Green) 150.0 100.0 100.0\r
+%%+h (SpringGreen-Cyan) 165.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Cyan) 180.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Sky Blue) 195.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Mid Blue) 210.0 100.0 100.0\r
+%%+h (MidBlue-Blue) 225.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Blue) 240.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Blue-Indigo) 255.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Indigo) 270.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Violet) 285.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Magenta) 300.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Magenta-Crimson) 315.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Crimson) 330.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Crimson-Red) 345.0 100.0 100.0\r
+%%+h (Black) 0.0 0.0 0.0\r
+%%+t (90% Black) 90\r
+%%+t (80% Black) 80\r
+%%+t (70% Black) 70\r
+%%+t (60% Black) 60\r
+%%+t (50% Black) 50\r
+%%+t (40% Black) 40\r
+%%+t (30% Black) 30\r
+%%+t (20% Black) 20\r
+%%+t (10% Black) 10\r
+%%+h (White) 0.0 0.0 100.0\r
+%%EndComments\r
+%%BeginProlog\r
+\r
+%%BeginResource: procset XaraStudio1Dict\r
+% Copyright (c) 1995,1996 Xara Ltd\r
+/XaraStudio1Dict 300 dict def XaraStudio1Dict begin\r
+/bd{bind def}bind def/ld{load def}bind def/xd{exch def}bind def/sv{save}bd\r
+/rs{restore}bd/gs{gsave}bd/gr{grestore}bd/bg{begin}bd/en{end}bd/level2\r
+/languagelevel where{pop languagelevel 2 ge}{false}ifelse def/setseps{\r
+/v_gseps xd}bd/setplate{/v_plate xd}bd/setkgray{/v_keyg xd}bd/setmono{\r
+/v_mono xd}bd/rgb2gray{0.109 mul exch 0.586 mul add exch 0.305 mul\r
+add}bd/cmyk2rgb{3{dup 5 -1 roll add dup 1 gt{pop 1}if 1 exch sub exch}repeat\r
+pop}bd/rgb2cmyk{3{1.0 exch sub 3 1 roll}repeat 3 copy 2 copy gt{exch}if\r
+pop 2 copy gt{exch}if pop dup 0.5 gt{0.5 sub dup 3{5 1 roll dup 3 1\r
+roll sub}repeat 5 1 roll pop}{pop 0}ifelse}bd/cmyk2hsb{3{dup 5 -1 roll\r
+add 1 exch sub dup 0 lt{pop 0}if exch}repeat pop rgb2hsb}bd/rgb2hsb{setrgbcolor\r
+currenthsbcolor}bd/readcurve{exch 255.0 mul 0.5 add cvi get 255.0 div}bd\r
+/rgb2devcmyk{3 copy dup 3 1 roll eq 3 1 roll eq v_keyg 1 eq and and{pop\r
+pop 1 exch sub 0 0 0 4 -1 roll}{/ucurve where{pop 3{1.0 exch sub 3\r
+1 roll}repeat 3 copy 2 copy gt{exch}if pop 2 copy gt{exch}if pop dup\r
+ucurve readcurve exch bcurve readcurve clamp01 3{5 1 roll dup 3 1 roll\r
+sub clamp01}repeat 5 1 roll pop 4 1 roll ycurve readcurve 4 1 roll\r
+mcurve readcurve 4 1 roll ccurve readcurve 4 1 roll}{rgb2cmyk}ifelse}ifelse}def\r
+/rgb2keyG{3 copy dup 3 1 roll eq 3 1 roll eq and{pop pop}{Max3}ifelse\r
+1 exch sub bcurve readcurve clamp01}bd/rgb2key{Max3 1 exch sub bcurve\r
+readcurve clamp01}bd/rgb2cyanG{3 copy dup 3 1 roll eq 3 1 roll eq and{pop\r
+pop pop 0}{rgb2cyan}ifelse}bd/rgb2cyan{3 copy Max3 1 exch sub ucurve\r
+readcurve 4 1 roll pop pop 1 exch sub exch sub ccurve readcurve clamp01}bd\r
+/rgb2magentaG{3 copy dup 3 1 roll eq 3 1 roll eq and{pop pop pop 0}{rgb2magenta}ifelse}bd\r
+/rgb2magenta{3 copy Max3 1 exch sub ucurve readcurve 4 1 roll pop\r
+1 exch sub 3 1 roll pop sub mcurve readcurve clamp01}bd/rgb2yellowG{3\r
+copy dup 3 1 roll eq 3 1 roll eq and{pop pop pop 0}{rgb2yellow}ifelse}bd\r
+/rgb2yellow{3 copy Max3 1 exch sub ucurve readcurve 4 1 roll 1 exch\r
+sub 4 1 roll pop pop sub ycurve readcurve clamp01}bd/rgb2plategray{v_keyg\r
+0 eq v_plate v_cpky eq{{rgb2key}{rgb2keyG}ifelse}{v_plate v_cpyl eq{{rgb2yellow}{rgb2yellowG}ifelse}{v_plate\r
+v_cpmg eq{{rgb2magenta}{rgb2magentaG}ifelse}{v_plate v_cpcy eq{{rgb2cyan}{rgb2cyanG}ifelse}{{rgb2key}{rgb2keyG}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse\r
+1 exch sub setgray}bd/dc{0 def}bd/aca{/v_cpnone 0 def/v_cpcy 1 def\r
+/v_cpyl 2 def/v_cpmg 3 def/v_cpky 4 def/v_gseps 0 def/v_keyg 0 def\r
+/v_plate v_cpnone def/v_mono 0 def/v_wr dc/v_fc dc/v_fm dc/v_fy dc\r
+/v_fk dc/v_fg dc/v_fr dc/v_fg dc/v_fb dc/v_sc dc/v_sm dc/v_sy dc/v_sk\r
+dc/v_sg dc/v_sr dc/v_sg dc/v_sb dc/v_sct 0 def/v_fct 0 def/v_ft 0 def\r
+/v_cxe 0 def/v_cxm 0 def/v_sa -1 def/v_ea -1 def/sR dc/sG dc/sB dc\r
+/mR dc/mG dc/mB dc/eR dc/eG dc/eB dc/sC dc/sM dc/sY dc/sK dc/eC dc\r
+/eM dc/eY dc/eK dc/sH dc/sS dc/sV dc/eH dc/eS dc/eV dc/sGy dc/eGy\r
+dc/mGy dc/ci_datasrc dc/ci_matrix dc/ci_dataleft dc/ci_buf dc/ci_dataofs\r
+dc/ci_y dc/rciBuf dc/cbslw dc/cmiBuf dc/cPalette dc/cpci_datasrc dc\r
+/cpci_matrix dc/cpci_bpp dc/cpci_y dc/cpci_sampsleft dc/cpci_nextcol\r
+dc/cpci_buf dc/startX dc/startY dc/endX dc/endY dc/endX2 dc/endY2 dc\r
+/fillX dc/urx dc/ury dc/llx dc/lly dc/incD dc/distance dc/slice dc\r
+/startangle dc/Steps dc/incH dc/incS dc/incV dc/incR dc/incG dc/incB\r
+dc/incGy dc 0.25 setlinewidth [] 0 setdash 0 setlinejoin 0 setlinecap}bd\r
+aca/setplategray{v_plate v_cpky eq{1 exch sub setgray pop pop pop}{v_plate\r
+v_cpyl eq{pop 1 exch sub setgray pop pop}{v_plate v_cpmg eq{pop pop\r
+1 exch sub setgray pop}{v_plate v_cpcy eq{pop pop pop 1 exch sub setgray}{1\r
+exch sub setgray pop pop pop}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}bd/setplatecolor{v_plate\r
+v_cpky eq{1 exch sub 0 0 0 4 -1 roll setcmykcolor pop pop pop}{v_plate\r
+v_cpyl eq{pop 1 exch sub 0 0 0 4 2 roll setcmykcolor pop pop}{v_plate\r
+v_cpmg eq{pop pop 1 exch sub 0 0 0 4 1 roll setcmykcolor pop}{v_plate\r
+v_cpcy eq{pop pop pop 1 exch sub 0 0 0 setcmykcolor}{1 exch sub 0 0\r
+0 4 -1 roll setcmykcolor pop pop pop}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}bd\r
+/setcmykcolor where{pop}{/setcmykcolor{cmyk2rgb setrgbcolor}bd}ifelse\r
+/setlogcmykcolor{v_gseps 1 eq{v_mono 1 eq{1 exch sub setgray pop pop\r
+pop}{setcmykcolor}ifelse}{v_mono 1 eq{cmyk2rgb rgb2gray setgray}{setcmykcolor}ifelse}ifelse}bd\r
+/setlogrgbcolor{v_gseps 1 eq{v_mono 1 eq{rgbtoplategray}{rgb2devcmyk\r
+setplatecolor}ifelse}{v_mono 1 eq{rgb2gray setgray}{systemdict begin\r
+setrgbcolor end}ifelse}ifelse}bd/setfillcolor{v_fct 0 eq{v_fc v_fm\r
+v_fy v_fk setlogcmykcolor}{v_fr v_fg v_fb setlogrgbcolor}ifelse}bd\r
+/setstrokecolor{v_sct 0 eq{v_sc v_sm v_sy v_sk setlogcmykcolor}{v_sr\r
+v_sg v_sb setlogrgbcolor}ifelse}bd/setgfillcmyk{v_gseps 1 eq{v_mono\r
+1 eq{cmyk2rgb rgb2plategray}{cmyk2rgb rgb2devcmyk setplatecolor}ifelse}{v_mono\r
+1 eq{cmyk2rgb rgb2gray setgray}{setcmykcolor}ifelse}ifelse}bd/setgfillrgb{v_gseps\r
+1 eq{v_mono 1 eq{rgb2plategray}{rgb2devcmyk setplatecolor}ifelse}{v_mono\r
+1 eq{rgb2gray setgray}{systemdict begin setrgbcolor end}ifelse}ifelse}bd\r
+/setgfillhsb{v_gseps 1 eq{v_mono 1 eq{systemdict begin sethsbcolor\r
+currentrgbcolor end rgb2plategray}{systemdict begin sethsbcolor currentrgbcolor\r
+end rgb2devcmyk setplatecolor}ifelse}{v_mono 1 eq{systemdict begin\r
+sethsbcolor currentgray end setgray}{systemdict begin sethsbcolor end}ifelse}ifelse}bd\r
+/Max{2 copy lt{exch}if pop}bd/Max3{2 copy lt{exch}if pop 2 copy lt{exch}if\r
+pop}bd/Min{2 copy gt{exch}if pop}bd/Min3{2 copy gt{exch}if pop 2 copy\r
+gt{exch}if pop}bd/clamp{3 1 roll Max 2 1 roll Min}bd/clamp01{0 Max\r
+1 Min}bd/Pythag{dup mul exch dup mul add sqrt}bd/ssc{DeviceRGB setcolorspace\r
+setcolor}bd/ssg{setgray}bd/p_render{}def/p_count 0 def/vis_flag true\r
+def/DataString 3 string def/DataSrc{currentfile DataString readhexstring\r
+pop}bd/DataStr1 1 string def/DataStr2 1 string def/DataStr3 1 string\r
+def/DataSrc1{DataStr1}bd/DataSrc2{DataStr2}bd/DataSrc3{DataStr3}bd\r
+/colorimage where{pop/ci{colorimage}bd}{/ci{pop pop/ci_datasrc exch\r
+def matrix invertmatrix/ci_matrix exch def pop/ci_dataleft 0 def/ci_buf()def\r
+/ci_dataofs 0 def 0 1 3 -1 roll 1 sub{/ci_y exch def dup 0 1 3 -1\r
+roll 1 sub{0 1 2{pop ci_dataleft 0 eq{ci_datasrc dup length/ci_dataleft\r
+exch def/ci_buf exch def/ci_dataofs 0 def}if ci_buf ci_dataofs get\r
+255 div/ci_dataofs ci_dataofs 1 add def/ci_dataleft ci_dataleft 1 sub\r
+def}for setrgbcolor dup ci_y 3 -1 roll 1 add ci_y 1 add 4 copy 5 1\r
+roll 4 2 roll 5 -1 roll 1 1 4{pop ci_matrix transform 8 2 roll}for\r
+m l l l closepath fill}for}for pop}bd}ifelse/rci{/rciBuf 4 index 3\r
+index mul 7 add 8 div floor cvi string def{currentfile rciBuf readhexstring\r
+pop}bind false 3 ci}bd/cbsl{2 eq/cbslL2 xd 5 index/cbslw xd translate\r
+scale 8 [ 3 index 0 0 5 index 0 0 ] cbslL2{/DataStr1 cbslw string def\r
+currentfile/ASCII85Decode filter/RunLengthDecode filter DataStr1 readstring\r
+pop pop/DataStr2 cbslw string def currentfile/ASCII85Decode filter\r
+/RunLengthDecode filter DataStr2 readstring pop pop/DataStr3 cbslw\r
+string def currentfile/ASCII85Decode filter/RunLengthDecode filter\r
+DataStr3 readstring pop pop{DataStr1}bind{DataStr2}bind{DataStr3}bind\r
+true}{/DataSrc load false}ifelse 3 ci}bd/gbsl{2 eq/gbslL2 xd 5 index\r
+/gbslw xd translate scale 8 [ 3 index 0 0 5 index 0 0 ] gbslL2{/DataStr1\r
+gbslw string def currentfile/ASCII85Decode filter/RunLengthDecode filter\r
+DataStr1 readstring pop pop{DataStr1}bind}{/DataStr1 gbslw string def\r
+currentfile DataSrc1 readhexstring pop pop{DataStr1}bind}ifelse image}bd\r
+/cmi{/cmiBuf 4 index 3 index mul 7 add 8 div floor cvi string def{currentfile\r
+cmiBuf readhexstring pop}bind image}bd/cpal{4 mul string/cPalette exch\r
+def currentfile cPalette readhexstring pop}bd/cpci{/cpci_datasrc exch\r
+def matrix invertmatrix/cpci_matrix exch def/cpci_bpp exch def cpci_init\r
+0 1 3 -1 roll 1 sub{/cpci_y exch def dup cpci_bpp 4 eq{cpci_sampsleft\r
+1 eq{/cpci_sampsleft 0 def}if}if 0 1 3 -1 roll 1 sub{cpci_nextcol dup\r
+cpci_y 3 -1 roll 1 add cpci_y 1 add 4 copy 5 1 roll 4 2 roll 5 -1 roll\r
+1 1 4{pop cpci_matrix transform 8 2 roll}for m l l l closepath fill}for}for\r
+pop}bd/cpci_init{/cpci_sampsleft 0 def}bd/cpci_buf 1 string def/cpci_nextcol{cpci_bpp\r
+1 eq{cpci_sampsleft 0 eq{currentfile cpci_buf readhexstring pop pop\r
+/cpci_sampsleft 8 def}if cpci_buf dup 0 get dup 1 and setgray -1 bitshift\r
+1 exch put/cpci_sampsleft cpci_sampsleft 1 sub def}{cpci_bpp 4 eq{cpci_sampsleft\r
+0 eq{currentfile cpci_buf readhexstring pop pop/cpci_sampsleft 2 def}if\r
+cpci_buf 0 get dup 15 and exch -4 bitshift cpci_buf 0 3 -1 roll put\r
+/cpci_sampsleft cpci_sampsleft 1 sub def}{currentfile cpci_buf readhexstring\r
+pop 0 get}ifelse 4 mul dup 2 add cPalette exch get 255 div exch dup\r
+1 add cPalette exch get 255 div exch cPalette exch get 255 div setrgbcolor}ifelse}bd\r
+/setup1asciiproc{[ currentfile mystring/readhexstring cvx/pop cvx\r
+] cvx bind}bd/setup1binaryproc{[ currentfile mystring/readstring cvx\r
+/pop cvx ] cvx bind}bd level2{save/dontloadlevel1 xd}if/iw 0 def/ih\r
+0 def/im_save 0 def/setupimageproc 0 def/polarity 0 def/smoothflag\r
+0 def/mystring 0 def/bpc 0 def/beginimage{/im_save save def dup 0 eq{pop\r
+/setup1binaryproc}{1 eq{/setup1asciiproc}{(error, can't use level2 data acquisition procs for level1)print\r
+flush}ifelse}ifelse/setupimageproc exch ld/polarity xd/smoothflag xd\r
+/imat xd/mystring exch string def/bpc xd/ih xd/iw xd}bd/endimage{im_save\r
+restore}bd/1bitbwcopyimage{1 setgray 0 0 moveto 0 1 rlineto 1 0 rlineto\r
+0 -1 rlineto closepath fill 0 setgray iw ih polarity imat setupimageproc\r
+imagemask}bd/1bitcopyimage{setrgbcolor 0 0 moveto 0 1 rlineto 1 0 rlineto\r
+0 -1 rlineto closepath fill setrgbcolor iw ih polarity imat setupimageproc\r
+imagemask}bd/1bitmaskimage{setrgbcolor iw ih polarity [iw 0 0 ih 0\r
+0] setupimageproc imagemask}bd level2{dontloadlevel1 restore}if level2\r
+not{save/dontloadlevel2 xd}if/setup2asciiproc{currentfile/ASCII85Decode\r
+filter/RunLengthDecode filter}bd/setup2binaryproc{currentfile/RunLengthDecode\r
+filter}bd/myimagedict 9 dict dup begin/ImageType 1 def/MultipleDataSource\r
+false def end def/im_save 0 def/setupimageproc 0 def/polarity 0 def\r
+/smoothflag 0 def/mystring 0 def/bpc 0 def/ih 0 def/iw 0 def/beginimage{\r
+/im_save save def dup 2 eq{pop/setup2binaryproc}{dup 3 eq{pop/setup2asciiproc}{0\r
+eq{/setup1binaryproc}{/setup1asciiproc}ifelse}ifelse}ifelse/setupimageproc\r
+exch ld{[ 1 0 ]}{[ 0 1 ]}ifelse/polarity xd/smoothflag xd/imat xd/mystring\r
+exch string def/bpc xd/ih xd/iw xd}bd/endimage{im_save restore}bd/1bitbwcopyimage{1\r
+ssg 0 0 moveto 0 1 rlineto 1 0 rlineto 0 -1 rlineto closepath fill\r
+0 ssg myimagedict dup begin/Width iw def/Height ih def/Decode polarity\r
+def/ImageMatrix imat def/DataSource setupimageproc def/BitsPerComponent\r
+1 def/Interpolate smoothflag def end imagemask}bd/1bitcopyimage{ssc\r
+0 0 moveto 0 1 rlineto 1 0 rlineto 0 -1 rlineto closepath fill ssc\r
+myimagedict dup begin/Width iw def/Height ih def/Decode polarity def\r
+/ImageMatrix imat def/DataSource setupimageproc def/BitsPerComponent\r
+1 def/Interpolate smoothflag def end imagemask}bd/1bitmaskimage{ssc\r
+myimagedict dup begin/Width iw def/Height ih def/Decode polarity def\r
+/ImageMatrix imat def/DataSource setupimageproc def/BitsPerComponent\r
+1 def/Interpolate smoothflag def end imagemask}bd level2 not{dontloadlevel2\r
+restore}if\r
+level2{save/dontloadlevel1 xd}if/startnoload{{/noload save def}if}bd\r
+/endnoload{{noload restore}if}bd/testsystemdict{where{systemdict eq{true}{false}ifelse}{false}ifelse}bd\r
+/ncolors 1 def/colorimage where{pop true}{false}ifelse{/ncolors 0\r
+statusdict begin/processcolors where{pop pop processcolors}{/deviceinfo\r
+where{pop deviceinfo/Colors known{pop{deviceinfo/Colors get}}if}if}ifelse\r
+end def ncolors 0 ne{/colorimage testsystemdict/setcolortransfer testsystemdict\r
+/currentcolortransfer testsystemdict/currentcmykcolor testsystemdict\r
+and and and not{/ncolors 0 def}if}if}if ncolors dup 1 ne exch dup 3\r
+ne exch 4 ne and and{/ncolors 0 def}if ncolors 1 eq dup dup not startnoload{\r
+/expandbw{expandfactor mul round cvi bwclut exch get 255 div}bd/doclutimage{bwclut\r
+colorclut pop/bwclut xd bpc dup 8 eq{pop 255}{4 eq{15}{3}ifelse}ifelse\r
+/expandfactor xd [/expandbw load/exec load dup currenttransfer exch\r
+] cvx bind settransfer iw ih bpc imat setupimageproc image}bd}if not\r
+endnoload ncolors dup 3 eq exch 4 eq or dup dup not startnoload{/nullproc{{}}def\r
+/concatutil{/exec load 7 -1 roll/exec load}bd/defsubclut{1 add getinterval\r
+def}bd/spconcattransfer{/Dclut exch def/Cclut exch def/Bclut exch def\r
+/Aclut exch def/ncompute exch ld currentcolortransfer [{Aclut ncompute}concatutil\r
+] cvx [{Bclut ncompute}concatutil ] cvx [{Cclut ncompute}concatutil\r
+] cvx [{Dclut ncompute}concatutil ] cvx setcolortransfer}bd/setuprgbcluts{\r
+/bit3x rgbclut length 3 sub def/bit1x bit3x 3 idiv def/rclut rgbclut\r
+def/gclut rclut 1 bit3x defsubclut/bclut rclut 2 bit3x defsubclut}bd}if\r
+not endnoload ncolors 3 eq dup dup not startnoload{/3compute{exch bit3x\r
+mul round cvi get 255 div}bd/doclutimage{/rgbclut xd pop setuprgbcluts\r
+/3compute rclut gclut bclut dup spconcattransfer iw ih bpc imat [\r
+setupimageproc/exec load/dup load dup ] cvx nullproc nullproc true\r
+3 colorimage}bd}if not endnoload ncolors 4 eq dup dup not startnoload{\r
+/stuffclut{cmykindex 3 -1 roll put}bd/ftoint{1 exch sub 255 mul round\r
+cvi}bd/4compute{exch bit4x mul round cvi get 255 div}bd/computecmykclut{setuprgbcluts\r
+/bit4x rgbclut length 3 idiv 4 mul 4 sub def/cmykclut bit4x 4 add\r
+string def/cclut cmykclut def/mclut cclut 1 bit4x defsubclut/yclut\r
+cclut 2 bit4x defsubclut/kclut cclut 3 bit4x defsubclut/cmykindex 0\r
+def 0 1 bit1x{dup/cmykindex exch bit1x exch sub 4 mul def 3 mul dup\r
+rclut exch get 255 div exch dup gclut exch get 255 div exch bclut exch\r
+get 255 div setrgbcolor currentcmykcolor ftoint kclut stuffclut ftoint\r
+yclut stuffclut ftoint mclut stuffclut ftoint cclut stuffclut}for}bd\r
+/doclutimage{/rgbclut xd pop invalidcolortable?{computecmykclut}if\r
+/4compute cclut mclut yclut kclut spconcattransfer iw ih bpc imat\r
+[ setupimageproc/exec load/dup load dup dup ] cvx nullproc nullproc\r
+nullproc true 4 colorimage}bd}if not endnoload ncolors 0 eq dup dup\r
+not startnoload{/lookupandstore{3 mul 3 getinterval putinterval exch\r
+3 add exch 3 copy}bd/8lookup/lookupandstore ld/4lookup{/byte 1 index\r
+def -4 bitshift lookupandstore byte 15 and lookupandstore}bd/2lookup{\r
+/byte 1 index def -6 bitshift lookupandstore byte -4 bitshift 3 and\r
+lookupandstore byte -2 bitshift 3 and lookupandstore byte 3 and lookupandstore}bd\r
+/colorexpand{mystringexp 0 rgbclut 3 copy 7 -1 roll/mylookup load\r
+forall pop pop pop pop pop}bd/createexpandstr{/mystringexp exch mystring\r
+length mul string def}bd/doclutimage{/rgbclut xd pop/mylookup bpc 8\r
+eq{3 createexpandstr/8lookup}{bpc 4 eq{6 createexpandstr/4lookup}{12\r
+createexpandstr/2lookup}ifelse}ifelse ld iw ih bpc imat [ setupimageproc\r
+/exec load/colorexpand load/exec load] cvx false 3 colorimage}bd}if\r
+not endnoload/colorimage where{pop true}{false}ifelse dup{/do24image{iw\r
+ih 8 imat setupimageproc false 3 colorimage}bd}if dup dup startnoload\r
+not{/rgbtogray{/str xd/len str length def/smlen len 3 idiv def/rstr\r
+str def/gstr str 1 len 1 sub getinterval def/bstr str 2 len 2 sub getinterval\r
+def str dup 0 1 smlen 1 sub{dup 3 mul rstr 1 index get .3 mul gstr\r
+2 index get .59 mul add bstr 3 -1 roll get .11 mul add round cvi put\r
+dup}for pop 0 smlen getinterval}bd/do24image{iw ih 8 imat [ setupimageproc\r
+/exec load/rgbtogray load/exec load ] cvx bind image}bd}if endnoload\r
+/doimage{iw ih 8 imat setupimageproc image}bd level2{dontloadlevel1\r
+restore}if level2 not{save/dontloadlevel2 xd}if/myappcolorspace/DeviceRGB\r
+def/rgbclut 0 def/doclutimage{/rgbclut xd pop bpc dup 8 eq{pop 255}{4\r
+eq{15}{3}ifelse}ifelse/hival xd [/Indexed myappcolorspace hival rgbclut]\r
+setcolorspace myimagedict dup begin/Width iw def/Height ih def/Decode\r
+[0 hival] def/ImageMatrix imat def/DataSource setupimageproc def/BitsPerComponent\r
+bpc def/Interpolate smoothflag def end image}bd/do24image{myappcolorspace\r
+setcolorspace myimagedict dup begin/Width iw def/Height ih def/Decode\r
+[0 1 0 1 0 1] def/ImageMatrix imat def/DataSource setupimageproc def\r
+/BitsPerComponent 8 def/Interpolate smoothflag def end image}bd level2\r
+not{dontloadlevel2 restore}if\r
+/NumSteps{dtransform matrix defaultmatrix idtransform Pythag currentscreen\r
+pop pop 72 exch div div}bd/FindMinSteps{v_ft 4 eq{urx startX sub abs\r
+llx startX sub abs Max ury startY sub abs lly startY sub abs Max Pythag\r
+2 3.14159265 mul mul 0}{v_ft 2 eq{endY startY sub endX startX sub Pythag\r
+endY2 startY sub endX2 startX sub Pythag gt{endY startY sub endX startX\r
+sub}{endY2 startY sub endX2 startX sub}ifelse}{endY startY sub endX\r
+startX sub}ifelse}ifelse NumSteps}bd/cxe{/v_cxe exch def}bd/cxm{pop\r
+/v_cxm exch def}bd/cxmt{pop pop}bd/cxt{pop}bd/S_eoclip{currentflat{{eoclip}stopped{dup\r
+currentflat exch sub 20 gt{([Error: PathTooComplex; OffendingCommand: eoclip]\n)print\r
+flush exit}{currentflat 2 add setflat}ifelse}{exit}ifelse}loop setflat}bd\r
+/S_clip{currentflat{{clip}stopped{dup currentflat exch sub 20 gt{([Error: PathTooComplex; OffendingCommand: clip]\n)print\r
+flush exit}{currentflat 2 add setflat}ifelse}{exit}ifelse}loop setflat}bd\r
+/S_eofill{currentflat{{eofill}stopped{dup currentflat exch sub 20\r
+gt{([Error: PathTooComplex; OffendingCommand: eofill]\n)print flush\r
+exit}{currentflat 2 add setflat}ifelse}{exit}ifelse}loop setflat}bd\r
+/gpbbx{pathbbox/ury exch def/urx exch def/lly exch def/llx exch def}bd\r
+/lineargfill{initgfill{false initgfx/distance endX startX sub endY\r
+startY sub Pythag def/incD distance Steps div def endY startY sub endX\r
+startX sub atan newpath llx lly urx ury Bx startX startY translate\r
+rotate gpbbx eGy ssg newpath llx lly urx ury Bx S_eofill sGy ssg newpath\r
+llx lly 0 ury Bx S_eofill/fillX 0 def 0 1 Steps 1 sub{stepgfx newpath\r
+fillX lly fillX incD add dup/fillX exch def ury Bx S_eofill pop}for}if}bd\r
+/radialgfill{initgfill{false initgfx/distance endX startX sub endY\r
+startY sub Pythag def/incD distance Steps div def eGy ssg newpath llx\r
+lly urx ury Bx S_eofill/distance 0 def 0 1 Steps 1 sub{stepgfx newpath\r
+startX startY distance 0 360 arc closepath distance incD add dup/distance\r
+exch def 0 rmoveto startX startY distance 0 360 arc closepath S_eofill\r
+pop}for}if}bd/ellipticgfill{initgfill{true initgfx sGy ssg newpath\r
+llx lly urx ury Bx S_eofill [ endX startX sub endY startY sub endX2\r
+startX sub endY2 startY sub startX startY ] concat Steps 1 sub -1 0{stepgfx\r
+/i exch def 0 0 moveto 0 0 i Steps div 0 360 arc fill}for}if}bd/conicalgfill{initgfill{urx\r
+startX sub abs llx startX sub abs Max ury startY sub abs lly startY\r
+sub abs Max Pythag startY endY sub startX endX sub Pythag div/radius\r
+exch def true initgfx [ endX startX sub endY startY sub startY endY\r
+sub endX startX sub startX startY ] concat/slice 180 Steps div def\r
+/startangle 0 def Steps -1 0{pop stepgfx 0 0 moveto 0 0 radius startangle\r
+neg dup slice add arc fill 0 0 moveto 0 0 radius startangle dup slice\r
+add dup/startangle exch def arc fill}for}if}bd/initgfill{gpbbx{S_eoclip}{S_clip}ifelse\r
+startX endX eq startY endY eq and sGy eGy eq or dup{sGy ssg newpath\r
+llx lly urx ury Bx S_eofill}if not}bd/initgfx{/flag exch def flag{sGy\r
+eGy/sGy exch def/eGy exch def}if eGy sGy sub abs 256 mul FindMinSteps\r
+Min 256 Min ceiling 1 Max/Steps exch def eGy sGy sub Steps div/incGy\r
+exch def sGy/mGy exch def}bd/stepgfx{mGy ssg mGy incGy add/mGy exch\r
+def}bd/linearfill{initfill{false initfx endX startX sub endY startY\r
+sub Pythag/distance exch def/incD distance Steps div def endY startY\r
+sub endX startX sub atan newpath llx lly urx ury Bx startX startY translate\r
+rotate gpbbx v_cxe 0 eq{eR eG eB setgfillrgb}{eH eS eV setgfillhsb}ifelse\r
+newpath llx lly urx ury Bx S_eofill v_cxe 0 eq{sR sG sB setgfillrgb}{sH\r
+sS sV setgfillhsb}ifelse newpath llx lly 0 ury Bx S_eofill/fillX 0\r
+def 0 1 Steps 1 sub{stepfx newpath fillX lly fillX incD add dup/fillX\r
+exch def ury Bx S_eofill pop}for}if}bd/radialfill{initfill{false initfx\r
+endX startX sub endY startY sub Pythag/distance exch def/incD distance\r
+Steps div def v_cxe 0 eq{eR eG eB setgfillrgb}{eH eS eV setgfillhsb}ifelse\r
+newpath llx lly urx ury Bx S_eofill/distance 0 def 0 1 Steps 1 sub{stepfx\r
+newpath startX startY distance 0 360 arc closepath distance incD add\r
+dup/distance exch def 0 rmoveto startX startY distance 0 360 arc closepath\r
+S_eofill pop}for}if}bind def/ellipticalfill{initfill{true initfx v_cxe\r
+0 eq{sR sG sB setgfillrgb}{sH sS sV setgfillhsb}ifelse newpath llx\r
+lly urx ury Bx S_eofill [ endX startX sub endY startY sub endX2 startX\r
+sub endY2 startY sub startX startY ] concat Steps 1 sub -1 0{stepfx\r
+/i exch def 0 0 moveto 0 0 i Steps div 0 360 arc fill}for v_cxe 0\r
+eq{sR sG sB eR eG eB/sB exch def/sG exch def/sR exch def/eB exch def\r
+/eG exch def/eR exch def}if}if}bd/conicalfill{initfill{urx startX\r
+sub abs llx startX sub abs Max ury startY sub abs lly startY sub abs\r
+Max Pythag startY endY sub startX endX sub Pythag div/radius exch def\r
+true initfx [ endX startX sub endY startY sub startY endY sub endX\r
+startX sub startX startY ] concat/slice 180 Steps div def/startangle\r
+0 def Steps -1 0{pop stepfx 0 0 moveto 0 0 radius startangle neg dup\r
+slice add arc fill 0 0 moveto 0 0 radius startangle dup slice add dup\r
+/startangle exch def arc fill}for}if}bd/initfill{gpbbx{S_eoclip}{S_clip}ifelse\r
+startX endX eq startY endY eq and v_cxe 2 ne sR eR eq sG eG eq and\r
+sB eB eq and and or dup{sR sG sB setgfillrgb newpath llx lly urx ury\r
+Bx S_eofill}if not}bd/initfx{/flag exch def v_cxe 0 eq{flag{sR sG sB\r
+eR eG eB/sB exch def/sG exch def/sR exch def/eB exch def/eG exch def\r
+/eR exch def}if eR sR sub abs 256 mul eG sG sub abs 256 mul Max eB\r
+sB sub abs 256 mul Max FindMinSteps Min 256 Min ceiling 1 Max/Steps\r
+exch def/incR eR sR sub Steps div def/incG eG sG sub Steps div def\r
+/incB eB sB sub Steps div def sR/mR exch def sG/mG exch def sB/mB\r
+exch def}{sR sG sB rgb2hsb/sV exch def/sS exch def/sH exch def eR eG\r
+eB rgb2hsb/eV exch def/eS exch def/eH exch def eH sH sub abs v_cxe\r
+1 eq{dup 0.5 gt{1 exch sub}if}{dup 0.5 lt{1 exch sub}if}ifelse 256\r
+mul eS sS sub abs 256 mul Max eV sV sub abs 256 mul Max FindMinSteps\r
+Min 256 Min ceiling 1 Max/Steps exch def v_cxe 1 eq{/incH eH sH sub\r
+dup abs 0.5 gt{dup 0 ge{1 sub}{1 add}ifelse}if Steps div def/incS eS\r
+sS sub Steps div def/incV eV sV sub Steps div def}{/incH eH sH sub\r
+dup abs 0.5 le{dup 0 ge{1 sub}{1 add}ifelse}if Steps div def/incS eS\r
+sS sub Steps div def/incV eV sV sub Steps div def}ifelse flag{/sH eH\r
+/eH sH def def/sS eS/eS sS def def/sV eV/eV sV def def/incH incH neg\r
+def/incS incS neg def/incV incV neg def}if}ifelse}bd/stepfx{v_cxe 0\r
+eq{mR mG mB setgfillrgb mR incR add/mR exch def mG incG add/mG exch\r
+def mB incB add/mB exch def}{sH sS sV setgfillhsb sH incH add dup 0\r
+le{1 add}{dup 1 ge{1 sub}if}ifelse/sH exch def sS incS add/sS exch\r
+def sV incV add/sV exch def}ifelse}bd\r
+/ar{}bd/arr{pop pop pop pop pop pop pop}bd/ae{pop pop pop pop pop\r
+pop}bd/aoa{pop}bd/apl{pop}bd/apc{}bd/aof{pop pop}bd/aafs{pop pop pop}bd\r
+/O{pop}bd/R{pop}bd/axop{pop pop pop pop}bd/g{/v_ft 0 def/v_fc 0 def\r
+/v_fm 0 def/v_fy 0 def 1 exch sub/v_fk exch def/v_fct 0 def}bd/G{\r
+/v_sc 0 def/v_sm 0 def/v_sy 0 def 1 exch sub/v_sk exch def/v_sct 0\r
+def}bd/k{/v_fk exch def/v_fy exch def/v_fm exch def/v_fc exch def/v_ft\r
+0 def/v_fct 0 def}bd/K{/v_sk exch def/v_sy exch def/v_sm exch def/v_sc\r
+exch def/v_sct 0 def}bd/Xa{/v_fb exch def/v_fg exch def/v_fr exch def\r
+/v_ft 0 def/v_fct 1 def}bd/XA{/v_sb exch def/v_sg exch def/v_sr exch\r
+def/v_sct 1 def}bd/a_tc{exch pop 1 exch sub dup 3 -1 roll exch div\r
+exch dup 4 -1 roll exch div 3 1 roll dup 5 -1 roll exch div 4 1 roll\r
+5 -1 roll exch div 4 1 roll}bd/x{a_tc k}bd/X{a_tc K}bd/Xx{0 eq{x}{pop\r
+pop Xa}ifelse}bd/XX{0 eq{X}{pop pop XA}ifelse}bd/awr{/v_wr exch def}bd\r
+/w{setlinewidth}bd/j{setlinejoin}bd/J{setlinecap}bd/d{setdash}bd/asc{pop\r
+pop J}bd/aec{pop pop J}bd/csah{pop pop pop}bd/ceah{pop pop pop}bd/cst{pop\r
+pop}bd/cdp{pop}bd/m{moveto}bd/l{lineto}bd/c{curveto}bd/Bx{4 copy 5\r
+1 roll 4 2 roll 5 -1 roll m l l l closepath}bd/Cp{Bx clip newpath}bd\r
+/a_fp{gsave v_wr 0 ne v_ft 0 eq{setfillcolor{eofill}{fill}ifelse}{v_ft\r
+1 eq{linearfill}{v_ft 2 eq{ellipticalfill}{v_ft 3 eq{radialfill}{v_ft\r
+4 eq{conicalfill}{v_ft 8 eq{lineargfill}{v_ft 9 eq{ellipticgfill}{v_ft\r
+10 eq{radialgfill}{conicalgfill}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse}ifelse\r
+grestore}bd/*u{/p_count p_count 1 add def}bd/*U{/p_count p_count 1\r
+sub def p_count 0 eq{vis_flag{p_render}{newpath}ifelse}if}bd/B{/p_render{a_fp\r
+setstrokecolor stroke}bd p_count 0 eq{vis_flag{p_render}{newpath}ifelse}if}bd\r
+/b{closepath B}bd/F{/p_render{a_fp newpath}bd p_count 0 eq{vis_flag{p_render}{newpath}ifelse}if}bd\r
+/f{closepath F}bd/S{/p_render{setstrokecolor stroke}bd p_count 0 eq{vis_flag{p_render}{newpath}ifelse}if}bd\r
+/s{closepath S}bd/H{/p_render{newpath}bd p_count 0 eq{vis_flag{p_render}{newpath}ifelse}if}bd\r
+/h{closepath H}bd/N{H}bd/n{h}bd/cag{dup 7 add/v_ft exch def dup 2\r
+eq{pop/endY2 exch def/endX2 exch def}{7 eq{pop pop/v_ft 8 def}if}ifelse\r
+/endY exch def/endX exch def/startY exch def/startX exch def/eGy exch\r
+def/sGy exch def}bd/caz{dup/v_ft exch def dup 2 eq{pop/endY2 exch def\r
+/endX2 exch def}{7 eq{pop pop/v_ft 1 def}if}ifelse/endY exch def/endX\r
+exch def/startY exch def/startX exch def/eB exch def/eG exch def/eR\r
+exch def/sB exch def/sG exch def/sR exch def}bd/cax{dup/v_ft exch def\r
+dup 2 eq{pop/endY2 exch def/endX2 exch def}{7 eq{pop pop/v_ft 1 def}if}ifelse\r
+/endY exch def/endX exch def/startY exch def/startX exch def pop pop\r
+8 3 roll pop pop/sB exch def/sG exch def/sR exch def/eB exch def/eG\r
+exch def/eR exch def}bd/axm{/endY exch def/endX exch def/startY exch\r
+def/startX exch def}bd/alyr{pop pop 1 eq{true}{false}ifelse/vis_flag\r
+exch def pop pop}bd\r
+/t{moveto show}bd/ts{moveto false charpath S}bd/tf{moveto true charpath\r
+F}bd/tb{3 copy moveto true charpath F moveto false charpath S}bd/selectfont\r
+where{pop}{/selectfont{dup type/integertype eq{exch findfont exch scalefont\r
+setfont}{exch findfont exch makefont setfont}ifelse}bd}ifelse/sf{selectfont}bd\r
+/u{}bd/U{}bd/anu{pop}bd\r
+end\r
+%%EndResource\r
+%%EndProlog\r
+%%BeginSetup\r
+save XaraStudio1Dict begin\r
+%%EndSetup\r
+0 cxe\r
+2 0 cxm\r
+1 awr\r
+0.250 w\r
+2 j\r
+[ ] 0 d\r
+0 J\r
+0.00 0.00 0.00 (Black) 0 1 Xx\r
+/Times-Roman 10 sf (X) 13.577 47.744 t (1) 20.428 47.744 t (Y) 85.577 47.744 t (1) 91.685 47.744 t (X)\r
+13.577 24.466 t (2) 20.428 24.466 t (Y) 85.577 24.466 t (2) 91.685 24.466 t 0.00 0.00 0.00 (Black) 0 1\r
+XX\r
+0.500 w\r
+32.327 49.994 m\r
+81.077 28.244 l\r
+S\r
+34.577 26.744 m\r
+81.827 49.244 l\r
+S\r
+0.250 w\r
+(X) 13.577 47.744 t (1) 20.428 47.744 t (Y) 85.577 47.744 t (1) 91.685 47.744 t (X) 13.577 24.466 t (2)\r
+20.428 24.466 t (Y) 85.577 24.466 t (2) 91.685 24.466 t 0.500 w\r
+32.327 49.994 m\r
+81.077 28.244 l\r
+S\r
+34.577 26.744 m\r
+81.827 49.244 l\r
+S\r
+end restore\r
+%%PageTrailer\r
+showpage\r
+%%Trailer\r
+%%EOF\r
projects / ads2.git / commitdiff