\s{Triviální øe¹ení:} Ka¾dé tøídì pøiøadíme unikátní barvu, kterou obarvíme prvky tøídy. Operace \<Find>
porovnává barvy, operace \<Union> prvky jedné tøídy pøebarvuje.
-Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární. Mù¾eme si
+Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární èas. Mù¾eme si
pomoci tím, ¾e v¾dy pøebarvíme {\I men¹í} ze~sluèovaných ekvivalenèních tøíd (budeme
si pro ka¾dou tøídu pamatovat seznam jejích prvkù a velikost). Tehdy mù¾e být ka¾dý
prvek pøebarven jen $\O(\log n)$-krát, jeliko¾ ka¾dým pøebarvením se alespoò zdvojnásobí
\:{\I Union by rank:} ka¾dý koøen $v$ si pamatuje svùj rank $r(v)$. Pokud spojujeme
dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
-\foot{Podobnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
+\foot{Stejnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í a snáze se analyzují.}
\:{\I Path compression:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
bude omezena $\O(\log n)$.%
\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila.}
+Ve~skuteènosti se popsaná struktura chová daleko lépe:
+
\s{Vìta:} (Tarjan, van Leeuwen \cite{tarjan84setunion}) Kombinace Union by rank a Path compression vede k~amortizované
slo¾itosti obou operací $\O(\alpha(n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
\foot{Existuje varianta tohoto algoritmu, která dosahuje stejné slo¾itosti i v~nejhor¹ím
\h{Union-Find s~pøedem známými Uniony}
Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problemu, v~ní¾ dopøedu známe
-posloupnost unionù, èili strom, který spojováním komponent vznikne. Popí¹eme algoritmus,
+posloupnost Unionù, èili strom, který spojováním komponent vznikne.\foot{Kdy se to hodí?
+Tøeba v~Thorupovì lineárním algoritmu \cite{thorup:usssp} na~nejkrat¹í cesty nebo
+v~Weiheho takté¾ lineárním algoritmu \cite{weihe:paths} na~hledání hranovì disjunktních
+cest v~rovinných grafech.}
+Jiná interpretace tého¾ (jen pozpátku) je dekrementální udr¾ování komponent
+souvislosti lesa: na~poèátku je dán les a umíme smazat hranu a otestovat, zda jsou
+dva vrcholy v~tém¾e stromu.
+
+Popí¹eme algoritmus,
který po~poèáteèním pøedzpracování v~èase $\O(n)$ zvládne \<Union> i \<Find> v~amortizovanì
-konstantním èase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných v~\cite{alstrup97optimal}
+konstantním èase. Tento algoritmus je kombinací dekompozic popsaných Alstrupem v~\cite{alstrup97optimal}
a \cite{alstrup98marked}.
\s{Definice:} {\I (Microtree/Macrotree dekompozice)} Pro zakoøenìný strom $T$ o~$n$ vrcholech
\endlist
\s{Pozorování:} Ka¾dý mikrostrom má nejvý¹e $\log n$ listù. Pod ka¾dým listem makrostromu le¾í
-alespoò jeden mikrostrom\foot{Mù¾e jich být i více, pøedstavte si dekompozici hvìzdy.}, tak¾e
+alespoò jeden mikrostrom (mù¾e jich být i více, pøedstavte si dekompozici hvìzdy), tak¾e
listù makrostromu je nejvý¹e $n/\log n$.
Vnitøních vrcholù makro- i mikrostromù ale mù¾e být ne¹ikovnì mnoho, proto¾e se ve~stromech mohou
vyskytovat dlouhé cesty. Pomù¾eme si snadno: ka¾dou cestu si budeme pamatovat zvlá¹» a ve~stromu
-ji nahradíme hranou, která bude existovat právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
+ji nahradíme hranou, která bude vlo¾ena právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
-\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si pamatujeme
+\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si ulo¾íme
mno¾iny ji¾ pøítomných hran (po~bitech jako èísla). Pak si je¹tì pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
odpovídají úsekùm a jsou pøítomny právì tehdy, jsou-li pøítomny v¹echny hrany pøíslu¹ného úseku)
délky $l/\log n$ a pro ni \uv{pøebarvovací} strukturu pro Union-Find.
\algo
\:Pokud $x$ a $y$ jsou v~tém¾e úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
jsou v¹echny hrany mezi $x$ a $y$ pøítomny.
-\:Pokud jsou v~rùzných, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
+\:Pokud jsou v~rùzných úsecích, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních èásteèných úsecích.
\endalgo
Operace uvnitø úsekù pracují v~èase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestì v~$\O(\log l)$
-amortizovanì, ale je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, tak¾e celkovì zaberou lineární èas.
+amortizovanì, ale za~dobu ¾ivota struktury je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, tak¾e celkovì zaberou lineární èas.
\s{Algoritmus pro mikrostromy:} Po~kompresi cest má ka¾dý mikrostrom nejvý¹e $2\log n$
vrcholù, èili také nejvý¹e tolik hran. Hrany si oèíslujeme pøirozenými èísly, ka¾dou
\algo
\:Najdeme poøadové èíslo $i$ hrany $xy$ (máme pøedpoèítané).
-\:$F := F \cup \{i\}$.
+\:$F \leftarrow F \cup \{i\}$.
\endalgo
\>$\<Find>(x,y):$
\algo
-\:$P := P_x \mathop{\Delta} P_v$ (mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$)
+\:$P \leftarrow P_x \mathop{\Delta} P_v$ (mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$).
\:Pokud $P\setminus F=\emptyset$, le¾í $x$ a $y$ ve~stejnì komponentì, jinak ne.
\endalgo
\:Pokud $x$ a $y$ le¾í uvnitø jedné cesty, zeptáme se cestové struktury a konèíme.
\:Pokud $x$ le¾í uvnitø nìjaké cesty, zjistíme dotazem na~cestovou strukturu,
ke~kterému krajnímu vrcholu cesty je pøipojen, a~$x$ nahradíme tímto vrcholem.
- Není-li pøipojen k~¾ádnému, je~evidentnì odpovìï na~celý \<Find> negativní,
+ Není-li pøipojen k~¾ádnému, je~evidentnì odpovìï na~celý \<Find> negativní;
pokud k~obìma, vybereme si libovolný, proto¾e jsou stejnì v~cestovì komprimovaném
stromu spojeny hranou. Analogicky pro~$y$.
-\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy cestovì zkomprimovaného stromu.]
+ \hfil\break [Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy cestovì zkomprimovaného stromu.]
\:Le¾í-li $x$ a $y$ v~jednom mikrostromu, zeptáme se struktury pro~mikrostrom.
\:Je-li $x$ uvnitø mikrostromu, zeptáme se mikrostruktury na~spojení s~koøenem mikrostromu.
Není-li, odpovíme {\sc ne}, stejnì jako kdy¾ není pøítomna pøíslu¹ná spojovací hrana.
Jinak $x$ nahradíme listem makrostromu, do~kterého spojovací hrana vede. Podobnì pro~$y$.
-\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy makrostromu.]
+ \hfil\break [Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy makrostromu.]
\:Odpovíme podle struktury pro makrostrom.
\endalgo
\s{Definice:} (Fredericksonova clusterizace) Nech» $G$ je graf s~vrcholy stupòù nejvý¹e~3
a $c\ge 1$. Pak $c$-clusterizací grafu $G$ nazveme libovolný rozklad
-$G$ na~souvislé podgrafy (clustery) $G_1, G_2, \ldots, G_k$ takový, ¾e platí:
+$G$ na~souvislé podgrafy (clustery) $C_1, C_2, \ldots, C_k$ takový, ¾e platí:
\itemize\ibull
\:$\forall v \in V \exists ! i: v \in C_i$.
\:$\forall i: \vert C_i\vert \le c$.
èasem na~pøevod dotazu.
\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ nav¹tívíme vrchol (v~inorderu),
-zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi poslední
-náv¹tìvou~$x$ a první náv¹tìvou~$y$, nebo opaènì.
+zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi libovolnou
+náv¹tìvou~$x$ a libovolnou náv¹tìvou~$y$.
\qed
\s{Triviální øe¹ení RMQ:}
\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾né dotazy: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1} \}$,
èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
-na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvìt¹í $k$ takové, ¾e $2^k < j-i$
+na~minimum bloku $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j-1}$, najdeme nejvìt¹í~$k$ takové, ¾e $2^k < j-i$
a vrátíme:
$$\min( \min\{ a_i, \ldots, a_{i+2^k-1} \}, \min\{ a_{j-2^k}, \ldots, a_{j-1} \} ).$$
Tak zvládneme dotazy v~èase $\O(1)$ po~pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
-\proof Pou¾ijeme inkrementální algoritmus, v¾dy si budeme pamatovat
+\proof Pou¾ijeme inkrementální algoritmus. V¾dy si budeme pamatovat
kartézský strom pro ji¾ zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
prvku v~tomto stromu. Kdy¾ pøidáváme dal¹í prvek, hledáme místo, kam ho
-pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imneme si, ¾e vzhledem
+pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imnìme si, ¾e vzhledem
k~potenciálu rovnému hloubce oznaèeného prvku je èasová slo¾itost pøidání
prvku amortizovanì konstantní.
\qed
projects / ga.git / commitdiff